基于排隊(duì)論的機(jī)動(dòng)車道數(shù)量設(shè)計(jì)探索

□ 李 京 李 麗

一、引言

近年來隨著國家經(jīng)濟(jì)突飛猛進(jìn)式的增長，汽車保有量也隨之急劇上升，城市道路車流量已趨于飽和，北京市政府采取了多種措施以緩解交通擁堵如限行、搖號等，但仍然無法改善城市中心擁堵的現(xiàn)狀，所以進(jìn)行機(jī)動(dòng)車道數(shù)量的設(shè)計(jì)也是緩解交通擁堵的一種好的方法。機(jī)動(dòng)車道作為交通運(yùn)輸系統(tǒng)中最為重要的載體，在道路的通行能力上擁有著舉足輕重的地位，而車道數(shù)量是其宏觀設(shè)計(jì)的主要指標(biāo)，如果車道數(shù)量不適應(yīng)現(xiàn)有機(jī)動(dòng)車流量，它就會成為交通硬件上的一個(gè)瓶頸，那么就會發(fā)生通行率低以至于堵塞的后果。所以本文通過排隊(duì)論模型對機(jī)動(dòng)車道數(shù)量進(jìn)行合理的規(guī)劃設(shè)計(jì)，以充分發(fā)揮車道的基本作用。

二、排隊(duì)論概述

(一)排隊(duì)論概念及發(fā)展。排隊(duì)論是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列及排隊(duì)的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的數(shù)學(xué)理論，也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論［1］。最早有關(guān)排隊(duì)論的著作是1909年?duì)柼m發(fā)表的電話交換機(jī)使用情況的論文;第二次世界大戰(zhàn)之后運(yùn)籌學(xué)得到了蓬勃的發(fā)展，排隊(duì)論的論述已十分普及;二十世紀(jì)六十年代，排隊(duì)論的研究日趨復(fù)雜，在應(yīng)用方面進(jìn)入到了交通、生產(chǎn)、服務(wù)方面［2～4］。凡是出現(xiàn)擁堵現(xiàn)象的領(lǐng)域，都可以運(yùn)用排隊(duì)論［5］。在道路交通系統(tǒng)中就存在大量的排隊(duì)現(xiàn)象，如信號燈、公交站、收費(fèi)站［6～8］等。本文即以排隊(duì)論為基礎(chǔ)，對機(jī)動(dòng)車道數(shù)量進(jìn)行深入研究。

(二)排隊(duì)論系統(tǒng)。一般的排隊(duì)系統(tǒng)都有三個(gè)基本組成部分［9］:輸入過程;排隊(duì)規(guī)則;服務(wù)機(jī)構(gòu)。圖1則為機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)系統(tǒng)的一般模型。

輸入即指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)。顧客的總體組成分為有限型與無限型，機(jī)動(dòng)車源源不斷地到達(dá)特定的機(jī)動(dòng)車道，可以看作是總體為無限型。顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔有確定型和隨機(jī)型兩種，顯然通過路口的機(jī)動(dòng)車到達(dá)時(shí)間不可預(yù)測，因此是隨機(jī)型的。

圖1 機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)系統(tǒng)一般模型

排隊(duì)規(guī)則分為即時(shí)制與等待制，機(jī)動(dòng)車道上的汽車流期望通過路口就必須堅(jiān)持到服務(wù)為止，因此屬于后者。且機(jī)動(dòng)車按次序依次通過，符合先到先服務(wù)原則。

服務(wù)機(jī)構(gòu)根據(jù)機(jī)動(dòng)車道數(shù)量排隊(duì)系統(tǒng)可分為單隊(duì)－單服務(wù)臺情形與多隊(duì)－多服務(wù)臺情形，即單機(jī)動(dòng)車道機(jī)構(gòu)與多機(jī)動(dòng)車道機(jī)構(gòu)。和輸入過程類似，服務(wù)時(shí)間分為確定型與隨機(jī)型，顯然機(jī)動(dòng)車因避讓行人、交通擁堵、信號燈變化使得通過路口的時(shí)間各有差異，所以此研究的服務(wù)時(shí)間為隨機(jī)型。

三、排隊(duì)論模型

(一)單機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型。圖2為單機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型，即M/M/1///FCFS模型。

圖2 單機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型

基本假設(shè):機(jī)動(dòng)車到達(dá)服從泊松分布，平均到達(dá)速率為λ(λ＞0)，相鄰兩輛車間隔時(shí)間為1/λ，機(jī)動(dòng)車數(shù)為∞;服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布，接受服務(wù)的輸出率為μ(μ＞0)，對每輛機(jī)動(dòng)車的服務(wù)時(shí)間為1/μ;一條機(jī)動(dòng)車道;系統(tǒng)容量為∞。

指標(biāo):交通強(qiáng)度ρ=λ/μ。當(dāng)ρ＜1時(shí)，在時(shí)間充分的條件下狀態(tài)穩(wěn)定，此時(shí)的交通順暢;當(dāng)ρ≥1時(shí)，狀態(tài)不穩(wěn)定，隊(duì)會越來越長，呈現(xiàn)擁堵狀態(tài)。由差分方程與little公式等可推出以下公式:

系統(tǒng)中沒有機(jī)動(dòng)車的概率:

系統(tǒng)中有n輛機(jī)動(dòng)車的概率:

系統(tǒng)中的平均機(jī)動(dòng)車數(shù):

隊(duì)列中等待的平均機(jī)動(dòng)車數(shù):

系統(tǒng)中機(jī)動(dòng)車平均逗留時(shí)間:

隊(duì)列中機(jī)動(dòng)車平均等待時(shí)間:

(二)多機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型。圖3為多機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型，即M/M/N///FCFS模型。

圖3 多機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型

指標(biāo):P=λ/Nμ。假設(shè)機(jī)動(dòng)車道數(shù)N＜系統(tǒng)中車輛數(shù)n。

系統(tǒng)中沒有機(jī)動(dòng)車的概率:

系統(tǒng)中有n輛機(jī)動(dòng)車的概率:

系統(tǒng)中的平均機(jī)動(dòng)車數(shù):

隊(duì)列中等待的平均機(jī)動(dòng)車數(shù):

系統(tǒng)中機(jī)動(dòng)車平均逗留時(shí)間:

隊(duì)列中機(jī)動(dòng)車平均等待時(shí)間:

四、數(shù)學(xué)模擬分析

假設(shè)一個(gè)單向路口的車流量為900L/h，考慮延遲因素和駕駛員理想狀態(tài)通過，每輛車通過時(shí)間為10s，對此模擬路口進(jìn)行機(jī)動(dòng)車道數(shù)設(shè)計(jì)。

單機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型:

λ =900/3600=0．25，μ =1/10=0．1，ρ =2．5 ＞1，此方案不成立

多機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型:

N=2:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(2*0．1)=1．25，此方案不成立。

N=3:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(3*0．1)=0．83 ＜ 1，此方案成立。

Ρ0=0．172，L5=15．210，Lq=12．170，W5=60．841，Wq=48．680。

N=4:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(4*0．1)=0．625 ＜1，此方案成立。

P0=0．612，L5=6．923，Lq=4．423，W5=27．692，Wq=17．692。

N=5:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(5*0．1)=0．50 ＜ 1，此方案成立。

Ρ0=0．832，L5=3．268，Lq=0．768，W5=13．072，Wq=3．072。

數(shù)據(jù)結(jié)果的比較如圖4、圖5所示。

圖4 當(dāng)車道數(shù)分別為3、4、5時(shí)Ls、Lq值

圖5 當(dāng)車道數(shù)分別為3、4、5時(shí)Ws、Wq值

通過模擬分析，發(fā)現(xiàn)N=1或2時(shí)，ρ＞1，排隊(duì)過長，為不穩(wěn)定狀態(tài)，方案不成立;當(dāng)N=3、4、5時(shí)，ρ＜1，呈穩(wěn)定狀態(tài)，模型暢通，方案都成立。從表1、表2體現(xiàn)出的數(shù)據(jù)中，顯然機(jī)動(dòng)車道數(shù)越多，排隊(duì)中的車輛越少，等待的時(shí)間越短。但是從數(shù)據(jù)變化折線的斜率可以看出，車道數(shù)從3變?yōu)?時(shí)，平均等待時(shí)間與平均等待機(jī)動(dòng)車數(shù)的下降速率是顯著提高的，而車道數(shù)從4變?yōu)?時(shí)，這幾個(gè)指標(biāo)的變化率相比之前顯著減少。結(jié)合現(xiàn)實(shí)中經(jīng)濟(jì)成本方面考慮，每增加一條車道數(shù)需要占用更多的土地與資金成本。所以從此數(shù)學(xué)模擬綜合分析，機(jī)動(dòng)車道數(shù)為4時(shí)基本能夠滿足交通比較順暢，經(jīng)濟(jì)方面比較適中，因此選擇建設(shè)4條機(jī)動(dòng)車道的方案。

五、實(shí)例評價(jià)

選取北京市海淀區(qū)五道口展春園西路作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測量地點(diǎn)，選早高峰為待測時(shí)間間隔(此路段在由南向北方向有3條機(jī)動(dòng)車道)。表1為在8:00～8:30的時(shí)段中每5分鐘所通過的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)，表2為在紅燈亮?xí)r及紅燈沒有亮?xí)r分別隨機(jī)取得的4輛機(jī)動(dòng)車的通行時(shí)間。

表1 每時(shí)段通過的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)

表2 有無紅燈下的機(jī)動(dòng)車通行時(shí)間

(一)數(shù)據(jù)計(jì)算。機(jī)動(dòng)車道數(shù)N=3;車流量λ=281/1800=0．156;平均通行時(shí)間 t=(501+138)/8=79．875;通行效率 μ =1/79．875=0．013;交通強(qiáng)度 ρ=/(Nμ)=0．156/(3*0．013)=4 ＞1。

(二)結(jié)果評估。通過實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)結(jié)果計(jì)算出交通強(qiáng)度大于1，按機(jī)動(dòng)車道模型的指標(biāo)可以得出在此時(shí)間間隔中交通是擁堵的。而在實(shí)際測量過程中以行人和駕駛員的經(jīng)驗(yàn)也認(rèn)為此時(shí)段交通不順暢。所以模型得出的具體結(jié)果與實(shí)際相符，可以用來對現(xiàn)有機(jī)動(dòng)車道數(shù)是否能使交通順暢進(jìn)行評價(jià)。

六、改善方法

利用機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型可以規(guī)劃設(shè)計(jì)未來城市道路的機(jī)動(dòng)車道數(shù)量，而因機(jī)動(dòng)車道較少而引起交通擁堵可通過下面三個(gè)方法解決:

(一)拓寬馬路以增加機(jī)動(dòng)車道數(shù)量。在行人與非機(jī)動(dòng)車數(shù)量較少的道路上可以適當(dāng)減少人行道與非機(jī)動(dòng)車道的寬度，增加機(jī)動(dòng)車道數(shù)量以緩解交通擁堵的現(xiàn)狀。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是成本適中，缺點(diǎn)是作用有限且影響行人與非機(jī)動(dòng)車交通感受。

(二)將機(jī)動(dòng)車道“瘦身”以增加機(jī)動(dòng)車道數(shù)量。由于國家政策的變化，目前機(jī)動(dòng)車道標(biāo)準(zhǔn)寬度小于從前，可以在不改變其他設(shè)施的情況下減緩擁堵現(xiàn)象。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是成本極低，基本改變其他現(xiàn)狀，減少駕駛員插縫隙的習(xí)慣也更加安全，缺點(diǎn)是增加的車道數(shù)有限且因車型大小道寬的設(shè)計(jì)需著重考慮。

(三)在車流量較大的地段建設(shè)高架。在經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的大城市的車流量極大的地段可以建設(shè)高架，這也是變相增多機(jī)動(dòng)車道數(shù)量以通過分流來減緩交通擁堵。它的優(yōu)點(diǎn)是高架可以成倍地增加車道數(shù)目，特別適合車流量多的中心地帶，但缺點(diǎn)也很明顯，高架的成本極高，且會在一定程度上改變周圍環(huán)境。

以上三種方式都可以通過增加機(jī)動(dòng)車道數(shù)目達(dá)到緩解交通擁堵的目的，它們也有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際問題上需要具體問題具體分析，使改善方案更經(jīng)濟(jì)、更合理。

七、結(jié)語

本文從滿足大型城市交通擁堵的實(shí)際情況出發(fā)，從另一角度提出利用排隊(duì)論來規(guī)劃設(shè)計(jì)機(jī)動(dòng)車道數(shù)量以緩解交通擁堵的想法。通過實(shí)踐證明，機(jī)動(dòng)車道排隊(duì)模型可以評價(jià)現(xiàn)有機(jī)動(dòng)車道數(shù)是否符合機(jī)動(dòng)車流量以優(yōu)化改善，或者通過機(jī)動(dòng)車流量來設(shè)計(jì)機(jī)動(dòng)車道數(shù)量以使交通暢通。有關(guān)部門可以以此作為參考來進(jìn)行未來道路的規(guī)劃建設(shè)與現(xiàn)有道路改善優(yōu)化。

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