打破定勢，追求靈動*
——由高考數學命題“吐槽”引發的思考

☉廣東省興寧市第一中學 何永堅

打破定勢，追求靈動*
——由高考數學命題“吐槽”引發的思考

☉廣東省興寧市第一中學 何永堅

“說好圓錐曲線第一題會讓學生做出來的？說好數列有什么錯位相減、有裂項？立體幾何歪成這樣，出卷老師心術不正”“數學突破歷史枷鎖，成功擊敗江蘇”……上面是學生對于2015年高考浙江數學的“吐槽”，言辭中透露出學生對試卷命題的強烈不滿.與之相反，各路專家卻紛紛表示：“各省市高考數學試卷文理科題型均無偏題怪題”“低起點、寬入口、多層次、區分好”……為什么學生的感受跟專家的觀點如此大相徑庭呢？

一、“變化”挑戰解題思維

筆者認為，跟往年相比，試卷難度雖然變化不大，但試卷結構與題型跟學生的預期出入較大，從而影響了考生發揮.

1.試卷結構的變化讓學生“水土不服”

選擇題由原先的10題變為8題.選擇題數量的減少，使得難度重心前移，造成學生容易拿分的題目少了兩題.填空題雖然依舊7題，但分值由原先的28分增加到現在的36分；難度也相應增加，由原先的1題1空，變為現在的1題多空，尤其在本次高考中，最后1題竟然有3個空，這在歷次模擬考試中從未出現過.解答題依舊5題，但出乎意料的是，本次考試中解答題的排列順序發生了改變.原本以為函數會作為壓軸題出現，理應放在最后兩題，但在考試中卻放在了第3題.這個變化看似“細微”，但對學生來說影響巨大.因為在平時的復習中，函數解答題難度普遍較高，迫使多數學生采取放棄或者部分放棄的態度來消極應對，導致學生在函數解答題上產生了心理暗示：“函數解答題都很難”.本次考試，函數解答題的難度雖然不是很高，但受心理暗示的消極影響，很多學生還是沒有拿到分數，從而導致“保3爭2”的解答題得分計劃提前破產.

2.解題套路的變化讓學生“有勁兒使不出”

經過系統的復習，學生已經形成了比較完善的解題思維體系，掌握了比較多的解題套路.但本次考試中，部分題目的解題方法和技巧卻超出了學生固有的思維，常規的方法失效，讓學生感到有勁使不出.

例1（2015年浙江理7）存在函數f（x）滿足，對任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

分析：解決本題最常規的方法是利用換元法求出函數f（x）的解析式，但這些函數的解析式學生會求嗎？比如，f（sin2x）=x2+x，如果要求其解析式，就需要用到反三角函數，但反三角函數早已被剔除出教材.

例2（2015年浙江理8）如圖1，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（）.

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≤α

分析：直接解這道題目，要先用幾何法作出相應角，然后進行定量計算，最后比較大小，計算量不是一般的大.

例3（2015年浙江理15）已知e1、e2是空間單位向量，，若空間向量b滿足，且對于任意x、y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0、y0∈R），則x0=_________，y0=_________，|b|=_________.

分析：由|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0、y0∈R），可知：|b-（xe1+ye2）|min=1，在x=x0、y=y0時取到.

可得|b-（xe1+ye2）|2=|b|2+x2+y2+xy-4x-5y，要求|b-（xe1+ye2）|min，需要求得x2+y2+xy-4x-5y的最小值，而求x2+ y2+xy-4x-5y的最小值難倒了很多學生.

例4（2015年浙江理18）已知函數f（x）=x2+ax+b（a、b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區間［-1，1］上的最大值.

（Ⅰ）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（Ⅱ）當a、b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值.

分析：本題是以二次函數為載體，集函數的單調性與最值、分段函數、不等式的性質及含參絕對值于一體的綜合性問題.從題目給出的條件看是含參的二次函數的最值問題，從所求結論看是含絕對值的參數最值問題，而這兩類問題向來是學生的軟肋.

二、“思維定勢”導致思維僵化

或許上面所說的“變化”對于某些專家、教師而言根本不算什么困難，只需保持良好的心態，在解題思路上稍作改進或者變換問題即可迎刃而解，但對于飽受解題“思維定勢”影響的學生來說，這些“變化”就成了不可逾越的障礙.思維定勢是指影響和決定同類后繼心理活動的趨勢或形成心理活動的準備狀態.即按一種固定的思路去考慮問題，表現出思維的方向.思維定勢是把“雙刃劍”，具有“正負”兩方面的效應.經過漫長的高考復習與解題訓練，一方面學生掌握了大量的解題方法與套路，當學生遇到類似的問題時，馬上能夠想到對應的解題方法，思維定勢起到的是促進作用，此時產生的是正效應；另一方面，當要解決的問題與熟知的解題方法不配套時，思維定勢就會干擾和阻礙解題思路的發現和重建，此時就產生了負效應.在高三復習中，為了追求學生在解題能力上的“速成”，教師往往把各種題目、解題方法先進行歸納整理、分門別類，然后通過大量練習使學生得以掌握和鞏固.如此，思維定勢所產生的“負效應”也就更加嚴重，最直接的后果就是思維僵化，使得學生在解題中，只會生搬硬套，而不會靈活運用，更不會創新優化.

三、打破定勢，追求靈動

綜上所知，思維定勢的負效應會使學生喪失思維的靈動性，而不當的高三復習模式會進一步強化思維定勢的負效應，因此，打破思維定勢，消除思維定勢的負效應迫在眉睫.在教學中，教師固然要幫助學生總結規律、提煉方法，但更要注重知識的發生、發展過程，在復習中要從頭激活已學過的各個知識點，并適當深入一點兒，要以清晰的線索重新構建合理的知識結構，對含糊不清的地方多一些思考和研究性練習與探究，對產生的錯誤要究根問底，要反思感悟，回到正確的認知上來.在復習解題時，首先應從基本方法上去探索，而不是死用公式，死記結論；再者，還要思考能否用特殊技巧來完成，要養成多一手準備的解題習慣.對于每一種方法，要深入思考它的適用范圍，思考它的推廣發展，盡可能多地找出它在不同模塊問題中的應用題型，即舉一反三.只有如此，才能打破思維定勢，構建靈動思維，從而真正提高學生的解題能力.

例1破解之策：回歸定義，賦值排除

根據函數的定義，對于任意x，都有唯一的f（x）與之對應.因此不妨取特殊值代入，逐一排除. A選項：（fsin2x）=sinx.當sin2x=0時，x=0或，得f（sin2x）=sinx=0或1，這顯然不符合函數的定義.同理B選項f（sin2x）=x2+x也不符合定義.

C選項：f（x2+1）=|x+1|.當x2+1=2時，x=±1，得f（x2+1）= |x+1|=0或2，也不合函數的定義.

只能選D.令x2+2x=t，則所以（ft）.也就是說D選項的函數解析式能夠求出，并且唯一.

例2破解之策：動手操作，直觀判斷

本題的背景源于折紙，不妨按照題目的要求動手折一遍，很容易發現正確的答案為B.

例3破解之策：幾何助力，方程求解

如果直接求x2+y2+xy-4x-5的最小值，需要采用配方法.

當且僅當y=2，x=1，即y0=2，x0=1時取到最小值-7，從而解得

上述配方技巧要求較高，估計學生很難想到.由于題目中涉及了向量加減法、數量積、模、夾角等運算，不妨從向量運算的幾何意義尋找問題的突破口.

如圖2所示，根據向量加減法的幾何意義，當且僅當b-（xe1+ye2）垂直e1、e2所在的平面時，b-（xe1+ye2）取到最小值1，即|BM|=1，易求得|BA1|2=因為，在△A1OB、△A2OB、△OMB中，分別根據余弦定理與勾股定理可得：

例4破解之策：性質鋪路，化繁為簡

本題（Ⅰ）相對簡單，難就難在（Ⅱ）上.

方法1：絕對值不等式的性質.

根據絕對值三角不等式可知|a|+|b|≥|a±b|，而本題要求|a|+|b|的最大值，因此要考慮不等式取等號的情況.我們知道，當ab≥0時，|a|+|b|=|a+b|，當ab≤0時，|a|+|b|= |a-b|，本題就利用絕對值不等式取到等號的條件將|a|+ |b|轉化為|a±b|，再根據已知條件解之.

當a=±2、b=-1時，|a|+|b|=3，且|x2±2x-1|在［-1，1］上的最大值為2，即M（±2，-1）=2.

所以|a|+|b|的最大值為3.

方法2：二次函數的性質.

二次函數在閉區間上的最值具有“端點效應”，而函數|f（x）|=|x2+ax+b|的圖像是由函數f（x）=x2+ax+b位于x軸下方的圖像沿x軸翻折后與其上方的部分組成.因此對含絕對值的二次函數起決定作用的關鍵點除了端點和頂點，還有與坐標軸的交點、極值點、分界點等.對于本題，只要抓住關鍵點（端點、頂點、與y軸的交點），應用分類討論思想，就能使問題得到較大的簡化.

（1）當0≤b≤1時，|a|+|b|≤2+1=3.

所以|a|+|b|的最大值為3.

上述例題的解法盡管是在學生原有解題思路上的升級與優化，但是若沒有靈動的數學思維，這些解題思路是很難獲得的.A

*課題項目：廣東省教育科學規劃課題“高中數學生態課堂教學模式的實踐與研究”（課題編號：2015YQJK253）.