談高中數學教學結構的優化

王明山

（興化中學，江蘇 興化 225700）

自新課標實施以來，數學教學的目標設置就由單一的知識目標向知識與技能、過程與方法、情感態度和價值觀三維目標轉化，評課的標準也由單一“嚴謹科學”形式向評目標、評教學理念、評教學個性[1]的三維形式轉化，進而具體為評亮點、研究點和努力點的“三點”轉變；但同時，也出現了一些“怪現象”——評課時認為很完美的課，談到效果卻難以盡如人意，甚至個別的連一般也算不上，而不被評為完美的課，效果卻往往是很好或不好的兩極。這其中緣由，除了個別的公開課有些“作秀”因素外，最初認為是設計的三維目標中過程與方法、情感態度與價值觀不具體，過空、過泛，但將之具體化之后，此問題擴張的勢頭仍然沒有得到控制。細究發現，發生這種情況的最大根源在于講練長期“不協”，其中少數是內容不協，而多數則在于難度或順序或思想方法的不協，亦即教學結構出現了問題！那么如何優化教學結構，就是一個迫切而又現實的問題。

一、數學教學結構的含義

教學結構是指在一定的教學思想指導下，為完成一定的教學目標，對構成的諸因素在時間、空間方面所設計的比較穩定的、簡化的組合方式及其活動程序。它既含有一節課的總體宏觀和過程微觀安排，也包含教學理念、方法的備課預設、課后反思以及練習或作業的布置設計。目前,中小學已經不再是二三十年前的“有教材缺教輔”的時期，而是教輔材料隨處可見，以內容選材料對各學校而言已不再是問題，甚至以內容創編材料也正在有條件的學校醞釀或興起。如何安排這些材料，使其更好地為內容服務，就構成了教學結構優化的核心內容。

目前，對數學教學結構，由于側重點不同，理解也不盡一致，大致有三種認識：其一，認為真正有意義的教學是觀念性教學[2]，數學的意義不是一個邏輯概念，而是被理解為生命的表現；不是從文本中提煉出來的，而是從對話中創造出來的[3]。因而在教學方式上應注重活動與探究[4][5]，數學課堂教學的核心在于簡約[6]。可見，這是側重于思想、理念方面的理解。其二，認為每個數學問題的研究對象中，都有一個或多個關鍵的量，稱為元[7]，數學知識的本質包含概念的內涵與外延、概念之間的聯系、知識獲得過程中蘊含的數學思想方法，以及獲得知識的思維過程和元認知過程[8]。數學教學結構的核心是元認知的遞進過程，因此操作上注重將概念講透、點透、練透、悟透。其三，認為數學教育的意義在于讓學生的思想更具有邏輯性，數學教學結構是“教與學對應”和“教與數學對應”的雙邏輯結構[9]，數學課堂要進行邏輯推理，通過典型例子的分析和自主探究活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法，把數學的藝術形態轉變為學生易于接受的教育形態[10]，因此數學教學結構重心在于新知與原知間的各種聯系，通過這種聯系來實現原知向新知的正向遷移。無論何種認識，對真正實施一節課教學的教師而言，不僅要考慮這些材料因素，還要考慮學生狀況與自身實際的人為因素，只有將這些因素均考慮進去，找出其中最佳效果的教學結構這一過程，才是教學結構的優化。

二、高中數學教學結構優化的途徑和方法

按照教學的次序，數學教學結構的優化也分作備課預設優化、課堂交流優化及課后反思優化。

（一）備課預設結構優化

所謂備課預設結構優化，指的是在備課之前，對至少兩個方案，相互比較優劣，從中選取和組合或改編為一個較好的模式進行的備課預設。課堂效果如何，很多情況下與課前的預設程度有關。

一般情況下，備課預設結構優化要考慮材料和人為兩個因素。材料因素主要考慮以下幾個問題：該節課的目標是什么？用什么材料？如何嫁接這些材料？有無改編這些材料的必要？如何改編？改編或嫁接后預估問題的難點何在？人為因素主要考慮的是學生和自身兩方面，著重于以下幾個問題：學生已經知道相關的什么內容？通過什么方式聯系亦即用什么教學法來實現已知向新知的遷移？這些方式、方法中哪個對自己而言用得更得心應手？課上對自己、對學生應注意什么問題？

1.系統、章、節教學順序結構優化

系統、章、節教學順序結構優化，主要從邏輯關系及分散難點考慮。

就邏輯關系而言，目前的高中數學，主要有四大系統：一是工具系統，含有集合、算法、簡易邏輯、推理與證明；二是代數系統，含有函數、不等式、導數、三角、復數、數列；三是概率與統計系統，含計數原理（限理科）、統計、概率；四是幾何系統，主要是平面向量、解析幾何、立體幾何、空間向量及其應用（限理科）。一般情況下，由于工具的基礎性及代數的廣泛性，決定了高中數學的新知教學，無論是必修還是選修，需將工具、代數教學前置，而將其他教學后置這樣有序進行；從分散難點角度而言，分散難點操作的基本理念是“盡量不一步到位”（一次性地將一個系統內容學習完畢）。所以章節的新知教學順序一般隨模塊循序漸進。

分散難點有兩層含義：一是盡量使各難度較大的單元或章節不集中在一段時間內進行——過分集中的結果，往往是人為增加了學生的學習難度；二是具體到每節課上，基于多數學生“跳一跳可夠得著”的思路，設置一節課有且僅有一個難點——無難點的課易“走神”，長此以往，會養成學生懶惰的行為習慣，而兩個以上的難點，一般智商、基礎的學生往往會學得吃力，長期的吃力就容易讓學生喪失學習的興趣與信心。

2.教學方法結構優化

數學教學方法，大致可分為新式教學法和傳統教學法。從教學理論上而言，課堂更側重學生主體地位的教學方法稱新式教學法，目前基本含有活動法和探究法；而將講授法、講練結合法、練習法等相結合的課堂更側重于教師主導地位，以上這些方法歸屬于傳統教學法。從理論上說，采用什么教學方法，又采用多少，取決于學生達到形式思維及其運算的階段，隨著年齡的增長，高中生基本能用形式化的抽象表述進行思維過程，所以新式教學方法就應相應減少，這樣傳統教學法未必一定不好，新式教學法未必一定就是好的[11]。目前社會上有種偏見，只要是傳統教學法就被扣上一個“滿堂灌”的帽子，其實真正的教學追求是效果，效果是評價教學方式、方法的唯一標準，而不是其形式，教學上還是要提倡教無定法這一原則性理念的。筆者在1999年就傳統教學法總結了幾句話：優等生指著走，中等生牽著走，后進生扶著走，可以作為一絲經驗參考。

新式教學法的理論基礎在于一項大規模的教育心理學研究發現:采用不同的教學方式，學生對所教內容的平均回憶率不同，具體數據為——教師講授5%、學生閱讀10%、視聽并用20%、教師演示30%、學生討論50%、學生實踐70%、學生教別人95%。[12]這些落實到具體的教學上，基本就是活動法（含有討論、角色扮演、模擬與游戲等方法）和探究法。迄今為止，高中用此法成功者還只是零星的個案，多數還在摸索實踐當中，目前我們只是知道，影響這種方法實施的最大因素首要的是學生的習慣自覺性，其次是教師駕馭課堂的能力，再次是學生的基礎水準。不過從成功的個案中找出共性的結構順序，基本為“自主學習——合作交流——點撥誘導”，要說優化的話，前面的自主學習，如果用問題引領，如何能更快而有效地切入主題？中間的合作交流，如何使交流不偏離主題？后面的點撥誘導，怎樣充分發揮學生教學生的高效作用？

傳統教學方法優化的總體思想是如何更好地體現學生的主體地位。所以，講授法，可分解為小問題展開，或者先讓學生講解，教師再匯總講解，是優化的方向與思路；講練結合，必要時是不是將順序倒過來為練講結合，這樣比照講練結合效果會更好；練習法，為避免因評判時間延誤而遺忘帶來效果的打折扣，練習法是否可以將題目變少、變精，做了練習就進行訂正或講評。

3.教學環節結構優化

一節數學課，一般有一定的教學環節順序，如新知與復習課的環節順序一般是：引入——知識——例練——小結——作業，這里各環節究竟起到什么作用？能否起到應起的作用？是優化必須要考慮的問題。在流行的教輔資料中，常常將幾個基礎題作為引入，這一環節有無時間進行？有無必要進行？再如課上例題與練習，是就教材還是就學生手頭有的教輔資料，還是自己“另搞一套”？這些例題與教材及自己設想有何關聯？目前看來，也許是由于時間所迫或利益驅動的原因，編教輔資料者并未過深地考慮這些問題，不只如此，當中缺陷莫過于這些環節預設沒有一個為處理上節課問題預留時間，與之矛盾的是，這種時間預留又基本是每節數學課所必需的！那么，又預留多少時間為宜呢？實踐表明，為不影響本節主題，一節45分鐘的課，處理上節習題在8分鐘之內為宜。就單獨一節課而言，許多課的確能稱得上一節“好課”，但由于缺少這種處理上節課問題的時間預設，也就難以推廣到正常的課堂，這不能不說是個遺憾！

4.作業布置結構優化

現在各校認真負責的教師有許多問題與困惑，一方面不得不為學生身心發展考慮，隨社會及政策高呼“減負”，另一方面又要及時講評作業，講評時又要求學生勤于思考，所以得要求當天作業當天完成。在這種形勢下，作為“主科”的數學，量的完成上一般不存在多少問題，但誰又能知曉到底有多少是學生認真“做完”而不是抄完的呢？這里的關鍵是沒有一個統籌兼顧的考慮，更別談什么規劃與措施了。其中最核心的是作業設置量與難度問題。

我們不妨做一下分析：假如一個學生每天有6門功課，需要寫6科作業，寫作業時間估計為4個小時，這樣平均每科作業時間為40分鐘；如果說，在各科都想多擠占一點兒時間的情況下，又要求學生去當天完成，再勤于思考，不出現“應付”狀況又怎么可能呢？因此，比較理想的數學作業量是40—45分鐘。至于難度，如上文所述，共性問題能夠在下節上課的8分鐘之內處理完畢為宜，太容易則起不到作用，太難又不可避免地會讓下節課出現喧賓奪主的情況。

另一方面，能力畢竟是練出的，而不是看出、聽出的，既然練，就得有收獲，無收獲的不如不練。遺憾的是，如今市面上的教輔資料的習題，多數是在與教材中的爭“雙基”，使得基礎題到處都是，而在基礎之上的，又多是競賽味頗濃的技巧性難題占據主導地位，中等題廖若晨星，成為作業題中的一段空白。所以，布置作業時，讓教材習題充當夯實基礎的任務；將教材習題稍加拓展延伸或遷移應用，變形為中等題，作為補充題的主要內容；將競賽題通過分解微型解題、前后呼應、操作實驗、質疑糾錯、查閱資料的方式變為探究性題[13]，這是作業性質優化的一個方向。

目前，悄然興起一種僅說或寫解題思路的作業設置方法，這種做法值得商榷：畢竟對數學而言，從說出思路到書面表達，還是要有個過程的。可以毫不夸張地說，對數學，聽懂了，看懂了，不如自己獨立完整地寫出，這才能算真正地學會。

最后，感悟出適合所教學生留作業的難度、新穎度的比例與結構順序，更是作業布置優化的一個方面，[14]因為，2003年高考試題告訴我們，每個題都是好題，但組合在一起未必是一組好題，這與將世界精英球員放于一起，未必是一個好的球隊是一個道理。

總之，備課預設結構優化，總體思路是要相互和諧；操作時，主要從邏輯和難點兩者來考慮；要點是：邏輯關系理順，難點分散進行。

（二）課堂交流結構優化

課堂教學，是師生共同就材料進行交流、相互適應的過程，單方面強調學生主體或教師的主導地位，都未免偏頗，所以，課堂交流優化的核心在于靈活，這一點是不能從書本上學來的，這既與人的個性相關，也與經驗積累密切相關。

1.課堂引入結構優化

數學課堂引入，目前看來，大致可分為史料式、故事式、生活式、知識推理式和自學預習式，它們各自有各自的優點。從多年實踐的結果上看，對于一般智商的學生，自學預習式的課堂引入效果是最差的，遺憾的是，目前許多學校還在“新課標多活動”的口號下，不遺余力地搞自學式預習。當然，不是說采用教材中的引入例子，讓學生自學不可以，而是真要自學的話，教師最好要進行重點強調。至于其他幾種引入方式優劣，關鍵看其應用與課堂聯系的關聯度或者說巧妙程度。不過，對各地學生就感興趣的引入方式進行調查，結論是：故事式＞生活式＞史料式≈知識推理式，這可以作為數學課堂引入結構優化的一點參考。

2.課堂銜接結構優化

有了環節，就需將各環節銜接起來，銜接得越自然，課堂就越生動，相應效果也就越好。目前，關于課堂銜接，有兩種基本的框架結構理論：一是模式推進結構，指圍繞該節課的中心，說明主要有哪幾類應用，這些應用如何用一般思路解決？與該節課的中心有何關系？這種結構的優點在于中心問題的應用比較全面，如果是這一結構，優化的方面一般也有兩個，即如何設置更好的層次結構？如何匯總出操作步驟及注意事項？這兩方面可以用一個如何有序來概括。[15]二是雙基變式結構理論，認為基礎知識教學應求聯，基本技能的教學應求變，這一結構，優點在于重點比較突出、層次分明，其優化方向即如何讓數學思想充分滲透或彰顯，這里將數學思想的關鍵詞作為銜接技術未嘗不是個好辦法，如“差異分析”“依次二分”等，其具體顯現的終極優化目標是“一題式”教學。[16]

3.課堂解題教學結構優化

課堂解題教學，在新課標理念下，常常是先做后評。這樣就有兩種情形發生：一種是學生解出、解對了，教師是作為一個訂正者一帶而過還是更充分地暴露其解題思路？若是后者，教師不妨用“分析法”的技巧來闡明，再點明操作的有序步驟、關鍵點，甚至改進的解法；另一種情況是學生解答有缺陷或解答錯誤，這時教師是就學生思路點明問題所在并進行優化還是直接用另外巧法進行？筆者認為前者更為優越。上述情形，中學數學教師感受最深，探求優解也是多數數學教師一貫進行的工作。

4.課堂小結結構優化

課堂小結一般是每節課必需的，既然是小結，就得簡明扼要地說明一下。對于數學而言，小結不外乎知識、技巧、方法和思想，知識口訣化，技巧注意點化，方法有序化，思想關鍵詞化，是優化的一個方向。[17]

總之，課堂交流結構優化，總體思路是因勢利導，具體操作主要從質和量兩個角度考慮，要點是，質如何更有序，量如何更簡明。

（三）課后反思優化

課后反思的必要性，無須再用理論去說明，實踐證明：不進行反思的教學，永遠也無經驗積累可言。那么，究竟應反思什么內容呢？對以往成果匯總，可以概括為：匯精彩、查缺失、記火花。[18][19]這樣，反思優化方向就很明顯——首先，能否將這些反思內化為經驗？如果將預設作為第一次備課，反思作為第二次備課的話，那么記下積累經驗的教后感就可以說是第三次備課。[20]其次，能否將經驗上升為一定的理念或理論？

三、高中數學教學結構優化應注意的問題

數學教學結構的優化要適合自身條件，不能生搬硬套。如果教師將感覺好的做法、經驗不加分析地搬來貫徹、實施，結果常常是“邯鄲學步”，貌合而神離。所以，在教學結構優化上，首先，要反對生搬硬套的冒進，起碼對于自身，須有一個一節課如何上的規劃。

其次，一個成形集體的數學教學結構的貫徹，需要有一定的規程保障運行，筆者在2003年曾提出一個觀點：見問題不說等于零，說了不布置等于零，布置了不檢查等于零，如今形勢的發展，最好再加上一條，檢查了走形式等于零，筆者將此合稱為“四零原則”！

再次，我們說到優化，總得有個對象加以比較與鑒別，而不是空洞地說某某就是優化。目前，許多學校教師認為，20世紀八九十年代提倡的素質教育不甚理想，究其原因，在于你也說素質，我也說素質，但它自誕生之日起，作為基層的學校就沒有感受到其具體的內涵，是空洞的，更莫談什么實施的措施與評價了。新課標所倡導的素質教育能夠大面積推廣并基本獲得成功，它告訴我們，由上而下的模式運作，不適合數學教育的深入發展，當轉向反思性教學實踐[21][22]，由下向上的理論開拓更具有現實意義。因此，數學教學結構的優化不能走避實就虛的路子，而應多一點務實，多一點協作，這樣才能讓教學結構優化永無止境地走下去。▲

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