基于LSSVM的多輸入多輸出開關磁阻電機建模

徐宇柘， 曹彥萍， 鐘銳

(1.山東省海洋環境監測重點實驗室，山東青島266001;2.山東省科學院海洋儀器儀表研究所，山東青島266001;3.東南大學國家專用集成電路系統工程技術研究中心，江蘇南京210096)

0 引言

作為一種無需稀土材料的無刷直流電機，開關磁阻電機(SRM)具有結構簡單、轉矩大、成本低等突出特點，并在寬廣的速度和功率范圍內都能保持較高效率［1］。近年來，隨著稀土資源的日益減少，永磁無刷電機成本日益上升，SRM已逐漸引起電動車行業的重視［2－3］。

精確的SRM模型是電動車應用研究與控制的基礎。但是由于SRM定轉子的雙凸極結構，使其呈現出高度非線性及多變量耦合的特點，因此，使用傳統建模方法很難得到精確的電機模型。隨著智能技術的不斷成熟，神經網絡不斷應用于開關磁阻電機建模中［4－6］，作為智能控制技術的一種，神經網絡具有很強的非線性映射能力，無需知道模型的任何先驗知識，而是利用實際可測量的輸入輸出來辨識模型，使得所建模型具有很強的自適應性和魯棒性［7］。然而神經網絡存在所需樣本大、局部極小點、過學習以及結構和類型的選擇過分依賴于經驗等固有缺陷。支持向量機［8］(SVM)是Vapnik在統計學習理論基礎上提出的一種新型機器學習方法，它基于結構風險最小化，具有嚴格的數學依據，為解決小樣本問題提供了很好的解決方案，并能有效避免神經網絡上述缺陷。文獻［9］利用支持向量機建立轉子位置預測模型，能準確預測轉子位置，實現了SRM的無位置傳感器控制。最小二乘支持向量機由于在損失函數和等式約束條件上的修正，較之標準的 SVM算法，在快速上有了很大提高。文獻［10］建立了LSSVM速度控制器并代替原始PI控制器，實現了開關磁阻電機的快速準確調速。在SRM建模方面，文獻［11－12］利用LSSVM分別建立了基于自感特性及矩角特性的SRM模型，并通過實測證明建模方法的正確性和有效性，克服了神經網絡建模過學習和訓練速度慢的缺點;文獻［13］利用LSSVM建立了基于磁鏈特性的SRM模型，避免了神經網絡建模局部極小點、過學習和過分依賴經驗等固有缺陷，并分析了LSSVM方法在小樣本建模方面的優勢。

本文基于SRM磁特性，采用LSSVM方法建立多輸入多輸出開關磁阻電機模型。與以上最小二乘支持向量機SRM建模相比在結構上進行改進，以進一步提高模型精確度。給出樣本數據獲取方法以及核參數的優化方法，訓練多輸入多輸出LSSVM模型，并分析其在精確度上的優勢，搭建基于LSSVM的多輸入多輸出SRM仿真模型，并將仿真結果和實測結果對比，驗證該建模方法的正確性。

1 LSSVM基本原理

支持向量機基于結構風險最小化理論，將低維空間非線性樣本經過核函數映射為高維空間中的線性樣本，從而降低求解復雜性。其基本原理如圖1所示。

圖1 支持向量機基本原理圖Fig.1 Basic schematic of support vector machine

最小二乘支持向量機是支持向量機的一種改進，它是將傳統支持向量機中的不等式約束改為等式約束，且將誤差平方和損失函數作為訓練集的經驗損失，從而把解二次規劃問題轉化為求解線性方程組問題，提高了求解問題的速度和收斂精確度。

給定非線性系統的n個輸入輸出樣本數據集(xi，yi)，i=1，…，n(其中 xi∈Rd為輸入變量，yi∈R為期望值，d為自變量維數)。根據這些樣本用支持向量機來建立該系統的非線性模型。首先通過一個非線性變換x→φ(x)，將輸入空間的樣本點xi映射到一個高維的特征空間(Hilbert空間);而后在該特征空間進行線性建模，構造最優決策函數

式中:ω為權重向量，ω∈Rd;b為閾值，b∈R;＜·＞表示向量內積。

利用Vapnik結構風險最小化原則，尋找ω，b是優化以下問題

式中，ζi為松弛因子，c為正則化參數，用拉格朗日法求解優化問題

式中，αi≥0為拉格朗日乘子。對式(3)求極值，令

解得

消去ω和ξ，得

式中:y=［y1，…，yn］T;

用最小二乘法求解式(5)，求出α和b，得到用核函數表示的非線性系統模型為

2 基于LSSVM的開關磁阻電機建模

2.1 樣本數據的獲取

最小二乘支持向量機模型輸入為角度(θ)、磁鏈(ψ)，輸出為電流(i)、轉矩(T)及磁鏈對角度的偏導(?ψ/?θ)，如圖 2 所示。其中，輸出?ψ/?θ是為了仿真中方便求解反電動勢。

圖2 SRM多輸入多輸出LSSVM模型Fig.2 MIMO LSSVM model of SRM

實驗樣機的額定參數為:12/8極，額定功率500 W，額定轉速3 600 r/min，額定轉矩1.1 N·m。

電機的電壓方程［14－15］為

由式(7)可推出磁鏈方程得

磁共能方程

由式(9)推出轉矩方程

因此，采用以下方法獲取樣本數據:固定角度，利用改進的DC脈沖法［16］得到測量電壓、電流，由式(8)計算出磁鏈，得到角度－電流－磁鏈數據，此改進DC脈沖法能有效消除損耗影響，測量結果更準確;然后由三次樣條插值求導［17］得到(?ψ/?θ)數據，再由式(9)和式(10)經三次樣條積分和求導求得轉矩，得到角度－電流－轉矩數據。

2.2 LSSVM和參數選擇

核參數的選取對LSSVM模型的精確度有很大的影響，由于開關磁阻電機的高度非線性及多變量耦合特點，本文選取非線性映射能力強，誤差小的RBF核函數，基本形式為

且RBF核參數相對較少，更適用于SRM建模。該核函數有兩個參數需要確定，校正因子γ和核寬度系數σ。采用交叉驗證與湊試法結合的方法選取最優參數對［18］。

首先用交叉驗證法尋優，進行幾次后，選取訓練點誤差最小的兩個參數值作為初始優化值，并統計參數的變化趨勢對誤差大小的影響。

然后在確保訓練點誤差較小的前提下，分別以初始值為中心，根據以上總結的趨勢適當縮放參數的值，最后選取使得訓練點誤差最小的一組參數值為最終優化值。其中，誤差分為兩種形式，一種是最大絕對誤差，定義如式(12);另一種是均方根誤差，定義如式(13)。其中，yri為實測樣本值，ypi為LSSVM預測的值。

2.3 LSSVM模型訓練

最后確定最優參數對為(γ，σ):γ=［10000 10500 22000］;σ =［0.1 0.06 0.12］。圖 3 和圖4分別是訓練好的多輸入多輸LSSVM模型仿真得到的轉矩與磁鏈特性曲線［18－20］，可看出訓練曲線與樣本點吻合度很高。

圖3 LSSVM模型仿真得到的轉矩特性曲線Fig.3 Torque curves based on LSSVM model simulation

圖4 LSSVM模型仿真得到的磁鏈特性曲線Fig.4 Magnetization curves based on LSSVM model simulation

2.4 多輸入多輸出LSSVM模型與多輸入單輸出LSSVM模型比較

LSSVM建模相對于神經網絡建模的優勢在文獻［12］和文獻［13］中已經明確闡述并得到驗證，這里不再闡述。但是，這些LSSVM開關磁阻電機模型都是基于單輸出LSSVM，文獻［12］中SRM模型由兩個單輸出LSSVM模型矩角模型和自感模型組合而成，這很容易造成累積誤差，降低模型的精確度甚至是速度。為了驗證本文建立的多輸入多輸出LSSVM模型的優勢，建立并優化了多輸入單輸出(MISO)LSSVM模型，和圖2中多輸入多輸出模型相對比，如圖5所示。

圖5 SRM多輸入單輸出LSSVM模型Fig.5 MISO LSSVM model of SRM

表1為兩種方法建模結果對比，其中，εm和εr分別為輸出轉矩的為最大絕對誤差和均方根誤差，t為訓練時間。

表1 多輸出與單輸出LSSVM建模性能指標對比Table 1 Comparison of performance between multi-output and single-output LSSVM models

由表1可以看出多輸出LSSVM模型的均方根誤差、最大絕對誤差和訓練時間均小于單輸出的LSSVM模型。且文獻［12］中模型轉矩的最大絕對誤差和均方根誤差分別為3.5e－4和8.7e－4也大于本文的多輸出模型。由此可見，由于設計成多輸入多輸出，能更好的適應SRM各參數間的強耦合性，避免了上述單輸出模型組合而產生的累積誤差，不僅稍微加快了模型速度而且使得模型精確度更高。

2.5 基于多輸入多輸出LSSVM的SRM系統模型的建立

在Matlab的SIMULINK中建立系統的仿真模型，包括功率變換模塊、控制模塊和電機本體模塊，這里只討論電機本體模塊仿真模型的建立。仿真模塊中用S函數實現磁鏈計算、LSSVM預測、反電動勢計算及電感計算。經S函數封裝后模塊輸入為角度、磁鏈、角速度，輸出為電流、轉矩、反電動勢和電感。SIMULINK仿真原理框圖如圖6所示。

圖6 SRM本體simulink仿真原理Fig.6 The simulation block diagram of SRM body in simulink

反電動勢由式(14)得出，電感由式(15)得出。

3 仿真與實測驗證

為了驗證本文建模方法的正確性，將仿真結果和SRM調速系統實驗平臺實測結果進行了對比，設置相同的工況:直流供電電壓48 V，負載2.75 N·m，控制方式APC，斬波限90 A，A相開通角－3.293 7°，關斷角12.958 1°。仿真A相電流和實測A相電流分別如圖7和圖8所示。

圖7 仿真得到A相電流波形Fig.7 Current waveform of phase A obtained by simulation

圖8 實測A相電流波形Fig.8 Current waveform of phase A obtained by experimental measurement

仿真與實測對比結果如表2所示。

表2 仿真與實測A相電流結果對比Table 2 Comparision of results by simulation and experimental measurement

由上兩圖和表2可以看出，仿真和實測電流相比不僅波形吻合性很好，而且能夠保持較小的誤差，這充分說明了本文所述的基于最小二乘支持向量機的多輸入多輸出開關磁阻電機建模方法的正確性和可行性。

4 結論

本文基于最小二乘支持向量機建立了SRM的非線性多輸入多輸出模型，訓練精確度進一步提高，避免了以往最小二乘支持向量機建模方法產生的累積誤差;并且仿真和實測結果驗證了此建模方法的準確性和有效性，對開關磁阻電機非線性建模來說具有很大的應用價值。此模型精確度可通過優化核函數進一步提高，是下一步研究的重點。

［1］SOARES F，BRANCO P J C.Simulation of a 6/4 switched reluctance motor based on Matlab/Simulink environment［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic，2001，37(3):989－1009.

［2］SPONG M，PERESADA S，TAYLER D.Feedback linearizing control of switched reluctance motors［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1987，32(5):371 －379.

［3］KRISHNAN R.Switched reluctance motor drives:modeling，simulation，analysis，design，and applications［M］.New York:CRC Press，2001:1 －25.

［4］ELMAS C，SAGIROGLU S，COLAK I，et al.Modeling of a nonlinear switched reluctance deriver based on artificial neural networks［C］//Proceedings of Fifth International Conference on Power Electronics and Variable-Speed Drivers，October 26 － 28，1994，London，UK.1994:7－12.

［5］CAI Jun，DENG Zhiquan，LIU Zeyuan.Nonlinear Modeling of Switched Reluctance Motor Using Different Methods［C］//Applied Power Electronics Conference and Exposition(APEC)，2010 Twenty-Fifth Annual IEEE，Feb 21 －25，2010，Palm Springs，CA，USA.2010:1018－1025.

［6］蒯松巖，張旭隆，王其虎，等.開關磁阻電機神經網絡無位置傳感器控制［J］.電機與控制學報，2011，15(8):18－22.KUAI Songyan，ZHANG Xulong，WANG Qihu，et al.Position sensorless control of SRM using neural network ［J］.Electric Machines and Control，2011，15(8):18 －22.

［7］高雋.人工神經網絡原理及仿真實例［M］.北京:機械工業出版社，2003:1－50.

［8］CRISTIANINI Nello，TAYLOR John Shawe著，李國正，王猛，曾華軍譯.支持向量機導論［M］.北京:電子工業出版社，2004:1－50.

［9］HE Ziming，XIA Changliang，ZHOU Yana，et al.Rotor Position Estimation for Switched Reluctance Motor Using Support Vector Machine［C］//Control and Automation，2007，ICCA 2007，May 30－June 1，2007，Guangzhou，China.2007:1683－1687.

［10］ZHOU Jie，LI Hui，SUN Yongkui.Variable Speed Control in Switched Reluctance Drive Based on Least Square-Support Vector Machine［C］//Mechatronics and Automation，2008，ICMA 2008，Aug 5－8，Takamatsu，Japan.2008:792－796.

［11］QU Bingni，SONG Jiancheng，JIA Huiyong，et al.Nonlinear Modeling of Switched Reluctance Machine［C］//Electrical Ma-chines and Systems(ICEMS 2011)，Aug 20－23，2011，Beijing，China.2011:1 －4.

［12］宋建成，鄭建斌，曲兵妮，等.開關磁阻電機的最小二乘支持向量機建模與仿真［J］.電機與控制學報，2010，14(5):32－36.SONG Jiancheng，ZHENG Jianbin，QU Bingni，et al.Modeling and simulation for switched reluctance motor based on least squares support vector machine［J］.Electric Machine and Control，2010，14(5):32 －36.

［13］司利云，林輝，劉震.基于最小二乘支持向量機的開關磁阻電機電動機建模［J］.中國電機工程學報，2007，27(6):26－30.SI Liyun，LIN Hui，LIU Zhen.Modeling of switched reluctance motors based on LS-SVM［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(6):26－30.

［14］王宏華.開關磁阻電動機調速控制技術［M］.北京:機械工業出版社，1999.

［15］吳建華.開關磁阻電機設計與應用［M］.北京:機械工業出版社，2000.

［16］CARSTENSEN C E，FUENGWARODSAKUL N H，DE DONCKER，R W.Flux Linkage Determination for Correct Modeling of Switched ReluctanceMachines-DynamicMeasurementversus Static Computation［C］//Electric Machines＆ Drives Conference，IEMDC 2007，May 3 －5，2007，Antalya，Turkey.2007:1317－1323.

［17］丁文，梁得亮，魚振民，等.基于磁鏈與轉矩特性的開關磁阻電機建模研究［J］.西安交通大學學報.2007，41(2):214－218.DING Wen，LIANG Deliang，YU Zhenmin，et al.Modeling for switched reluctance motor based on flux linkage and torque characteristics［J］.Journal of Xi’an Jiao Tong University，2007，41(2):214－218.

［18］陳帥，朱建寧，潘俊，等.最小二乘支持向量機的參數優化及其應用［J］.華東理工大學學報:自然科學報，2008，34(2):278－282.CHEN Shuai，ZHU Jianning，PAN Jun，et al.Parameters optimization of LS-SVM and its application［J］.Journal of East China University of Science and Technology:Natural Science Edition，2008，34(2):278－282.

［19］王晶，靳其兵，曹柳林.面向多輸入多輸出系統的支持向量機回歸［J］.清華大學學報:自然科學報，2007，47(S2):1737－1741.WANG Jin，JIN Qibing，CAO Liulin.Support vector machine algorithm for multi-input multi－ output systems［J］.Journal of Tsinghua Univ:Sci＆Tech，2007，47(S2):1737 －1741.

［20］郭小薈，馬小平.基于Matlab的支持向量機工具箱［J］.計算機應用與軟件，2007，24(12):57－59.GUO Xiaohui，MA Xiaoping.Support vector machines toolbox in matlab environment［J］.Computer Application and Software，2007，24(12):57－59.