構造數學模型，解決初等數學的最值問題

☉重慶幼兒師范高等專科學校 張平奎

構造數學模型，解決初等數學的最值問題

☉重慶幼兒師范高等專科學校 張平奎

在初等數學復數和函數教學中，我們時常見到關于求復數和函數最值的問題.如果我們對復數的絕對值不等式性質熟悉，構造一個恰當的數學模型，利用復數模的性質，即||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，則可簡捷、明快地解決這一類復數和函數的最值問題.利用它來求解十分方便，現舉例來說明.

解：由絕對值不等式的性質可知：||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤ |z1|+|z2|，而|z+i|≤1，則i|-1|≤|z|≤i|+1，即|2-1|≤|z|≤|2+1|，即1≤|z|≤3.由此可知：|z|的最大值是3，最小值是1.

推廣：對于數學模型Ⅰ，若復數z滿足|z±z0|≤a（a為非負實常數，z∈C），則|z|的最大值和最小值分別為：|z|max= |z0|+a，|z|min=||z0|-a|.

例2 設|z|=3，則|z-3+4i|的最大值和最小值各是多少？

解：同樣利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，由|z|= 3，得||z|-|3-4i||≤|z-（3-4i）|≤|z|+|3-4i|，即|3-5|≤|z-（3-4i）|≤|3+5|.

即2≤|z-3+4i|≤8.

即|z-3+4i|的最大值和最小值分別為8和2.

推廣：對于數學模型Ⅱ，若復數z滿足|z|=a（a為非負實常數），則|z±z0|的最大值和最小值分別為|z0|+a、||z0|-a|.

解：設z1=（2-x）+4i，z2=（x-3）+3i.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|，得

則ymin=5

解：設z1=x+2i，z2=（3-x）+4i，則z1+z2=3+（2+4）i.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|， 得

當z1、z2同向，即，即x=時，取得最小值，為

推廣：對于數學模型Ⅳ，若a、b、c均為正數，函數y滿足y=，則|a+bi|+|c+di|≥|（a+bi）+（c+ di）|，當且僅當a∶b=c∶d，即z1、z2同向，即，即x=時，取得最小值，為

解：設z1=x+3i，z2=（x-1）+2i.

|y|=||z1|-|z2||≤|z1-z2|=|1+i|=即-≤y≤，則ymax=

總之，利用絕對值數學模型研究初等數學最值問題的好處是不需要畫圖，也不需要過多的計算，可很方便地解決這類數學問題，是一種值得推廣的解法，大家不妨試一試.A