立足基礎，客觀靈活，突出能力
——基于2015年高考上海數學試卷評析

☉上海市七寶中學 文衛星

立足基礎，客觀靈活，突出能力
——基于2015年高考上海數學試卷評析

☉上海市七寶中學 文衛星

2015年高考上海數學試卷部分題目較新，對數學思想方法考查也較全面，因總體計算量偏大，證明題偏多（有5小題），對代數推理的要求偏高，所以感覺難度比2014年大，理科尤甚，主要體現在解答題.學生感到“無從下手”或寫了一串“不知對不對”.總體而言，試卷具有如下一些特點.

一、立足基礎，知識點分布合理

填空題（14題）、選擇題（4題）除少數2-3個具有壓軸意義有點兒難，其余側重基礎知識和基本技能的考查，難度不大，但幾乎每題都要算.計算能力是數學的首要能力，這樣考查是合情合理的.知識點分布也相對合理，文科解答題依次是立體幾何、函數的奇偶性和單調性、解三角形與二次函數應用題、解析幾何、數列；理科解答題依次是立體幾何、解三角形與二次函數應用題、解析幾何、數列、函數綜合應用.

文科能力題約占30分，比較合理，理科能力題約占40分，稍微有點兒多.這提醒我們在高三復習中仍要強調基礎，強調知識的覆蓋面，基本概念教學不能放松，不僅要學生聽懂，更要求規范書寫，馬虎不得.

二、客觀試題考查思維的靈活性

雖然客觀試題整體難度比前兩年小，但對思維靈活性的考查力度沒有減小.比如，文、理科共同的第18題：設P（nxn，yn）是直線與圓x2+y2=2在第一象限的交點，則極限

本題若采取直接推理（定量的方法）的方法，則容易掉進命題設置的陷阱，即直接解方程求交點坐標再求極限，即使求出坐標再求極限也非易事.若先對問題整體考慮，容易發現，再求極限只需將分子有理化，就會“化腐朽為神奇”.

因點P（nxn，yn）在圓x2+y2=2上，所以，即yn=.又點P（nxn，yn）在直線（n∈N*）上，而，因直線2x-y=1與圓x2+y2=2在第一象限的交點為（1，1），所以

以上解法雖然完整寫出看似有點兒長，實際上只要解一個簡單的方程組，至于分子有理化幾乎可以口算.

本題壓軸意圖明顯，但破解之道在于掌握恰當的思維方法，而非不講策略地蠻干.這啟發我們在帶領學生復習時，要結合具體問題向學生傳授思考問題的思維方法，而不是羅列各種策略（技巧）.因為思維方法可以應用于各種場合，形成能力，而離散的策略在復雜的新環境中一時很難找到用武之地.

再如文科第14題（理科第13題）：已知函數f（x）= sinx，若存在x1、x2、…、xm滿足0≤x1

夏天想說：曉曉，你有什么都可以跟我說，你可以信任我，但是他終究不敢說出口。在葉曉曉面前，他的自卑更深更深，他的缺陷像一把劍一樣刺在他的心口。“那好吧，你好就好。這是我的手機號，你有事可以給我打電話。有什么事情，可以想辦法溝通啊……”

首先，考生要準確理解題意：正弦函數f（x）=sinx依次相鄰兩點函數值差的絕對值之和等于12，最少需要幾個點？對正弦函數而言，兩個函數值差的絕對值的最大值是最高點和最低點的縱坐標的差，因此只要取相鄰最高點和最低點，兩端點取零點，結合圖像即可知m的最小值為8.

以上解法可以說是數形結合，但數形結合太籠統，學生面臨具體問題難以操作.教學中面對較難問題，指導學生先宏觀（即定性，找出正確大方向）再微觀（具體有什么方法），有理論，有實踐，便于學生內化形成能力，把培養學生思維的靈活性落到實處.

三、突出能力，體現選拔功能

2015年高考上海數學試題難度大主要體現在兩個方面.其一是計算量較大，雖然第20題以前的題目大多數不難，但由于計算量較大，耗時較多，無形中增加了學生的壓力；其二是證明題多，證明題一般是字母運算，不僅對邏輯思維能力要求高，對書寫表達能力要求也高.

比如理科第23題：對于定義域為R的函數g（x），若存在正常數T，使得cosg（x）是以T為周期的函數，則稱g（x）為余弦周期函數，且稱T為其余弦周期.已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數，其值域為R.設f（x）單調遞增，f（0）=0，f（T）=4π.

（2）設a

（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在［0，T］上的解”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解”，并證明對任意x∈［0，T］都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

本題是新定義問題（上海每年都有此類問題），題目較長，讀懂題目有一定難度，意在考查學生獲取和利用信息的能力.第二問的結論感覺就非常自然，好像不需要證明，實際上由于不知道f（x）的連續性，要用反證法.這里既有“任意”，又有“存在”，反證法通常要否定結論，怎么否定？這是學生不熟悉的方法.

對任意c∈［f（a），f（b）］，由于f（x）單調遞增，所以一定存在x0，使得f（x0）=c.

當x0

上述證明看似寥寥數語，但對學生來說書寫表達相當困難.甚至有些學生問：“為什么當x0

四、試題啟示：來年復習怎么做

2015年高考上海數學試題對數學教學有哪些啟示，以后又怎么指導學生復習？

1.怎樣做才算抓基礎

2015年高考上海數學試題強調考基礎、考能力，何為基礎？何為能力？這些都比較抽象.筆者以為，根據已知條件，能運用定義、定理、公式直接得到結論，或經過簡單的等價轉化可得到結論，屬于考查基礎，而把基礎知識適當串聯起來，需要多次轉化，且字母運算相對復雜，可以稱為考查能力.題目較長、題意隱晦、解答技巧強、運算繁雜的題目宜少講或不講.

2.怎樣才算依綱據本

高三復習要依據課本，在課本例題、習題的基礎上適當加寬拓深，意在把基礎知識以一定的思想方法或某一知識鏈條串聯起來，形成知識網絡.重在培養學生透徹理解基本概念、靈活運用相關定理和公式解決問題的能力，達到舉一反三、觸類旁通之效.表現在課堂上往往是首先重視通性、通法的教學，在此基礎上引導學生追求簡捷解法，發展思維能力.比如，第18題如果對極限定義有透徹理解，則可知其值就是過點（1，1）的切線的斜率（其實就是導數，但上海教材沒有導數，學生無法從這一角度理解）.不同的解法反映不同的能力水平.

這啟發我們，要根據不同的教學對象，講最適合你的學生的方法.基本方法一定要講，巧妙方法不一定都要講！如果你的學生達不到那個水平，講了也白講，白講為何要講？！

3.重視代數推理教學

2015年高考上海數學卷中代數推理的分量重啟示我們要加強此方面的教學，因為代數推理可以比較準確地考查學生的數學思維能力和文字表達能力，以及行為習慣的好壞.教學中經常看到有些學生能很快得到正確答案（上海數學高考可以攜帶計算器），而不能規范書寫的情況，尤其是智力好的學生只求結果，不問過程.有時老師也會趕進度，只講思路，不規范板書（或放ppt），這樣遇到今年的試卷學生很難發揮出實際水平，即便是優等生，也會感到有勁兒無法使.這提醒我們教學中不要盲目追求數量，而要追求質量.要知道，學生從自己感覺懂了到能規范書寫出來之間還有很大一段距離.規范書寫就是把細節落到實處，不僅現在做數學題是這樣，將來到社會上做事也是同樣.特別需要老師的引導、示范，馬虎不得，急躁不得.

4.重視思維規律教學

對起到壓軸作用的客觀題，要善于先宏觀（定性）分析，后微觀（定量）落實，通過轉化、數形結合、排除法等方法，盡量避免直接求解；解答題力爭化大為小、化難為易、化繁為簡，把一道難題分解為若干個小題，或分解為若干步完成，或即使不能完整做出，也能多得部分分數，使學生的實際水平得以充分發揮.A