同課異構，讓數學教學更貼近數學本質
——“指數函數（第1課時）”同課異構的教學反思

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 殷偉康

·江蘇省常熟市殷偉康名師工作室·

同課異構，讓數學教學更貼近數學本質
——“指數函數（第1課時）”同課異構的教學反思

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 殷偉康

張奠宙教授認為數學本質是指：①數學知識的內在聯系；②數學規律的形成過程；③數學思想方法的提煉；④數學人文精神的體驗.其中數學思維能力是核心.2014年9月某市首屆優秀青年骨干教師高級研修班A、B兩位學員對同一課題：“指數函數（第1課時）”進行了同課異構，展現了不同的教學風格和處理教材的教學智慧，讓數學教學更貼近數學本質.

一、創設情境，引入新課

學員A教學片斷1

情境問題1：某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果細胞分裂x次，相應的細胞個數為y，如何描述這兩個變量的關系？

情境問題2：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%.如果經過x年，該物質剩余的質量為y，如何描述這兩個變量的關系？

引導學生分析，找到兩個變量之間的函數關系，并得到解析式y=2x和y=0.84x.

學員B教學片斷1

情境問題：網上有人說，將一張白紙對折50次以后，其厚度超過地球到月球的距離，你認為是真的嗎？設白紙每張厚度為0.01 mm，已知地球到月球的距離約為380 000 km.

請各小組將課前準備好的報紙拿出來，你認為可以將其對折多少次？

問題1：若設對折次數為x，報紙的層數為y，則y與x的關系是什么？

問題2：設報紙的原面積為1，則報紙的面積y與對折次數x的關系又是什么？

評析：學員A通過學生感興趣的指數函數的具體實例，讓學生感受指數函數與實際生活的聯系，明確指數函數模型的實際背景.引導學生從具體實例中概括其典型特征，初步形成指數函數的概念，并用數學符號表示.學員B從學生感興趣的一個生活實例（對折50次后紙厚度的驟變）出發，引發學生爭議，由此創設折紙實驗活動情境，更好地激發了學生的學習興趣和探究的熱情，強化了學生內在的學習需求，巧妙地導入了新課.

二、抽象特征，建構概念

學員A教學片斷2

師：類似的函數，你能再舉出一些例子嗎？這些函數有什么共同特點？能否寫成一般形式？

師：函數式y=ax中的a、x的取值范圍有沒有限制？你能規范地構建出一種新函數模型嗎？這種新的函數怎樣命名比較貼切？

學生依據分數指數冪的相關知識，很快發現：若a≤0時，x就不能取任意實數了，因此規定a＞0.當a=1時，函數就是常數函數y=1.對于y=1這個函數，已經比較了解了，所以通常還規定a≠1.由學生嘗試歸納出新的概念：一般地，函數y=ax（a＞0且a≠1）稱為指數函數，它的定義域是R.

學員B教學片斷2

師：這樣的函數你見過嗎？是一次函數嗎？二次函數？這樣的函數有什么特點？你能再舉幾個例子嗎？

師：板書學生舉例（停頓），好像有不同意見.

生：底數不能取負數.

師：為什么？

生：如果底數取負數或0，x就不能取任意實數了.

師：我們已經將指數的取值范圍擴充到了R，我們希望這些函數的定義域就是R.

師：這些函數有什么共同特點？

生：都有指數運算.底數是常數，自變量在指數位置.

師：能否抽象、概括出具備上述特征的函數更一般的模型嗎？

生：y=ax（a＞0）.

師：當a=1時，函數就是常數函數y=1.對于這個函數，我們已經比較了解了.通常我們還規定a≠1.能否規范地構建出這種新的函數模型？這種新的函數如何命名比較貼切？

通過探討、交流，得到體現自變量在指數位置這一本質特征的最基本、最簡潔的形式：y=ax（a＞0且a≠1），從而完成對指數函數概念的建構.

評析：概念教學應當讓學生感受形成過程，了解知識的來龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項注意”的做法剝奪了學生參與概念形成過程的機會.兩位老師都能注重讓學生經歷從特殊的指數函數抽象概括指數函數的模型、建構指數函數概念的過程，并探討底數a的取值范圍.指數函數的本質是自變量出現在指數上，應促使學生對概念本質的理解.指數函數概念的形成，經歷了一個由特殊到一般，由具體到抽象的漸進過程，這樣更加符合學生的認知心理和思維歷程.

三、師生互動，探索新知

學員A教學片斷3

師：我們定義了一個新的函數，接下來該研究什么呢？

生：研究其性質.

師：（稍等片刻）我們一般要研究哪些性質呢？

生：變量取值范圍（定義域、值域）、單調性、奇偶性.

師：如何研究指數函數的性質呢？能否類比以前研究的函數性質的方法展開探究呢？

生：畫出函數圖像，觀察圖像，分析函數性質.

生：先研究幾個具體的指數函數，再研究一般情況.

師：選取合理數據，畫出函數圖像，觀察圖像特征，歸納函數性質.

學生自主選取數據，利用繪圖軟件作出底數0＜a＜1和a＞1的指數函數在同一直角坐標系中的圖像，觀察它們之間的異同，總結指數函數的圖像特征與性質.

生：當a＞1時，指數函數在（-∞，+∞）上單調遞增；當0＜a＜1時，指數函數在（-∞，+∞）上單調遞減.而且它們的圖像都經過定點（0，1）.

生：因為y=ax總是大于零的，所以圖像始終在x軸上方，也就是說值域為（0，+∞）.

生：圖像既不關于y軸對稱，也不關于原點對稱，所以指數函數是非奇非偶函數.

生：（補充）當a＞1時，若x＞0，則y＞1；若x＜0，則0＜y＜1.當0＜a＜1時，若x＞0，則0＜y＜1；若x＜0，則y＞1.

生：（補充）當a＞1時，底數越大，圖像越陡峭.

生：函數y=2x與函數的圖像關于y軸對稱.

生：底數a（a＞0且a≠1）互為倒數的指數函數（即函數y=ax與y=a-x）的圖像關于y軸對稱.

師：你能不能將這一特殊的現象推廣一下？

生：函數y=f（x）與y=f（-x）的圖像關于y軸對稱.

師：從現象到本質，居然能提煉出如此優美的數學結論，這是一次重大的發現，值得學習和借鑒.這些結論是否正確？

生：還須證明.

師：由圖像特征歸納猜想得到的結論，還須證明或說明.如單調性，還應通過f（x1）與f（x2）的大小比較進行代數證明，我們將在以后用代數方法進行驗證.

學員B教學片斷3

師：我們已經學過了函數的哪些性質？

生：單調性、奇偶性、定義域和值域.

師：研究函數的性質通常用怎樣的方法？

生：通過圖像入手，展開研究.

師：可惜現在對指數函數還不夠了解，那么怎樣去描繪其圖像呢？

生：通過列表、描點、連線的方法.

通過學生分組合作，分工協作，描點作圖，觀察它們之間的異同，組內交流、整理指數函數的圖像特征與性質.分層展示各小組研究成果（用實物投影儀展示學生所畫圖像及結論），匯報交流，將函數圖像的直觀感知與數學理性思維相結合，逐步有序歸納指數函數的性質，并從函數表達式角度對其結論進行說明.

評析：學員A引導學生討論，歸納出研究函數性質的基本步驟：①選取數據；②畫出圖像；③觀察特征；④歸納性質；⑤證明或說明.學員B先讓學生自己動手畫一下函數圖像，對指數函數的圖像建立直觀認識.然后教師通過四個函數圖像引導學生分析得出指數函數圖像的變化完全由底數a來控制的結論，進而引導學生按照底數0＜a＜1和a＞1兩種情況對指數函數進行分類探究并加以說明這些性質成立的合理性，在此過程中培養學生觀察、分析問題的能力.

四、新知運用，深化理解

學員A教學片斷4

例1比較下列各組數中兩個值的大小.

①1.52.5，1.53.2；②0.5-1.2，0.5-1.5；③1.50.3，0.81.2．

其中第③小題中兩個數的底數不一樣，如何比較兩者大小？

師：你考慮利用哪個函數？是y=1.5x還是y=0.8x？這兩個函數有什么關聯？

生：它們的圖像都過點（0，1）．

師：也就是說，可以將1轉化為指數形式，即1=1.50= 0.80．那接下來呢？

生：比較1.50.3，0.81.2和1的大小．

師：這樣，我們就找到了一個比大小的中間量．以往我們計算出冪的值來比較大小，現在我們利用指數函數的單調性，不用計算就可以比較兩個冪的大小．

師：有無其他方法？

生：老師，只要作出y=1.5x和y=0.8x圖像，觀察圖像，也不用計算，就可以比較兩者大小.

師：很好！通過觀察圖像，比較大小，這樣求解更加直觀、形象化，體現了數形結合思想.

學員B教學片斷4

例2比較下列各組數中兩個值的大小.

①1.52.5，1.53.2；②0.5-1.2，0.5-1.5；③1.50.3，0.81.2．

生：①②構造相應的指數函數模型，利用其單調性解決問題.

師：第③小題與①②兩小題有什么不同？

生：底數不同，指數也不同.

師：能不能借助指數函數的單調性比較大小？

生：不能，因為底數不同，不能構造同一個指數函數.

師：能否借助指數函數的其他性質比較大小？

學生通過重新審視發現：指數函數的圖像都經過定點（0，1），即1=1.50=0.80．再根據指數函數單調性，1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，進而比較大小.

師：這種解法有什么特點？

生：尋找中間量，通過中間量過渡，利用不等式的傳遞性比較大小.

師：性質是由圖像得來的，能否通過作圖比較大小？

生：作出y=1.5x和y=0.8x的圖像，借助圖像，發現1.50.3所對應的點在直線y=1的上方，而0.81.2所對應的點在直線y=1的下方，所以1.50.3＞0.81.2.

評析：兩位學員對第③小題的處理都能引導學生回到定義、圖像和性質中尋找解題突破口．讓學生認識到利用指數函數的單調性是比較兩個冪大小的常用方法，還可以通過數形結合，觀察圖像的變化規律，比較大小.

五、課堂小結，畫龍點睛

學員A教學片斷5

師：本節課我們學習了什么知識？

生：指數函數的概念、圖像和性質．

師：回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究指數函數的性質？

生：先確定研究的內容：定義域、值域、單調性、奇偶性和其他性質．然后從幾個具體的指數函數開始，畫出圖像，列出性質，最后歸納出一般情況．

師：這是一種從特殊到一般的研究方法．研究指數函數的方法，也是研究函數的一般方法，今后我們還會運用這樣的方法研究其他新的函數．

學員B教學片斷5

問題1：本節課在知識層面上，你有哪些收獲？

問題2：研究函數的一般方法和步驟是怎樣的？

問題3：本節課積累了哪些數學活動經驗或數學思想方法？（分類討論、數形結合）

問題4：你體驗到了什么？你感悟到了什么？（有學生提出“心中有圖”，方能應對如流）

評析：課堂總結不是對所學知識的簡單回顧，應讓學生在知識、方法和策略上多層次地整理，促進學生理解所用學習方法的合理性與普遍性，使學生獲得知識與能力的共同進步．學員B誘導學生通過反思，對課堂學習的內容有一個完整、清晰而深刻的認識，感悟數學知識中所蘊含的思想方法，掌握研究函數的方法，從而對指數函數的概念和性質進行有效地意義建構.

六、名師點評，誘發反思

名師1：兩位老師都能緊扣教學目標，對教材進行了二次開發，抓住自變量在指數位置這一本質，通過實際情境引入，得到新的函數關系，讓學生自主舉例，分析共同特征，形式化表示等過程，師生共同完成指數函數概念的建構.如何處理好信息技術與傳統教學的關系？兩位學員給出了詮釋.學員A利用繪圖軟件作圖，讓學生觀察圖像，歸納出指數函數圖像特征與性質.而學員B注重引導探討研究函數性質的方法，通過學生親自作圖，在直觀感悟中形成對指數函數圖像特征與性質的認識，這樣的教學更利于對數學本質的理解，掌握研究函數性質的科學方法.對例題的處理大同小異，借助于“中間量”進行比較大小.史寧中教授認為：“通過創設情境及數學活動，讓學生感悟出其中蘊含的數學思想方法，乃是數學教學的本質.”因而學員B的課堂小結中設置的問題更有啟發性、更加有效.值得商榷之處：指數函數概念概括出來后，應該對概念有一個辨析的過程，這樣更利于學生對指數函數概念的理解和領悟.

名師2：蘇霍姆林斯基曾說：“任何一個教師都不可能是一切優點的全面體現者，每一位教師都有他的優點，有別人所不具備的長處，能夠在精神生活的某一個領域里比別人更突出、更完善地表現自己.”同課異構正是基于展現每個教師處理教材的能力和教學智慧，啟迪教師更深入地“理解教材，理解學生，理解教學”（章建躍博士提出的“三個理解”），改變教學方式，注重回歸本源，揭示數學概念的發生、發展過程和本質，凸顯本真數學教學.兩位學員都能圍繞“核心主線”，精心設計數學問題，展開合作學習和自主探究，有效地實施了“核心概念”的教學.引導學生認識到實例的共同特征是自變量在指數的位置，獲得對指數函數本質的認識.進而將這一本質數學化，建立數學模型，探討底數的取值范圍，從而完成從特殊到一般、具體到抽象的數學概念的建構過程.怎樣研究指數函數的性質？適度暗示，讓學生主動地聯想，探索研究函數性質的方法，并付諸研究實踐，學員A的教法更到位.運用信息技術作出相關的圖像，歸納出其相應的性質，這樣給學生的概括活動提供更豐富的具體例證的支持；若用技術僅作為驗證歸納性質的手段，可能少妥.而學員B的教法則樸實一點，貼近學生的思維，讓學生通過作圖，直觀歸納出指數函數的性質，并對結論進行理性思考，顯得比較自然，但缺少引領學生尋找“研究函數的性質”方法的指導過程，不利于學生對研究函數的性質一般方法的認識與掌握.

教學反思：數學教學的核心是教出“數學味”，也就是說要把“面對一個新的數學對象，應如何入手和展開研究”作為教學設計重點，使學生在建構數學概念過程中，逐步學會認識和解決問題的方法.因而，數學概念教學要挖掘、揭示其本質屬性．數學概念的形成，基于“三個理解”的基礎，創設貼近學生思維水平的情境引入，引發學生展開有效的思維和探究，讓學生經過從感性認識到理性認識，才能有效地建構數學概念.如何讓學生產生感性認識，需要教師在教學設計時創設適當的問題情境，激趣啟智，嘗試提出問題，并引導學生對概念的辨析，使學生思維自然過渡，逐漸感悟數學概念的本質，以達水到渠成之功效.教學不僅要關注知識的落實，還要關注如何揭示數學本質和學生思維能力的發展.因而，要把提出問題的機會留給學生，把尋找方法的空間讓給學生，把自主探究的權力還給學生，讓學生在思考與探究中發現數學本質，感悟思想，掌握方法，發展思維，使數學課堂更加精彩、有效.

1.邢瑋，章建躍.遷思回慮，一得之功——對“指數函數（第一課時）”教學設計的再思考與評析［J］．中學數學教育（高中版），2013（1-2）.

2.劉明.“指數函數”該怎樣上——來自第六屆全國高中青年教師優質課的“同課異構”［J］．中學數學雜志，2014（3）．F