細化概念教學過程揭示數學本質*
——以“三角函數的周期性”教學設計為例

☉江蘇省懷仁中學 董榮森

☉江蘇省無錫市錫山區教育教研室 姚敬東

細化概念教學過程揭示數學本質*
——以“三角函數的周期性”教學設計為例

☉江蘇省懷仁中學 董榮森

☉江蘇省無錫市錫山區教育教研室 姚敬東

一、問題提出背景

記得2012年11月江蘇省第八屆高中數學特級教師高層論壇在蘇州十中舉行，筆者有幸跟隨本校的兩位數學特級教師（現已經退休）參加了此次活動，觀摩了一節題為“三角函數的周期性”的示范課.當時筆者正參加無錫市數學學科帶頭人評選，在上課環節中通過抽簽方式決定上課內容，恰好抽到的也是這節內容.如何上好這一節概念課？筆者作了一些思考與嘗試.我們知道，對“周期”概念學生已有直觀的感受和體驗，因此對“周期性”概念的感性認識應該不存在問題.但對于抽象化的“三角函數的周期性”概念的理性認識，可能存在著一定的困難，如何幫助學生更好地理解概念？由此引發了筆者的思考與嘗試.數學概念教學歷來在數學教學中處于核心地位，值得每一位高中數學教育工作者研究與思考.但從教學中發現，很多學生在概念學習時沒有把握數學對象的本質屬性或者對數學概念的本質屬性理解不夠深刻從而導致學習困難.《普通高中數學課程標準（實驗）》也明確指出：“形式化是數學的基本特征之一.在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調對數學思維本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里……，高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.”這一理念要求教師在進行概念教學時要細化教學過程，充分運用問題表征的多元性，合理地將描述性表征與直觀性圖像表征進行互化，揭示數學本質.

筆者試圖在多元表征理論的指導下，以“三角函數的周期性”這節課為例進行設計和分析，就在數學教學中如何“細化概念教學過程，揭示數學本質”作了一些探討，以饗讀者.

二、內容解讀與教學定位

“三角函數的周期性”是高中“三角函數”的一個重要性質，是研究任意角三角函數其他性質的基礎，也是函數性質的重要補充．本節課主要內容是周期函數的概念及正弦、余弦函數的周期性．通過對正弦函數圖像“周而復始”的變化規律及特征的感知，讓學生在建立比較牢固理解周期性的認知基礎上，然后再引導學生了解用代數表達式刻畫圖像“周而復始”的變化規律，即從形與數的表征角度揭示周期函數概念的數學本質．

正弦函數、余弦函數的周期性，與后面高中物理研究的“單擺運動”、“簡諧運動”、“機械波”等知識有著密切相關的聯系．在數學和其他領域（物理學、生物學、醫學等）中具有重要的作用，所以，該內容在教材中具有非常重要的意義，在理論知識和實際問題之間架起了一座橋梁．

通過本課的學習不僅能進一步培養學生的數形結合能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，而且能使學生把這些認識遷移到后續的知識學習中去，為以后研究三角函數的其他性質打下堅實的基礎．所以本課既是以前所學知識的發展，又是后續有關知識研究的前驅，起著承前啟后的作用．

三、教學環節與設計意圖

【教學環節1】情境創設

問題1：2012年是農歷龍年，則再過多少年又是龍年？再過12年呢？給我們的印象是什么？

生1：過12年，還是龍年；循環、周而復始.

問題2：你還記得物理中的單擺運動嗎？給我們的印象是什么？

生2：重復、每隔一定時間出現一次.

問題3：你能舉出我們生活中一些“周而復始”的例子嗎？

生3：每星期7天，每周5節數學課.

歸納總結1：海水潮漲潮落，春、夏、秋、冬四季更替，鐘表上的時、分、秒針不厭其煩地做著圓周運動，……這一些都給我們以“周而復始，重復出現”的感覺，我們把這些現象就叫“周期現象”.

設計意圖：新課引入，仁者見仁，智者見智，對于本節課來說，筆者見過很多通過創設問題情境引入，發現千遍一律，如：今天星期三，再過多少天又是星期三？（幼兒園孩子都知道）有的用白居易的詩“離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風吹又生”.這種老一套的引入，筆者認為有的層次實在太低，也沒有什么新意.于是筆者結合當時2012年是龍年，對學生進行一次愛國主義教育，龍是中華民族的象征，我們都是龍的傳人，今年是龍年，再過多少年又是龍年？充分發揮問題表征的多元性，有利于激發學生學習數學的熱情.

【教學環節2】學生活動

前面我們已經學習了三角函數，三角函數是刻畫圓周運動的數學模型，“周而復始”的基本特征必定蘊含在三角函數的性質之中.

不知大家是否還記得三角函數線？正弦線MP“站在x軸上（起點在x軸上）”，即sinx=MP；余弦線OM“躺在x軸上（起點是原點）”，即cosx=OM.如何來刻畫三角函數線“周而復始”的現象？（以正弦線為例，如圖1）（動畫演示）

從形的角度：當動點P每旋轉一周，正弦線MP的即時位置和變化方向重復出現一次.同時還可以看到，當點P的旋轉量不到一周時，正弦線的即時位置包括變化方向不會重現.從數的角度：對任意x∈R，都有sin（x+2π）=sinx成立.

同理，兩角的余弦函數線的關系如何？三角函數值的關系如何？可以得出怎樣的結論？正弦函數和余弦函數的這種性質叫做三角函數的什么性質？

歸納總結2：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx，正弦函數和余弦函數所具有的這種性質稱為周期性.若記f（x）=sinx，則對于任意的x∈R，都有f（x+2π）=f（x）.

設計意圖：筆者引導學生先從熟悉直觀的“形”去觀察，緊接著又運用抽象的“數”來加以刻畫三角函數正弦線“周而復始”現象.數學問題的呈現有很多方式，為了幫助學生真正理解概念中“對任意x∈R”，筆者充分發揮多媒體的作用與功能，運用問題的多元表征對過程進行細化，由具體（圖形語言）到抽象（數學語言），由感性認識上升到理性認識，減輕了學生的認知負荷，更有利于學生對三角函數“周期性”概念的認知、理解與構建.

【教學環節3】建構數學

1.周期函數定義

請同學們回憶：如何用數學語言來刻畫函數的奇偶性？

如果函數f（x）對于定義域里的每一個值x，都有：

（1）f（－x）=f（x），那么f（x）叫做偶函數；

（2）f（－x）=－f（x），那么f（x）叫做奇函數.

類比：如何用數學語言刻畫函數的周期性？

一般地，對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數f（x）叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．

強調三點：（1）非零常數T；（2）定義域內的每一個x值；（3）都滿足f（x+T）=f（x）.

練習1：判斷下列說法是否正確.

（3）若函數f（x）的周期為T，則kT（k∈Z，k≠0）也是f（x）的周期.

設計意圖：通過類比函數奇偶性的定義，讓學生自己歸納得出周期函數的定義，同時教師強調“對定義域內的每一個x值”，而不是某一個具體的值，引導學生從本質上去主動構建周期函數的定義.通過練習1的設計，目的是引導學生對三角函數周期性概念的進一步辨析與理解，澄清學生對周期性概念的一些模糊甚至錯誤認識，起到鞏固與深化的作用.

問題4：你能夠從數和形的角度去理解周期T嗎？

從數的角度看：T滿足f（x+T）=f（x），T是自變量的改變量；從形的角度看：它們的圖像應該是“周而復始”、“循環重復”出現，T就是一個循環的長度．

問題5：2π是正余弦函數的周期，根據周期定義，還能找到類似的周期嗎？一個周期函數的周期有多少？這樣計算三角函數周期時，答案就不唯一了，怎么辦？

2．最小正周期定義

對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f（x）的最小正周期．

注意：為避免引起混淆，今后所說的周期，如果不加特別說明，一般都指最小正周期．

練習2：（1）正弦函數、余弦函數的最小正周期為多少？（2π）

（2）正切函數f（x）=tanx的最小正周期呢？（π）

（3）函數f（x）=c是不是周期函數？（是）

（4）是不是所有的周期函數都有最小正周期？（f（x）=c沒有最小正周期）

設計意圖：筆者有意識地引導學生從數與形的角度去理解和構建最小周期的定義，充分運用問題表征的多元性，合理地將描述性表征與直觀性圖像表征進行互化，揭示周期性概念的本質.從學習過程來說，數學理解實質上就是外在表征內化與內在表征外化的相互作用的過程；從學習結果來說，數學理解其實就是多元外在表征轉化為多元內在表征，成為數學認知結構的有機組成部分.

【教學環節4】數學應用

例1求下列函數的周期：

解析：（1）因為cos2x=cos（2x+2π）=cos2（x+π），即f（x+π）=f（x），所以自變量x只要并且至少要增加到x+π，函數f（x）=cos2x的值才能重復出現，所以函數f（x）=cos2x的周期是π．

歸納總結3：（1）函數y=Asin（ωx+φ）及函數y= Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω≠0）的周期T=；（2）函數y=（fx）的周期為T，則函數y=A（fωx+φ）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω≠0）的周期為

設計意圖：數學課堂教學不僅要傳授給學生知識與方法，而且更要把數學的思想、本質規律及內部聯系等“靈魂”性的東西揭示出來，內化為學生的素質.筆者通過例題的分析與探究，引導學生歸納總結一般性的規律和結論：（1）根據函數圖像求函數周期的方法及函數周期性的簡單運用；（2）求函數y=Asin（ωx+φ）與函數y= Acos（ωx+φ）周期的一般性結論，收到了良好的效果.

四、思考與感悟

1.對教學內容的理解

函數周期性概念的教學是本節課的重點．概念教學是中學數學教學的一項重要內容，不能因其易而輕視，也不能因其難而回避.概念教學應面向全體學生，但由于函數周期的概念比較抽象，所以學生對它的認識、理解和構建是一個循序漸進的過程，不可能一下子就十分深刻．因此，筆者進行概念教學時，除了逐字逐句分析，通過例題分析與練習訓練，讓學生暴露出問題，通過老師的引導，讓學生對概念的理解逐步深入與內化.

2.細化教學過程，揭示數學本質

高境界的數學教學必須揭示數學本質.數學本質是一個數學哲學問題，學術界對它的理解有不同的視角.我們在課堂教學中強調的數學本質，其內涵一般包括：數學知識的內在聯系；數學規律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神的體驗等方面.［1］北京大學張順燕教授曾精辟地指出：教學有三種境界，即授人以業、授人以法、授人以道.授人以業，就是韓愈說的“授業”，它強調了所授知識的準確性問題；授人以法，就是教給學生學習方法，使他們學會學習，它強調了所授知識的深刻性問題；授人以道，是教學的最高境界，就是教學不但要使學生達到知識與方法的融會貫通，而且更要把數學的思想方法、本質規律及內部聯系等“靈魂”性的東西揭示出來，使他們形成能力，為他們的終身發展打下堅實的基礎，它強調了所授知識的數學本質問題.在教學過程中，筆者通過細化每一個教學環節，并且每一個環節結束之后都引導學生進行總結與歸納，提煉數學最本質的東西.

總之，作為數學教師，以細化概念形成過程拉近數學與學生的距離，讓學生感受到它的火熱，享受數學中生動的故事；以有效的數學活動為支撐，讓學生在活動中進行主動建構，欣賞和感受數學的無窮魅力.“揭示數學本質，發展思維能力”是數學教學永恒的主題，這一主題應該成為每一位數學教師心中的教學目標和教學中的座右銘！

1.陳柏良.課堂教學要呈現“數學本質”［J］.中學數學教學參考（中），2006（1-2）.

2.董榮森.精心設計教學環節細化概念教學過程［J］.中學數學（上），2015（2）.

3.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2003.F

江蘇省教育科學“十二五”規劃2013年度普教重點自籌課題——多元表征在數學問題解決中的應用研究（B-b/ 2013/02/063）的階段性研究成果.