研讀數學教材旁白的幾個切入點*

☉重慶市復旦中學 黃益全 陳艷艷

研讀數學教材旁白的幾個切入點*

☉重慶市復旦中學 黃益全 陳艷艷

數學課程標準的頒布實施為我國數學課程教材改革注入了新鮮活力，尤其旁白等欄目的使用，使教材變得更加豐富多彩和引人入勝，更具文化價值和育人功能.然而，當前的數學教學卻出現一個較為普遍的現象：教材旁白形同虛設.這種現象的出現，除了與教師的教學觀念有關外，還與教師如何研讀并有效運用旁白有關.本文擬從旁白研讀的角度，案例式地介紹研讀高中數學教材旁白的幾個切入點，以期為教材這一靜態的文本賦予生命力，進而輔助教師創造性地組織教學.

一、從編寫者對教材設計意圖的角度研讀教材旁白

教材是編者集體智慧的結晶，是教師教與學生學的中介.在教材上出現的任何信息都有它存在的價值，旁白也不例外.教師的基本功之一就是要揣摩教材編寫者的設計意圖，將教材這一“靜態文本”背后的“故事”詳細、恰當地給學生進行解讀和“翻譯”，結合自己的創造性，構建學生思維馳騁的平臺，給學生留下廣闊的思維空間，打造精彩交融的課堂.

案例1：必修4P34的旁白“考查三角函數的性質，就是要研究這類函數具有的共同特點.”

通過研讀，我們可以揣摩教材編寫者設計這個旁白的基本意圖有以下幾點.一是利用寥寥幾字，對學生的數學學習和思考指明了方向，提醒教師在教學中應當對這一環節“濃墨重彩”.二是揭示并鞏固了研究函數的一般思路：實際問題—函數定義—函數圖像—函數性質，這種研究思路對三角函數的學習研究也不例外.三是在研究了三角函數的圖像之后，必然要研究三角函數的性質，研究函數性質最常用、最直觀形象的手段就是作出函數的圖像，再通過對函數的圖像進行觀察，必要時證明函數的性質.四是三角函數的圖像對三角函數性質的歸納與提煉起著舉足輕重的作用，并且周期性是三角函數這一數學模型的核心性質，因而教材把對周期性的研究放在所有性質的首位.五是通過對三角函數性質的深層次理解，可以進一步強化學生的數形結合思想，以及運用數形結合思想來理解、總結函數的其他一些性質的能力.

二、從知識本身的角度研讀教材旁白

數學知識是指《課標》中規定的數學概念、法則、公理、定理、公式、數學方法，以及其中蘊含的數學思想等內容，它既是學生學習的重要內容，又是學生達成課程目標的基本載體.因此，讀懂數學知識是讀懂旁白的前提.從知識本身的角度來研讀教材旁白，可從三個方面入手：一是弄清知識本身、知識的內涵和外延，以及與相關知識的區別和聯系；二是準確區分知識類型，如事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識等；三是正確闡述知識的上位知識和下位知識，明確知識的來龍去脈.

案例2：必修2P97的旁白“分類討論時，常按α≠90°和α=90°分類，這樣可以做到不重不漏.”

對于這個旁白，涉及兩個重要知識：直線的斜率和傾斜角.一是要弄清楚什么是直線的傾斜角：當直線l與x軸相交時，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫直線l的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.二是要弄清楚什么是直線的斜率：若直線的傾斜角為α（0°≤α＜180°）且α≠90°，則直線的斜率為tanα.三是要明確直線傾斜角與斜率的關系：傾斜角α= 90°?直線斜率不存在；α≠90°?k=tanα.四是要了解斜率的一些實際意義：在直角坐標系中斜率表示直線與x軸的傾斜程度；在導數中斜率表示直線的瞬時變化率；在運動學中斜率表示物體運動的瞬時變化速度；在工程問題中斜率表示道路高度的平均變化率等.五是要讓學生明確直線的斜率為什么要用傾斜角的正切值來刻畫：在工程問題中，道路的傾斜程度是用“坡度”來刻畫的，它表示高度的平均變化率，其大小是用正切值來表示的.因此，用傾斜角的正切值來刻畫斜率可與工程問題中的“坡度”概念保持一致性.教材中的這個旁白，通過以上五個方面的研讀，我們就弄清了對斜率、傾斜角應該“教什么”、“如何教”，以及“教到何種程度”，也明確了傾斜角與斜率的上位知識和下位知識.

三、從數學知識所起作用的角度來研讀教材旁白

中學數學教材中的旁白，從知識所起作用的角度看，一是提煉數學思想方法；二是總結數學解題方法和基本步驟；三是培養學生的科學人文精神，逐步培養學生理性思考的習慣.數學作為一種知識，它具有廣泛的使用價值；作為一種文化，它能提升人的精神，增強人的本質力量，促進人的身心和諧發展.

案例3：必修1P30的旁白“先對函數是否具有某種性質做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數性質的一種常用方法.”

該旁白是對數學核心思想方法的提煉，既有數形結合思想的滲透和引領，也有合情推理方法的引導，更是對如何研究函數性質這類數學問題的方法總結，以方便學生運用和理解.該旁白的作用體現在以下幾點：一是明確了涉及函數性質問題的解決方法——作出函數的大致圖像.二是滲透了數形結合的數學思想——先觀察出函數是否具有某種性質，然后作出猜想.三是僅有圖像的觀察和猜想是不夠的，還應通過邏輯推理來證明這種猜想的正確性.四是通過作圖—猜想—證明的解題程序，可以培養學生嚴謹、樸實、一絲不茍的學習態度，熏陶學生理智、自律、嚴肅認真的科學態度，養成誠實、求是、剛正不阿的品格.五是對反比例函數y=的定義域和單調性的解決策略，為后續例4“已知函數f（x）=（x∈［2，6］），求函數的最大值和最小值”提供了研究思路：作圖—猜想—證明—求值，學生應勢而解，學生的正向思維定勢得以形成.

四、從文化價值的角度來研讀教材旁白

新課標在培養學生數學素養方面，要求做到“以人為本”“滲透數學文化，體現人文精神”.教材通過旁白的方式，力薦一些著名的數學家和數學史實，反復向學生展示各種數學文化，營造濃郁的數學文化氛圍，在引導學生學習數學知識的同時，賞析數學家對數學發展的貢獻，讓學生接受數學文化的熏陶，感受數學的美好，以此培養學生良好的情感、態度與價值觀，激發學生的數學創新原動力，關注數學的文化價值，促進學生科學觀的形成是現代數學課堂教學不可或缺的環節.

案例4：必修1P16的旁白“函數符號y=f（x）是由德國數學家萊布尼茲在18世紀引入的.”

教材設計此旁白，其主要意圖體現在以下幾點.一是教師要通過課堂教學，將數學文化知識普及到學生平時的學習中，讓學生了解數學的簡明發展史及歷史上我國在數學發現與發展中所起的作用.二是通過數學簡史的介紹，闡明一個基本觀點：數學的盛衰與國力的強弱有關.三是要求教師的教學要時刻關注數學的文化價值，要讓學生了解數學是人類文化的重要組成部分，了解數學在人類文明和社會發展中的推動作用，了解數學家的創新精神，逐步形成正確的數學觀.四是要求教師的教學要向學生滲透數學美.高中新課程把數學審美納入課程目標，指出新課程應“具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義”.函數符號y=f（x），通過幾個符號，把近50余字的含義高度進行了刻畫，教師在教學此概念時，要通過符號語言的表述，引導學生從中體會數學的美，感悟數學的藝術魅力.五是在本節教材之后，還設置了關于“函數概念的發展歷程”的閱讀材料，教師應鼓勵學生去了解、搜集函數的發展史，以及有關數學家（如伽利略、萊布尼茲、歐拉等）的故事.在章末又安排了一次“實習作業”，旨在通過合作學習的方式，查閱資料，了解函數形成、發展的歷史.在新教材中時刻注意體現數學的文化價值，也提示教師在教學中可以結合實際情況滲透得更多.

五、從教學的角度來研讀教材旁白

我們研究和解讀教材旁白，其主要目的是為教學設計服務，為課堂教學服務，為教學“補白”作準備.教師的課堂教學應充分利用旁白來努力調動學生學習的積極性.在某種程度上，旁白比正文更有趣，形式更活潑，更貼近我們的生活，通過旁白有趣的提問和對話等，使學生樂于學習，并且從中感到愉悅，得到收獲.

案例5：必修1P50在講分數指數冪時的旁白“數學中，引進一個新的概念或法則時，總希望它與已有的概念或法則是相容的.”

一方面，教材以旁白的形式從相容性的角度指明了這種推廣的合理性，以及這個知識點這樣安排的緣由.但這種推廣合理性的嚴密的證明又是超越學生思維的“最近發展區”，因而教材沒有給出證明，限于高中學生的知識基礎和接受能力，也沒有必要進行證明，只是從數學的角度給出了較通俗的說明，指明在數學里這種推廣是合理的.另一方面，這個旁白也從數學思想的高度，針對推廣的合理性，引入一個新的概念的必要性等進行適當的說明，指明了數學中引進新知或法則的基本準則之一：相容性.其實，這也是所有學科的基本準則.三是為了保證數學教材整個知識結構體系的合理性、完備性，所以教材在這些方面作了滲透，教師教學時也應向學生進行明示，注重培養學生的科學人文精神.

總之，高中數學教材中的旁白不是可有可無的東西，事實上，它在學生的學習和教師的教學中起著相當重要的作用，這些作用是正文所無法替代的.研讀教材旁白的幾個切入點也不是孤立的，對一個旁白的研讀同時從幾個方面切入，才能進行完美的解讀并有效發揮旁白的功能.作為數學教師，我們既要重視教材旁白，精心研讀，更要重視教材“補白”，使“補白”與旁白相得益彰，精彩交融，使我們的課堂更靈動，更彰顯人文性.對高中數學教材旁白的研讀，要求我們教師既要從宏觀的角度領會教材的編寫特點，理清知識發生、發展的來龍去脈；又要從微觀的角度揣摩教材的編寫意圖，明確教材的脈絡結構，深刻領悟數學知識的作用和蘊含的文化價值，實現教材價值的最大化；既要從整體到局部，又要做到跳出教材看教材.

1.普通高中課程標準實驗教科書·數學A［M］.北京：人民教育出版社，2011.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.譚淇婧.數學教材旁白的功能及運用研究［D］.重慶：重慶師范大學，2011.

4.張俊如.對數學教材中旁白作用的認識［J］.中學數學新教材教學建議，2009（2-3）.

5.何金紅.新課標下高中數學教材分析研究——典例分析人教A版高中數學（必修1）［D］.武漢：華中師范大學數學與統計學學院，2012.F

*本文系重慶市渝中區教育科學“十二五”規劃2013年度重點課題“人教版初高中數學課標教材中旁白的研究”（課題批準號：2013-001，課題負責人：黃益全）的研究成果.