剖析分數傅里葉變換及其應用

左嵐

湖北省咸寧職業技術學院 （咸寧437100）

隨著科學技術的發展，人們的生活水平不斷提高，各種基于計算機科學技術、通信技術的產品充斥在我們的生活中，已經成為我們現代化生活的不可獲取的重要部分。尤其是互聯網絡的快速發展，更是極大地改變了人們的生活方式以及思維方式，對于人們的生活水平來說，具有非常重要的意義。然后在這些產品的背后，是由各種數學以及物理理論基礎作支撐而發展起來的。在我們的通信設施中，如何將各種低頻率的語音、文字信號千里迢迢輕松地傳送到千里之外，如何將各種視頻、聲音、圖片信號如何通過互聯網絡方便、快捷地并且突破地域的限制來高效省時地無障礙安全傳輸等，這些問題的解決都是依賴于數學基本理論和物理基礎技術來實現的。其中，分數傅里葉變換就是其中一個最重要的數學基礎理論，通過分數傅里葉變換，實現了各種信號的時間領域和頻率領域的變換，極大地簡化了人們對信號的認識，從根本上改變了對信號處理的方式，使得人們通過處理信號的某些頻率即可實現對傳統時域信號的處理和控制。分數傅里葉變換對于互聯網通信來說是非常重要的，尤其是實現互聯網安全通信的數字水印加密算法上，為互聯網的通信加密提供了最重要的理論依據，從而為互聯網的安全可靠的通信奠定了堅實基礎。

1 分數傅里葉變換簡述

傅里葉變換是傳統的信號分析方法，簡單地理解，就是將一個信號可以拆分成多個信號的集合疊加。如果一個時域信號f(t)為時間t的周期函數，并且滿足，在t的周期范圍內，f(t)是連續的且處在第一類間斷點的個數是可數的，則有如下公式：

其中，f(t)為t的函數，又稱為時域函數，F(ω)是該f(t)函數的頻域信號表現形式，即頻域函數，而上述兩個公式，由時域轉變成頻域的稱之為傅里葉變換，而頻域轉變成時域的則稱之為傅里葉逆變換。

而分數傅里葉變換則是傳統的傅里葉變換的繼續和延·伸，是在分數級別上的傅里葉擴展，即現在的廣義上的傅里葉變換。由上述傅里葉變換公式可知，有

其中F為傅里葉變換的表示符號。

在該，假如對f(t)信號進行多次次傅里葉變換，假如經過n次傅里葉變換，我們使用Fn來表示，則很容易得出以下公式。

其實，每一次傅里葉變換，對于f(t)函數來說就是在坐標軸內進行一次π/2的旋轉角的旋轉，經過兩次的傅里葉變換則有原始時域函數旋轉 180°，經過四次傅里葉變換，則有原始時域函數旋轉 360°，故而有上述公式。分數傅里葉變換則是在此多次傅里葉變換的基礎上提出來的。在很多分數傅里葉變換中，有兩種類型的分數傅里葉變換較為出名，一是 Namias型的分數傅里葉變換，一是 Shih型的分數傅里葉變換。

其中Namias型的分數傅里葉變換是對一維輸入信號f(t)來說，其p階分數傅里葉變換公式如下：

Shih型的分數傅里葉變換使用級態函數的疊加方法，表達式如下：

結合上述兩種分數傅里葉變換，基于傳統的傅里葉變換可知，分數傅里葉變換對時域和頻域中表現出最基本的3個性質。

第一就是連續性，即在整個變換域中，分數傅里葉變換是連續的，無斷點的。

第二就是邊界性，即對于分數傅里葉變換來說，屬于廣義的傅里葉變換，包含了傳統的傅里葉變換，也成狹義的傅里葉變換，對于某些特殊的邊界，如分數階級p為整數時，此時即為狹義的傅里葉變換。

第三是可疊加性，即對于一個分數傅里葉變換的任意分數階級P1，P2來說，其可以任意疊加，既有

2 分數傅里葉變換的應用

現代的年代是數據泛濫的年代，尤其是在現在版權聲明叫囂的年代，更應該加強版權保護意識，對于圖像、圖片等直觀的數據信息來說，添加數字水印是常用的一種版權保護的方式。分數傅里葉變換在互聯網中的應用非常廣泛，可以通過分數傅里葉變化，將互聯網中的各種數據信息加上版權標識，以此來防止互聯網數據被竊取商用，尤其是對于數字水印添加來說，更是方便實現。

簡單地理解，數字水印就是對原有的圖像、圖片信息添加上版權標識，即在畫面上添加該數據所屬單位等版權信息。利用數字圖像處理的方法，將原有的圖像數據通過添加某些數據信息，使得在對原始圖像顯示的時候，會將添加的信息表現出來。如果該添加的數據信息就是版權標識信息，那么即可實現數字水印的添加。實際上，在原始數據上嵌入水印信息，是在原始圖像的強信號上，有效地疊加一個水印數據的弱信號，如果該信號的頻率幅度足夠小，低于人類視覺系統的HVS對比度，那么就可實現讓人類的視覺系統撲捉到，即可實現在不改變原有視覺效果的情況下為數據圖像信息嵌入版權標識的數字水印。

假如原始的圖像、圖片數據為I，待添加的版權表示為W，為圖像進行加密的數據為K，那么添加水印后的圖像、圖片數據表達式則為：

對于實現水印嵌入的系統結構來說，需要三部分構成，第一部分即為原始圖像信號輸入端，第二部分即為待添加的版權標識的數字水印信號輸入端，第三部分即為圖像加密的數據信號輸入端。如圖1.所示，為原始圖像信號添加數字水印的結構示意圖。如圖1.的結構圖所示，圖像信號數字水印添加需要三個信號的輸入，分別是原始圖像信號 I，加密數據信號K以及水印信號W，然后通過數字水印嵌入算法即可實現數字水印的添加，最后生成添加水印的圖像進行傳播。

圖1 原始圖像信號添加數字水印系統結構示意圖

在整個數字水印嵌入系統中，最重要的部分即為水印嵌入算法的實現。由于原始圖像信號 I，加密數據信號K以及水印信號W均為數字信號，首先我們可以通過分數傅里葉變換將三個信號都轉換成頻域信號，可以利用 Namias型的分數傅里葉變換公式來實現，然后將三者的頻域信號進行疊加，即可實現原始圖像信號I，加密數據信號K以及水印信號W三者的頻域疊加，由于在頻域中，不同的信號可由多個不同頻域的信號構成，而不同頻域信號的強弱則表示了原始信號的主信號，并且某一個時域信號的多個不同頻域信號是線性疊加的，即通過向加減即可實現，所以原始圖像信號I，加密數據信號K以及水印信號W的頻域信號的疊加，就是處在相同頻率的信號的系數增加，最終整體表現出的現象就是在頻域中不同頻率的信號幅度值有所改變。所以，采用分數傅里葉變換的來實現三者信號的疊加的關鍵是，必須要求三者時域信號的主頻率必須不能相同，轉換到頻域中，即疊加后的信號會在三個主要的頻段中幅度出現高峰。這就為后期的圖像還原奠定了基礎，即通過過濾原始信號的主頻段范圍內的信號即可生成原始圖像。這是非常容易實現了，數字水印要求的頻段本來就是要求低于人類視覺系統的撲捉門限，而原始圖像必須在人類視覺性對比度門限內，所以數字水印信號不會與原始圖像信號的主頻段沖突，至于加密數據的頻率只需要區別于數字水印頻段以及原始信號頻段即可是實現利用分數傅里葉變換來實現互聯網圖像的數字水印嵌入技術。

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