平面薄板密度函數(shù)的反演問題

朱曉彬 吳玉海

摘 要： 本文考慮了由平面薄板質(zhì)心函數(shù)反演密度函數(shù)的問題，從理論上給出了平面薄板密度函數(shù)存在性和表達式，從數(shù)值算法上給出了平面薄板密度函數(shù)近似式及其圖像。運用數(shù)值仿真兩個例子，說明了數(shù)值算法給出密度函數(shù)的近似式具有很高的精確性，從而為在一定條件下由質(zhì)心函數(shù)推演密度函數(shù)近似表達式提供了幫助。

關鍵詞： 密度函數(shù) 質(zhì)心函數(shù) 二重積分數(shù)值算法 MATLAB

1.引言

如果已知一根非均勻的橫木在各點處的密度函數(shù)值，那么根據(jù)質(zhì)心的定義，由微積分知識很容易計算得到該橫木的質(zhì)心函數(shù)[1]。反過來，如果知道橫木在區(qū)間[0，x]（？坌x∈[0，1]）上的質(zhì)心坐標，即已知該橫木的質(zhì)心函數(shù)，那我們能否反演出它的密度函數(shù)呢？由文獻2的結(jié)果可知，在一定條件下，由橫木質(zhì)心函數(shù)所決定的密度函數(shù)在差一個非零常數(shù)倍意義下是唯一的。進一步有如下結(jié)果：當假定整條橫木在[0，1]上的質(zhì)量，且已知質(zhì)心函數(shù)為C（x），x∈[0，1]時，則橫木密度函數(shù)為

本文要研究的是二維情況，即已知一塊平面薄板的質(zhì)心函數(shù)（包括質(zhì)心的橫坐標函數(shù)和縱坐標函數(shù)），能否由所給的質(zhì)心函數(shù)來唯一確定平面薄板的二維密度函數(shù)，以及如何反演出它的二維密度函數(shù)的問題。本文結(jié)構安排如下：第二部分通過理論的推導，給出了密度函數(shù)的具體解析表達式。第三部分針對平面薄板質(zhì)心函數(shù)比較復雜的情況，通過將二重積分數(shù)值算法，給出了相對簡單的由平面薄板質(zhì)心函數(shù)反演出密度函數(shù)的數(shù)值計算方法。第四部分通過兩個實例的仿真，驗證了數(shù)值算法的有效性。

2.二維薄板密度函數(shù)反演問題理論推導

再由薄板的質(zhì)量在[0，1]×[0，1]上為1的假設和式（1，10）知，

定理得證。

3.平面薄板密度函數(shù)反演問題的數(shù)值算法

由定理1知，我們可以通過公式（1.2）由平面薄板質(zhì)心函數(shù)計算出密度函數(shù)，但是有的時候要根據(jù)質(zhì)心函數(shù)計算密度函數(shù)不是那么簡單。事實上，很多情況下我們并不關心平面薄板密度函數(shù)具體的表達式，而是關心密度函數(shù)的大致走勢，我們只是想知道密度函數(shù)在哪些地方取值比較大，在哪些地方比較小罷了。本節(jié)給出了在滿足一定的精度下，由平面薄板質(zhì)心函數(shù)反演得到平面薄板密度函數(shù)的數(shù)值算法。

形。在數(shù)值積分的時候，把每一小正方形上平面薄板密度函數(shù)的值都看成是常數(shù)，都用該正方形下方兩頂點函數(shù)值的一半來代替，以此計算密度函數(shù)在每個小正方形上二重積分。考慮到為了要讓迭代可以進行，首先需要定出密度函數(shù)在坐標軸上各頂點的函數(shù)值，因此我們先通過預處理得到落在坐標軸上小正方形各頂點處密度函數(shù)的取值，然后給出算法格式進行迭代，從而得到各個小正方形頂點處密度函數(shù)的值。

3.1預處理過程

用同樣的方法所有落在x軸上的小正方形頂點處的薄板密度函數(shù)表達式

用同樣的方法所有落在y軸上的小正方形頂點處的薄板密度函數(shù)表達式

3.2迭代過程

求得平面薄板密度函數(shù)在落在坐標軸上各小正方形頂點的函數(shù)值之后，接下來開始迭代，把二重積分寫成所有小正方形上的二重積分之和，然后將每一小正方形上的積分近似地表示為被積函數(shù)在小正方形下方兩頂點處值的一半乘以小正方形面積，由此可得到下面的方程：

從而有

其中i=1.2...n，j=1.2...n-1.

4.數(shù)值仿真實驗

由上面的兩個實例可知，在精度要求不是太高的情況下，我們的數(shù)值求解方法還是具有一定的有效性的。因此，在比較復雜的情況下，或者精度要求不高的情況下，我們可以使用上述數(shù)值算法由質(zhì)心函數(shù)反演出薄板密度函數(shù)的圖像。

5.研究結(jié)論與意義

本文針對平面薄板密度函數(shù)的反演問題展開討論，從理論上進行分析推導，得出的結(jié)論是在質(zhì)心的橫、縱坐標函數(shù)滿足一定條件，則其對應的密度函數(shù)表達式可由（1.2）給出。更進一步地從數(shù)值算法的角度進行近似計算，由此得到密度函數(shù)在各個網(wǎng)格上的近似值，進而得到近似密度函數(shù)的圖像。綜合理論和數(shù)值計算所得到的兩個密度函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)近似密度函數(shù)與理論密度函數(shù)差距不是特別明顯，因此得出的結(jié)論是在精度要求不高的情況下，我們完全可以用數(shù)值計算的方法得到薄板密度函數(shù)的圖像，從而避免了直接用質(zhì)心函數(shù)計算密度函數(shù)時繁瑣的計算過程，對我們了解薄板的密度分布有很大的幫助。

參考文獻：

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本文為江蘇大學本科生科研立項資助項目。