輥彎成型有限元模擬中接觸問題處理的探討

趙生蓮

摘 要： 冷彎生產技術是金屬板帶深加工的重要領域。本文對輥彎成型有限元模擬中接觸問題的處理進行了探討。

關鍵詞： 冷彎成型 接觸 有限元

接觸問題是一個非常復雜的邊界非線性問題，在冷彎成型的過程中，接觸狀態在不斷發展和變化，使得接觸的判斷事先難以確定。輥彎成型時板材與軋輥之間處于不斷接觸、分離、再接觸這樣的不斷變化之中，因此分析時需要準確跟蹤接觸前各個物體的運動和接觸發生后這些物體之間的相互作用，正確表述接觸面之間的摩擦行為。產生接觸的兩個物體必須滿足無穿透約束條件。

1.接觸問題的無穿透約束

在數學上施加無穿透接觸約束的方法有拉格朗日乘子法、罰函數法和直接約束法。

1.1拉格朗日乘子法（the Lagrange multiplicator method）

拉格朗日乘子法是通過拉格朗日乘子施加接觸體必須滿足的非穿透約束條件的帶約束極值問題的描述方法。這種方法是把約束條件加在一個系統中最完美的數學描述。該方法增加了系統變量數目，并使系統矩陣主對角線元素為零。這就需要在數值方案的實施中處理非正定系統，數學上將發生困難，需實施額外的操作才能保證計算精度，從而使計算費用增加。另外，由于拉格朗日乘子與質量無關，導致這種由拉格朗日乘子描述的接觸算法不能用于顯示動力撞擊問題分析。

拉格朗日乘子技術經常用于采用特殊的界面單元描述接觸的接觸問題分析。該方法限制了接觸物體之間的相對運動量，并且需要預先知道接觸發生的確切部位，以便施加界面單元。這樣的額外要求對于撞擊、壓力加工等通常事先并不知道準確接觸區域所在的一類問題是難于滿足的。

1.2罰函數法

罰函數法是一種施加約束的數值方法。其原理是一旦接觸區域發生穿透，罰函數便夸大這種誤差的影響，從而使系統的求解（滿足力的平衡和位移協調）無法正常進行。換言之，只有在約束條件滿足之后，才能求解出有實際物理意義的結果。

用罰函數法施加接觸約束的方法可以類比成在物體之間加非線性彈簧所起的作用。該方法不增加未知量數目，但增加系統矩陣帶寬。其優點是數值上實施比較容易，在顯示動力分析中被廣泛應用。不足是罰函數選擇的不當將對系統的數值穩定性造成不良影響。

1.3直接約束法

用直接約束法處理接觸問題是追蹤物體的運動軌跡，一旦探測出發生接觸，便將接觸所需的運動約束（即：法向無相對運動，切向可滑動）和節點力（法向壓力和切向摩擦力）作為邊界條件直接施加在產生接觸的節點上，直接約束法對接觸的描述精度高，具有普遍適用性，不需要增加特殊的界面單元，也不涉及復雜的接觸條件。該方法不增加系統的自由度數，但由于接觸關系的變化會增加系統矩陣的帶寬。在處理壓力加工時采用直接約束法，基于直接約束法的接觸算法是解決接觸物體的通用算法，特別是對于大面積接觸和事先無法預知接觸發生區域的接觸問題，程序能根據物體的運動約束和相互作用自動探測接觸區域，施加接觸約束。進行接觸計算時先進行接觸探測，所謂接觸探測是在每個增量步開始時，檢查每個可能接觸的結點的空間位置，看它是否位于某一接觸段附近，并且離該接觸段的距離足夠近。從理論上講，結點恰好落在某個接觸段時認為發生接觸，但數值計算過程中，要精確描述恰好位于某一個接觸段上比較困難，這要靠接觸容限解決。當某結點落在接觸容限內就被認為與接觸段相接觸了，對于實體單元，接觸容限δ可取單元最小尺寸的1/20；對于用于板料成形有限元分析的殼體單元，δ可取最小厚度的1/2。數值計算表明，接觸距離容限的大小對接觸求解精度和計算效率影響很大。接觸距離容限越小，計算結果的精度就越高。但是，如果接觸距離容限太小，就難以探測出結點與接觸片相接觸，而且一旦步長稍大就會在多點產生穿透，需很細的時間分布，這樣在提高精度的同時增加了計算費用。這時就要靠偏斜系數B（0≤B≤1）解決，使接觸距離的誤差范圍發生偏移，以便在接觸體外表面的接觸距離誤差比內表面的接觸距離誤差稍大。

以上所述是針對實體單元，因為實體單元不僅存在體積閉鎖問題，而且對于薄板成型不如板殼單元計算效率高。殼體單元是一種結構單元，它與實體單元不同之處在于它的幾何描述是用中面的有限元網格和中面結點所在的殼體厚度表示。殼體的接觸探測與實體單元有所不同，殼體上的結點發生接觸是當殼體結點的空間位置加上或減去其厚度一半后正好落入另一個接觸片的接觸距離誤差區域時，就發生殼體與該接觸片接觸。

2.剛體與變形體之間的接觸約束

變形體與剛體接觸的無穿透約束是通過把接觸節點自由度轉換到剛性接觸段/片的局部坐標系后，給定法向位移邊界條件實現的，用方程描述為：

代表產生接觸的節點在接觸段/片上的局部坐標轉換，b代表無接觸的其他節點，當然也無坐標系轉換，對這些局部坐標系轉換的節點，局部法向位移約束應等于剛體沿接觸節點所在的剛體法線方向的位移增量。

3.接觸摩擦分析

圖1 靜摩擦力與滑動摩擦力之間的突變

在計算中若采用這種突變，會導致數值困難，本文采用一種修正庫侖摩擦定律，即

σ■≤-uσ■■arctg■·t（3.3）

其中：r■——表示發生相對滑動時接觸體之間的臨界相對速度。

對于殼單元有f■≤-uf■■arctg■·t（3.4）

對于采用的摩擦模型，問題的關鍵就在于摩擦系數的正確選取。如果摩擦系數選取不正確，則對計算結果的精度影響非常大。

4.結語

本文對輥彎成型接觸問題的處理進行了探討，對輥彎成型有限元模擬有一定的實用價值。

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