對于說題活動的初探與思考

☉江蘇省南京市溧水區第二高級中學 張紅軍

對于說題活動的初探與思考

☉江蘇省南京市溧水區第二高級中學 張紅軍

說題是近年來比較流行的一種考核教師課堂解題、講題能力的一種新型方式，其在一定時間內給予教師某個問題，進行獨立的分析、解答、歸納和小結.這種模式漸漸為各地考查教師業務能力水平所采用，因此深受教師重視.原課程標準指定組組長東北師大史寧中教授關于新型說題活動給出了這樣的評價：我覺得說題是一個很好的創新活動，它把教師之間的水平層次清晰地區分開來，給那些優秀教師提供了寬闊的表現舞臺.從知識上來說，說題正是我們的數學為什么要這么教，教的那些方法是否合理，解題中提供給學生什么樣的視角，這些都是說題最有價值的部分.因此，說題活動是高中數學一種比較新型的教學交流方式，近年來受到教師交流活動或職稱評選活動的關注.那么何為說題？如何說題？說題過程中如何展示教師的問題處理能力？如何體現教師的專業化能力與水平？這些都值得教師在說題活動前做充分的了解和嘗試.近期筆者以自身某次說題活動的參與，談談說題活動對自身的一些啟示和思考，旨在拋磚引玉，與大家交流.

一、題源

題目 設數列｛an｝的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1= 4an+2，則a12=__________.

本題是緣自全國卷改編而來的一道高考試題，是本次說題活動給出的一道基本數列題.從初步分析來看：本數列問題解決的基本知識在于作差之后等比數列知識的運用，其基本思想在于數列的作差思想、整體思想、構造思想等的運用.從近年各地高考、競賽試題來看，數列中遞推數列通項的求解一直是熱點和難點.

二、說題

諸如文1、文2等比較關注的是教師如何指導學生進行說題，其目的旨在提高學生對問題的理解能力和解決的方向性、知識的整合度及思維的發散性等，而本次是以教師說題為主的教學活動，有所不同.

首先，談談說題的界定：說題是什么？筆者認為就是要求教師通過分析，將問題從審題—分析—解答—小結—提升等過程按照一定的規律進行語言的口述，在這個過程中要求說題者將整個對試題的分析思維過程進行暴露，即“說數學思維”.說題是近年比較流行、高效的考查教師基本課堂教學能力的一種方式，要求利用教學語言口述探尋解題的思維過程、對問題分析處理的想法，以及針對這一問題進行的挖掘和提升，進一步對教師專業化素養的考查等，其作用是大大方便教師間的交流、節省大量的教學課時、理清教學的思路、提高教學的效率，這樣的新型教研活動值得我們做一定的思考與嘗試.

羅增儒教授關于解題教學提出了一些嘗試和建議（文3），其指出：解數學題要將陌生的條件、結論轉化為通俗易懂的數學語言.按照這一想法，筆者類比思考說題正是將此形式進行語言表達的一種態勢，即利用教學語言口述探尋解題通路的思維過程，以及所采納的數學思想方法和解題策略，并在此基礎上進行演繹和歸納，因此往往涉及下面幾個方面.

1.說題意

說出試題考查的背景、意圖、隱含條件、處理方式、處理技巧等，是說明題意的基本要求.數列知識板塊是高考數學的重點和難點，其所占分值約15%，小題主要考查數列基礎知識和基本技能，解答題側重考查數學思想方法在數列中的運用，諸如：整體思想進行構造、函數思想研究數列性質、數列求和中的倒序相加等.

從本題來看，本題的意圖言簡意賅.首先，從基本處理而言，數列前n項和與通項之間的作差思想，在得到遞推數列關系之后，進一步利用整體構造進行處理.對本題的后半階段處理，我們知道用構造法求數列通項是遞推數列考查的重點和難點，教師對問題的處理、解決是站在教師自身的角度而言的，將基本方法進行闡述的同時，要立足于學生思維、考慮問題的角度再進行深思研究.

2.說思維

簡述解決試題探索過程中的思維方法和心理活動過程，這是說思維的基本要求.一般在指導學生解題思維培養途徑上常常使用下面的方式.

（1）運用直覺思維，從類似問題中探索解題途徑、滲透一般問題的解題規律，即模式識別策略.

（2）采用“庖丁解牛”策略，將問題分解為若干個小問題，逐一突破.

（3）分析綜合策略，從條件出發、結論思考，對條件進行順推、結論進行逆推，尋找問題突破點.

（4）轉化策略，將命題不斷進行轉化、變換，轉化為熟悉的、已知的問題進行突破.

縱觀本題，參加本題說題活動的老師給出了多種不同的解決思路，水平非常了得，但筆者思考：說題活動并非一味提倡一題多解，更要在說題過程中將學生能夠解決的方法，其使用這樣方法的依據說清楚，還要在探索解題過程中對能夠使用的解法和構建這些解法的心理機制進行分析，這些更值得教師去關注.

一般，針對本題最常見的學生解題心理機制有：

（1）利用作差思想，已知Sn+1=4an+2 ①，則當n≥2時，有Sn=4an-1+2 ②，②－①得an+1=4an-4an-1.

（2）對an+1=4an-4an-1進行構造，這里的構造借助學生對等比數列、等差數列的整體認知而定，既可以利用等差構造，也可以等比構造，相比而言，學生往往更喜歡用等差整體進行構造，但是等比整體的構造更具備解決遞推數列的一般性.

利用等差數列的構造是學生較為熟悉的一種問題解決方案，教師必需將其講清楚，以及學生使用該種方法時的心理機制也可以適當提及.

師：令bn=an+1-2an，則bn=2bn-1，所以｛bn｝是首項為b1=3，公比為2的等比數列.可得bn=an+1-2an=3·2n-1?，所以數列｝是首項為，公差為的等比數列，所以，所以an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

從一題多解的角度來說，筆者認為教師需要再說明解決本題的另一種基本方法，等比數列整體構造，這種方法并不太完全符合學生的心理預期，但是后續解決類似問題時更具備一般性.

師：由上可知an+1=2an+3·2n-1（*），令an+1+λ（n+1）·2n+1= 2（an+λn·2n），展開合并同類項得an+1=2an-4λ·2n-1，利用待定系數法，可知-4λ=3?λ=-，將λ=-代入所令，得，所以是以為首項，2n-1為公比的等比數列，易得2n-1?an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

3.說思路

說出本題解決的一般性思路來得更為重要，針對本題而言，教師要以第二種方法進行問題一般性的思路說明，盡可能進行推廣.

（1）主要思想：整體思想、構造思想，運算中注意如何利用整體性解決問題.

（2）考慮到數列an+1=pan+f（n）這一模型的重要性，開展說題活動的一般性思路說明.

（3）給出f（n）為一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型的通用型問題解決指導.

4.說規律

通過數列遞推求通項，諸如an+1=pan+f（n）模型的一般性規律是利用等比數列的整體性構造解決，筆者概括出一般性的解決方式，并交流心得體會.

（1）f（n）為一次函數時，即an+1=pan+bn+c，只需構造an+1+ λn+u=p［an+λ（n-1）+u］，利用待定系數求出λ與u即可.

（2）f（n）為二次函數（或二次以上時），只需構造an+1+ λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v），利用待定系數求出λ、u與v即可.

（3）當an+1=pan+qn時，也可按等比建構，當p=q時，即an+1= pan+pn，構造an+1+λ（n+1）pn+1=p（an+λnpn），易得λ=-，故是等比數列；當p≠q時，構造an+1+λqn+1=p（an+ λqn），易得λ=，故是等比數列.

有興趣的同學可以用上述一般性的規律解決下列問題.

（1）已知數列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

（2）已知數列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

（3）設數列｛an｝的前n項和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn，求｛an｝的通項公式.

因此，現代意義的解題教學特點：更注重解題的過程、策略及思維品質的培養；更注重解題過程中的情感、態度、價值觀，從變化中尋求不變才是教師所追求的和學生需掌握的.

三、思考

在參與本次說題活動中，筆者感受到教師的說題都是以培養學生的知識整合能力為主，注重試題講解多變多樣化為切入，關注解題過程中數學思想對學生的引導，關注一題多解帶來的思維發散效應，關注學生的情感、態度與價值觀等，做出了積極的探索和很大的努力，這些都是很好的嘗試.

但是通過說題活動筆者也發現，我們有時候在處理說題目標的具體性、適度性和合適性上把握還顯不足，甚至有些混亂，在面對一道具體的數學題目時，課程標準中的空話、套話切勿對應于具體題目.教師更應該關心的是如何將本題所涉及的說題目標進行具體地、合理地敘述，這樣比較貼合實際.

按照本次說題教學得到的一些嘗試，筆者認為我們應該將說題目標進行層層遞進式地剖析.

（1）說題的初級目標，主要是教師將問題的思路和解決方法進行敘說，將學生可能存在的解決方案予以呈現，將教師在問題解決過程中的對話交流、問題設置等進行合理的安排，以符合學生解決問題心理機制為前題下的設計是符合學生認知心理的，并讓學生進行探究性的嘗試.

（2）說題的中級目標，此時筆者以為，我們在解決說題過程中所反映的基本思想方法應該向學生予以呈現，以本文中數列問題為例，教師努力向學生傳遞的是運用基本數列（等差、等比）解決未知數列模型，即轉化思想；利用整體構造進行問題求解，即整體運用思想等，并對比兩種不同的問題解決方法，鼓勵學生思考、認知哪種方法是更具備一般性、普遍性，進而將問題教學效益最大化.

（3）說題的高級目標，筆者對本文中的數列問題進行了一般性的推廣，通過自身經驗積累、搜集加工、自行編譯一些符合數列模型的遞歸數列，利用中級目標得到的問題解決方案和思想方法進行更廣泛問題的開拓、更發散方向的嘗試，真正將說題效應上升到一種“以點及面”的層面上，使得課堂教學效率大大提升.這里要注意把握好歸納與演繹的度，做到收斂思維與發散思維交替運用，同化規律與順應規律多化循環，讓學生掌握數學思維的規律、特點和方法，在參與思維中發展能力，在知識、規律的探索和歸納中形成創新意識.

總之，本次說題活動的嘗試給教師專業化素養發展帶來了一個全新的視角，筆者認為我們應該加強高考試題的研究，將有價值的數學問題通過說題的教學形式予以展示和交流，這樣既發揮了優秀試題的典型性，也大大提高了教師對有價值試題的研究能力，使得教學水平得到進一步的提升.中學數學特級教師孫維剛的教學觀念：“八方聯系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”！筆者想說，正是借用這樣的教學觀念，使得我們說題輔導教師站在更高、更系統的舞臺來指導教學，讓我們的教學之路越走越寬廣.

1.李萍.說題教學的嘗試［J］.數學通訊，2005（11）.

2.金秀青.說題——讓數學課堂更精彩［J］.中學數學（上），2009（6）.

3.羅增儒.數學的領悟［M］.鄭州：河南科學技術出版社，1998.F