教學爭議放在“教材深度解讀”下去定論
——以“一元一次不等式解決問題”中對“最多（少）”類問法的設元為例

☉江蘇省無錫市新城中學 浦敘德

教學爭議放在“教材深度解讀”下去定論
——以“一元一次不等式解決問題”中對“最多（少）”類問法的設元為例

☉江蘇省無錫市新城中學 浦敘德

一、提出問題

義務教育教科書《數學》（蘇科版七年級下冊）“第11章：一元一次不等式”之“11.5用一元一次不等式解決問題”中的問題1引用了章前圖提出問題：“一只紙箱質量為1kg，放入一些蘋果后，紙箱和蘋果的總質量不超過10kg.假設每個蘋果的質量為0.25kg，這只紙箱內最多能裝多少個蘋果？

2004年11月第1版、2012年11月第3版、2013年11月第10次印刷的教材對上題的解答過程如下.解：設這只紙箱內裝了x個蘋果.根據題意，得0.25x+1≤10.解這個不等式，得x≤36.答：這只紙箱內最多能裝36個蘋果.

2014年11月第11次印刷的教材對上題的解答過程如下.解：設這只紙箱內最多能裝x個蘋果.根據題意，……（下同上解法）.

同一版本的教材，在相差一年的時間里，出現兩種不同的設元方法，不僅引起了廣大數學教師的爭論，更促使數學研究者深入的思考.是編者的粗心還是有意更改？是兩種設元方法都行還是都有問題？哪個更接近數學的本質，是否有深層次內涵在里面？教學何去何從？帶著這個問題，筆者進行了分析思考.

二、分析思考

仔細閱讀本節內容的四個例題，發現在“用一元一次不等式解決問題”中會遇到兩類問題.一類是題目條件中有“不等關系”關鍵詞，求解中沒有“不等關系”關鍵詞，如本節例2：條件為“杜鵑花適宜在氣溫為17℃到20℃之間的山區”，問法為“求山區適宜種植這種杜鵑花的山坡的高度”，對于這類問題，可以直接設山坡高度為x，列出不等式求解，最后求出的x也是一個范圍，而不是一個確定的值，答要根據實際意義作出相應的結論；另一類就是如上題目條件中有“不等關系”關鍵詞，求解中也有“不等關系”關鍵詞.第一類問題設元不存在任何問題，第二類問題由于教材的不同解法，顯然會令教師和學生都產生疑問，那么遇到這類問題，究竟該如何設元呢？

首先，我們從“知識線”的微觀層面解讀一下教材，進而對“一元一次不等式”知識線產生深層次的本質理解.一元一次不等式是表示不相等關系的式子，它有無數個解（無限），所有這些解組成了這個不等式的解集.在這個解集中，含有“最大、最小”或“有限個”特殊的解（有限）.實際上，列一元一次不等式解應用題，更多的是求解集中這些特解的過程.

其次，我們從“知識面”的宏觀層面解讀一下教材，把不等式知識線與方程知識線作個比較，以便深層次把握“不等式”宏觀研究的暗線和本質.“一元一次方程”是按照“定義—方程的解—解方程—運用和應用”的思路展開，因為一元一次方程解的唯一性（一般），決定了這是一條單一的完整的知識線；而“二元一次方程”本來也可以按照上述思路展開，但由于其解有無數個（不定方程），所以只能研究定義和解，進而轉到“二元一次方程”的“特解”或“二元一次方程組”的研究上來，形成了“二元一次方程組”的“定義—方程組的解（解的唯一性，一般）—解方程組—運用和應用”這條知識線.由此可見，當問題的解出現“無限”時，從“面”的角度看，就會設法變成“有限”（特解），由一般到特殊，這完全符合初中生的身心特點和認知規律.

然后，回到“一元一次不等式”上來.知識線是一元一次不等式的“定義—解（解集）—解不等式—運用和應用”，由于解是無限個（解集），所以要么走向“一元一次不等式的特解”，要么走向“一元一次不等式組”，都是由一般到特殊，變無限為有限.當然后面“一元一次不等式組”的解也組成解集，再特殊化處理，此處不再展開.

最后，回到原始問題上來.條件“紙箱和蘋果的總質量不超過10kg”，轉化成符號語言顯然是一個“一元一次不等式”，它應該有無數個解，考慮到蘋果的個數是正整數，是特解，應該是有限個，在這有限個特解中，必定有最大的一個，這就是問題“這只紙箱內最多能裝多少個蘋果？”因此，采用方法一的設元顯然是合情合理.而方法二“設這只紙箱內最多能裝x個蘋果”的設元，x應該是唯一的一個值，由于它依然符合不等式，所以設元和求解對最后的結果沒有任何影響，但求出的解集是x≤36（依然是無限個解）與x=36（唯一的特解）有重復之嫌.由上面的微觀和宏觀解讀教材可見，當問題中出現“最多、最少”等字眼時，設元沒必要把“最多、最少”等字眼放進去，按一般x（字母表示數的廣泛含義）更符合數學的深層次內涵.有教師認為，如果設元如方法二，因為x唯一確定，所以可以直接列成方程，這種“一般問題特殊化”的認識是錯誤的.此處列成方程求出x=36成立是巧合，如果題目改成“總質量不超過10.2kg”，那么用不等式求解是x≤36.8，最后x=36；而用方程求解是x=36.8，由于x取正整數，顯然是錯誤的.

事實上，“用一元一次不等式解決問題”的題目條件中只要出現“不等關系”，那么求解出來的結論必定也是一個“不等關系”，就是已知“不等式”的“解集”.因此，無論問法中是否含有“最多、最少”等字眼，考慮到字母表示數的一般性，設元都不必把“最多、最少”等字眼帶進去，按照“不等式—解集—特解—最多（最少）一個解”的思路解決.

三、建議對策

由教材引起的各類教學爭論自從新教材實施后一刻都沒有停止過，如“無理數在初一上學期第2章就介入是否恰當”、“在4x2+1這個多項式上加上一個式子，使之成為完全平方式，答案是什么”、“勾股定理在拼圖等數學實驗的合情推理下就運用之解決問題是否可行”等問題，有的爭議反反復復沒有定論.一方面，可能教材在編寫過程中確實存在疏漏，這是很容易下定論的；另一方面，主要是考慮學生當前知識和認知水平采用螺旋上升逐步提高認識的方法編寫教材，此處的內容往往以學生的可接受性為原則，對問題的一般性或特殊性會存在歧義，這也是爭論最多、爭論不休的地方.

當出現爭論、沒有定論的時候，作為教師可以從“教材深度解讀”方面去努力尋找結論，進而找到有效的教學實施方法.具體可用“點全、線聯、面融”六字方針實施深度解讀，先進行“點”的解讀，再進行“線”的解讀，最后進行“面”的解讀.“點全”就是研究這個知識點的“前后左右”，數學中的每一個定義、定理、公式、法則等，都需要搞清楚“本知識點從哪里來？怎么形成的？學了這個知識有哪些作用？今后這個知識將向哪里發展？”如上述案例中的“一元一次不等式應用”中的設元爭議，我們通過對“一元一次不等式”中每個知識點的全面解讀，就可以找到定論.“線聯”就是研究由這個知識點形成的一條知識線，形成知識點之間的相互關聯，如上面的爭議問題，實際上存在“定義—解—解集—解不等式—運用和應用”一條知識關聯線，通過線聯解讀就找到了應用中“一元一次不等式—無數解組成解集—實際要求的有限個特解—符合這個具體問題的一個解”這條暗線，進一步確定定論的科學性.“面融”就是研究這條知識線與其他相關知識線的融合，從更宏觀的層面找到知識的共性和不同，加深對數學本質的認識.如上面爭論，對方程就不會出現，對不等式就會出現，面融解讀就可以充分體會方程與不等式之間特殊與一般的關系，既可以避免選擇方程的錯誤解法，又可以得到方法一是最合情理的設元方法的定論.

綜上所述，當教學中出現爭論時，首先，回到最基礎的數學知識點上去解讀研究；然后，把知識點放在一條知識線上去全面分析思考；最后，把問題放在知識層面上去宏觀考量，必定可以避免沒必要的教學爭論，即使做了上述解讀研究有些教學爭議依然無法下定論，也可以為自己的教學定下有效的基調和實施的路徑.

1.浦敘德.記一次公開課的研究之旅［J］.中學數學教學參考（中），2014（9）.

2.浦敘德，謝潔紅.從知識整體性視角設計主問題引領課堂教學［J］.中學數學（下），2014（8）.

3.浦敘德，馬雄偉.教材素材的基本處理策略［J］.教育研究與評論，2013（12）.H