2014年全國高中數學聯賽加試第一題及其“根”的探究

☉浙江省湖州市雙林中學 李建潮

2014年全國高中數學聯賽加試第一題及其“根”的探究

☉浙江省湖州市雙林中學 李建潮

一、賽題的“根”

2014年全國高中數學聯賽A卷加試第一題（以下簡稱“賽題”）：設實數a，b，c滿足a+b+c=1，abc＞0，求證：bc+ ca+ab＜

看賽題，筆者自然而然回想起了文1所述的一道競賽題：（2010年全國高中數學聯賽廣東預賽第3題，以下簡稱“試題”）設非負實數a，b，c滿足a+b+c=1，求證：bc+

從結構看，試題（2）與賽題（1）如出一轍，且當a，b，c都是正數時，只需由（2）式去證明（1）式即可.不得不說，試題（2）就是賽題（1）的“根”.伴隨而至，探究“根”的證法也隨之凸現出來……

二、試題“根”的新證

下面是關于“根”的兩種新穎證法.

證法1：（消元法）不妨設0≤a≤b≤c，則由a+b+c=1，知0≤a≤.于是（bc+ca+ab）-abc=a（b+c）+bc≤a（b+c）+（1-a）2（4-9a）（因（1-3a）2≤

移項，試題（2）獲證.

證法2：（抽屜原則）注意到當a=b=c時（2）式取得“=”號這一題眼，對任意的三個實數a，b，c，由抽屜原則，知其中必有兩個同時不小于（或不大于），不妨設這兩個實數是b，c，則≥0，即3（b+c）≤1+9bc.

于是4（bc+ca+ab）=4bc+4a（b+c）≤（b+c）2+4a（b+c）=（b+c）（4a+b+c）=（b+c）（1+3a）=（b+c）+3a（b+c）≤（b+c）+ a（1+9bc）（因a≥0）=1+9abc.

由此，試題（2）獲證.

以上兩種證法足以讓本來的試題（2）“老樹發新芽，舊貌變新顏”.

三、賽題“根”的證明

用“根”（2）式極易證明賽題（1）.

證明：由abc＞0，知a，b，c都正，或一正二負.

當a，b，c中一正二負時，不妨設a≤b＜0＜c，則bc+ca+ ab=a（b+c）+bc=a（1-a）+bc＜0.

（1）式顯然成立.

綜上，賽題（1）得證.

據上所證，建議把賽題（1）更改為：設實數a，b，c滿足a+b+c=1，abc＞0，求證：bc+ca+ab≤

四、盤“根”錯節

看下面關于試題（2）的第三種證法.

證法3：試題（2）等價變形為：-1+4（bc+ca+ab）-8abc≤abc?1-2（a+b+c）+4（bc+ca+ab）≤abc?（1-2a）（1-2b）（1-2c）≤abc?（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）≤abc（因為a+b+c=1）.

以上最后一個不等式實為1983年瑞士數學競賽的一道試題：已知a，b，c都是正實數（筆者注：改為“都是非負實數”，證法與結論不變），試證：（b+c-a）（c+a-b）（a+ b-c）≤abc.（4）

所以，試題（2）成立.由此可見，（4）式系試題（2）的“根”，而試題（2）又系賽題（1）的“根”——盤“根”錯節，大飽眼福.

五、“根”的延伸

深入探究（4）式，獲其延伸.

引申1：設a，b，c都是正數，則（a+b+c）3（b+c-a）（c+ab）（a+b-c）≤27（abc）2.（5）

引申2：設a，b，c都是實數，則（a+b+c）3（b+c-a）（c+ab）（a+b-c）≤［8abc+（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）］2.（6）以下只給出引申2的證明.

證明：令b+c-a=2x，c+a-b=2y，a+b-c=2z，解出a=y+z，b=z+x，c=x+y.

代入（6）式化成：［2（x+y+z）］3·2x·2y·2z≤［8（y+ z）（z+x）（x+y）+2x·2y·2z］2?3xyz（x+y+z）3≤［（y+z）（z+ x）（x+y）+xyz］2.（7）

注意到代數恒等式：（y+z）（z+x）（x+y）+xyz=（x+y+z）·（yz+zx+xy），知（7）式即為3xyz（x+y+z）3≤（x+y+z）2（yz+ zx+xy）2?3xyz（x+y+z）≤（yz+zx+xy）2.（8）

而由常見不等式：（a+b+c）2≥3（bc+ca+ab）（a，b，c∈R），易知不等式（8）成立.

因此，引申2得證.

值得一提的是，引申2是一個全新的不等式.

1.侯典峰.一道預賽解答題的另證［J］.中學數學（上），2010（12）.F