對一道說題比賽試題的探究

☉浙江省寧波市鎮海中學 陳雅雅

對一道說題比賽試題的探究

☉浙江省寧波市鎮海中學 陳雅雅

為了探索新高考方案下的課程改革對高中數學教師的專業要求，厚實數學教師的學科底蘊，提升一線教師對當前課程改革的適應能力，2014年12月18日在寧波舉辦了“浙江省高中數學第二屆說題比賽”.該比賽由浙江省數學會主辦，比賽形式新穎，以說題為中心，分個人賽和團體賽.6道比賽問題涵蓋了函數、三角、解析幾何等，簡約而不簡單，值得深究.本人特別對個人賽的第2題做了如下探究.

題目 在非等腰直角△ABC中，已知∠C=90°，D是 BC的一個三等分點.若cos∠BAD=，求sin∠BAC的值.

一、解法探究

該問題圍繞三角形中的邊角關系，可與中學教學各項內容相互聯系.這樣我們從不同視角進行思考，就能探索出多種解法.本題首先要解決的問題是判斷點D的位置.因為三等分點有兩個，故本題需分析點D的位置，討論進行求解.特別值得注意的是，在求解過程中，將涉及AC、BC兩個長度變量，但本題最終是求角，故在長度設定上固定某條線段的長度并不影響問題原意，不妨設BC=3，AC=x（x＞0），從而只引入一個變量，大大簡化了計算.同時為書寫方便，記∠DAC=α，∠BAD=β

1.解三角形視角

解法1：（兩角和正切公式）分類討論：（1）若CD=1，如圖1，則由題意知tan（α+β）=.因為cosβ=，所以tanβ=

圖1

又因為△ABC為非等腰直角三角形，所以x=1， sin∠BAC=

（2）若CD=2，則經過同（1）類似的運算，得x2-2x+6= 0，方程無解，故該情況不存在.

所以點D是BC上的靠近點C的三等分點，以下均按這種情況給出解答.

解法3：（余弦定理）在△ABD中，利用余弦定理AD2+ AB2-BD2=2AD·ABcosβ即可求解.

2.面積視角

圖2

解法4：（面積轉換）由S△ABD=BD·AC=AD·AB· sinβ即可求解，也可以根據S△ABC=S△ACD+S△ABD進行求解.

3.幾何視角

解法5：（構造相似三角形）如圖2，過點D作DM⊥AB于點M，則在Rt△ADM中，DM=ADsinβ=又△ABC∽△DBM，所以問題得解.

過點B作BM⊥AD于點M，構造△ACD和△DBM相似也可解答，過程略.

圖3

4.向量視角

解法6：（向量坐標法）如圖3，建立平面直角坐標系，設C（0，0），A（0，x），B（3，0），則D（1，0）

圖4

5.復數視角

前面我們從不同的視角，展示了本題的多種解法，就其本質來說，主要反映的是幾何和代數兩大基本思想，解法8的復數視角雖方法不常規，但作為一種方法有必要了解，因為復數往往可以解決與長度、旋轉角有關的問題.本題看似平常，其實內涵豐富，大有挖掘價值，美不勝收.

二、拓展探究

探究一：點D位置一般化分析

探究二：角度一般化分析

（1）∠BAD一般化.將原題中∠BAD一般化，設∠BAD=β，β∈，則按結論1的類似解法，可得以下結論.

綜合結論1和結論2，可得更一般化的結論.

（2）∠C一般化.在結論3的基礎上，進一步將∠C一般化，設∠C=α，α∈（0，π），D為BC邊上的一點，且λ，λ∈（0，1）.下面我們將從幾何角度對問題進行分析.

圖5

如圖5，構造△ABD的外接圓⊙O，顯然點A既在⊙O上，又在直線AC上，即點A為直線AC與⊙O的交點，因此本題的多解討論等價于分析直線AC與⊙O的交點個數.先討論圓心O與點A在BC同側的情況.如圖5，建立直角坐標系，不妨設CB=1，∠BAD=β，則AC∶x=cotα·y，⊙O的圓心半徑r=

當d≤r時，sin∠BAC有解，此時（1+λ）sinαsinβ-（1-λ）cosαcosβ≤1-λ （*），特別地，當（*）式取等號時，sin∠BAC有 唯 一 解 ， 此 時 AC=

結論4：在△ABC中，∠C=α，α∈（0，π），D為BC邊上的一點，且=λ，λ∈（0，1），則（1+λ）sinαsinβ-（1-λ）cosαcosβ≤1-λ（*），（*）式取“＜”時，sin∠BAD有兩解，特別地，當（*）式取等號，即cosβ=時，sin∠BAD有唯一解為

探究三：命題結構一般化分析

對原題的命題結構（條件或結論）加以互換或改造，還能得到下面一系列的變式命題.

變式1：在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一點.若 cos∠BAD=則= _________.

變式2：在△ABC中，∠C=45°，D是BC上一點.若 cos∠BAD=，sin∠BAC=，則= _________.

變式3：在△ABC中，D是BC上一點.若cos∠BAD=，sin∠BAC=，求的取值范圍.

值得注意的是變式1為賽題的逆命題，變式2、變式3在變式1的基礎上改變了∠C，而所給的又是sin∠BAC，所以需要討論∠BAC的多解情況，并且變式2、變式3中給出的sin∠BAC的值，正好對應了兩解、一解的情形，讀者可自行研究與之對應的一般情況.

變式4：在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一點.若AC= 1，BD=2，求的取值范圍.

對變式4加以包裝，就得到經典的高考題：已知圓C的圓心在拋物線x2=2py（p＞0）上運動，且圓C過定點A（0，p），設圓C被x軸所截得的弦為MN，且|AM|=l1，|AN|=l2，求的取值范圍.

三、幾點感悟

（1）本題文字敘述簡約，有利于學生審題和思考，多角度探究蘊含豐富的數學思想，有利于提升學生的思維品質.

（2）相對于“說課”，“說題”是一種新鮮的事物，“說題”怎么說，還是一個正在探索的問題.它是一種類似于說課的教育教研展示和討論活動，是說課的延續和創新，是一種深層次備課后的展示.教師說題一般要說背景、解法、價值和引申拓展等.通過“說題活動”，可以促進教師對教材例題、習題和高考試題的研究，從而更有效地把握教材和高考命題的方向，發揮教材中例題、習題和高考試題的作用，提高課堂教學的針對性和有效性，促進教師專業水平的提升.

（3）波利亞認為：中學數學的首要任務是解題，解題是數學課中最有創造性的精彩華章.在平時的教學過程中，教師應教會學生做有心人，引導學生多方位、多視角地思考問題和發現問題，挖掘知識間的聯系，就可以在已有問題的基礎上提出新的問題，并用數學思想方法和手段加以解決，從而獲得新的、有價值的結論.這樣的學習對培養學生的數學思維能力、提高學生的數學解題能力、促進教師的教學水平都大有裨益.F