淺談數學教學中邊緣知識的重要性

☉江蘇省南通市天星湖中學 王海彬

淺談數學教學中邊緣知識的重要性

☉江蘇省南通市天星湖中學 王海彬

高中數學知識可以分為兩部分，其中一部分是受高考應試重視的核心知識，諸如函數最值、三大性質、向量數量積、立體幾何的角和距離等；另一部分知識往往不太顯山露水，但是卻默默為核心知識提供著保障，諸如集合論中的知識、利用空間向量解決立體幾何問題中的坐標系選擇合理與否、三角函數線等，這些知識卻又無法缺失，筆者將其稱之為邊緣知識．

從教學的實際情形來看，教師往往對于核心知識存在著反復講、重點講、天天講，但是對于那些服務于核心知識的邊緣知識卻往往不聞不問，時不時在應試中造成學生失分．北京十二中數學特級教師孫維剛說過：對于學生學習數學知識，首先要手把手教會其緊緊抓住基本知識的一些細節，在這些知識中有些盡管不是考試的重點（即本文所敘述的邊緣知識），但是其對于后續知識的學習，以及學生的學習能力、學習態度、情感價值觀等都有著重要的培養．因此，筆者認為教學既要重視核心知識，也要關注邊緣知識．

一、邊緣知識重要性

邊緣知識在數學中暫時未有這樣的名稱，筆者借助物理學中的名稱來代指數學中那些既服務于核心知識卻又處在不顯山露水地位的知識，因此給出了這樣的界定．在大量研究中對于數學基礎知識的重要性已經分析得相當完備，對于我國中學數學教學的基本知識和基本技能都有了長足的研究，在筆者看來，這些基礎知識和技能中有很多是邊緣知識，華師大張奠宙教授對于重要的基本知識常常這樣感慨：現在的中學教學提倡新課程，提倡學生努力自主發掘知識，這些都沒有錯．但是不要忘了，有些基本知識本身形成的過程長達幾十年甚至上百年，用區區四十五鐘的課堂去讓學生挖掘知識的形成根本是癡人說夢話．因此，有些知識教師該怎么傳授還是要怎么傳授，并且要特別注重那些在應試中作為給核心知識做鋪墊的基礎知識（即本文所提出的概念——邊緣知識）．張教授的最后一句話應特別重視，讓我們看到了對于邊緣知識教學必須重視的依據．其重要性體現在哪幾個方面呢？筆者認為：

（1）首先，本文所敘述的邊緣知識介于基礎知識和核心知識之間，這些知識是核心知識考查過程中必備的基本知識，沒有這一類邊緣知識無法順利進行下一步的分析、演算，比如：用空間向量解決立體幾何中的問題，首先必須建立正確的空間坐標系，坐標系的建立正體現邊緣知識的重要性.

（2）其次，有助于學生穩定應試的基本分數．基礎知識和邊緣知識屬于應試的基本分數，牢牢抓住這些分數有助于學生應試有基本保障.

（3）最后，對于邊緣知識的掌握熟悉更有助學生學習知識的全面性，只有將知識學習全面和扎實穩固，才能對后續更復雜的知識有學習的潛力．

二、邊緣知識教學實施

筆者以空間向量解決立體幾何問題中的邊緣知識為例，談談如何實施這一邊緣知識．我們知道，立體幾何引入空間向量之后，隨之而來的各種垂直、平行證明，以及角或距離的求解，都演變成一種代數運算．用吳文俊大師的話說：數學機械化（即代數化）是一種趨勢，用代數的方法解決以前很難的幾何問題，成為流行，向量是一個很好的工具，除此之外我實在想不出有什么比代數化更好的方法．吳大師的話其實暗示了立體幾何問題解決的一脈相承性、雷同性，因此解決幾何問題也就轉變成了解決代數問題．對于立體幾何而言，代數化的最主要邊緣知識正是如何建立空間坐標系．

（一）空間向量坐標系選擇的實施

1.常規幾何體的選擇

常規幾何體諸如正方體、長方體、正棱柱、正棱錐等，通過這些幾何體來建構坐標系一般較為容易，往往教學中一筆帶過．

例1如圖1所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．求A1B與平面ABD所成角的余弦值．

解析：如圖1所示，建立坐標系，坐標原點為C，設CA＝2a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A1（2a，0，2），E（a，a，1），G）.因為所以因為為平面ABD的法向量，且co．所以A1B與平面ABD所成角的余弦值是

說明：可以發現，本題的幾何體模型是正規的直棱柱，且底面三角形是直角三角形，因此對于教學而言建系并非難點，值得注意的是指導學生了解重心條件在向量中是如何使用的．

2.非常規幾何體的選擇

空間向量引入立體幾何之后，對于立體幾何問題而言，相比以往傳統來得容易些，學會向量的代數化運算成為解決問題的關鍵．但是有些幾何體模型存在著建系的困擾，這個步驟無法合理建立導致無法使用空間向量解決問題，因此非常規幾何體值得我們更多的思考，值得加強此類邊緣知識的教學．

例2如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點，四面體PBCG的體積為

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；

（2）求點D到平面PBG的距離；

（2）平面PBG的單位法向量n0＝（0，±1，0），因為，∠CGD＝45°，所以所以點D到平面PBG的距離為．設F（0，y， z），則＝（0，y，z）-）＝．因為，所以0，所以）·（0，2，0）＝2）＝0，所以在平面PGC內作FM⊥GC，M為垂足，則所以

說明：本題是非正棱錐的建系，考慮到在位置G處存在線面垂直關系，以及下底面中的線線垂直關系，因此選擇該處建立空間直角坐標系比較合適．筆者用本題進行隨堂測試，發現部分學生對于原點的選擇并不清晰，其無法將坐標系清楚地建立起來．在坐標系的建立上，筆者認為上述兩個例題所涉及的邊緣知識是解決立體幾何問題的初步關鍵，更有甚者我們也看到過坐標系建立更為夸張的方式，此處限于篇幅不再贅述．要掌握建系的邊緣知識，最終是從線面垂直和線線垂直入手分析，對于此塊邊緣知識的熟練掌握有助于學生輕松解決立體幾何問題．

（二）數列函數本質的認知

我們知道數列是一種特殊的函數，高考中對于數列的考查一般側重于數列的基本知識，包括通項公式、求和公式，以及與數列相關的不等式，這些是數列的核心知識．對于數學最本質的知識，我們的學生了解反而很少，有時甚至根本不理解．以等差數列為例，筆者做過測試，很多學生在沒有復習的前提下根本不知道等差數列的通項公式本質是一次函數的體現，對于等差數列求和公式是二次函數（必過原點）的函數本質認識則更是鳳毛麟角．這些等差數列的邊緣知識極大地豐富了學生解決某些數列問題時的高效性和簡潔性，卻一直不受重視．

例3（教材習題）等差數列{an}的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n．

解法一：設{an}的公差為d，則由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

解法二：設Sn=An2+Bn（n∈N*），則

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m．因為m≠n，所以A（m+n）+B=-1.

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）．

說明：解法一是本題的核心知識，我們知道學生必需掌握等差數列相關的求和公式運用及基本的化簡，但是解法二所利用函數本質的邊緣知識卻凸顯了等差數列前n項和的函數本質，利用其是必過原點的二次函數這一特性，輕松解決與之相關的問題．并且可以將類似的數列邊緣知識進行合理的推廣，等比數列我們知道其通項公式來源于指數函數模型，其求和所得到的關系式體現了一種特殊的函數，盡管用處不大，但對于我們認知數列本質，用其相關邊緣知識解決問題有著極大的方便．

三、尾聲

邊緣知識蒞臨于一般基礎知識之上，但與核心知識仍舊有一定的差距．但是邊緣知識在解決問題過程中，卻有著非常重要的作用．從案例中，我們認識到沒有坐標系建立的合理性就無法快捷地解決立體幾何問題，沒有數列本質的研究就無法輕松地利用函數觀點解決數列相關問題．從知識體系上說，坐標系的選擇建立、函數化本質的思索并非是高考應試的核心熱點問題，但是它卻對我們繼續數學學習提供了基本的保障．因此對于邊緣知識，筆者認為：其一，要加強關注和細節上的把握，邊緣知識并非像核心知識一樣困難無法學習，但是不重視這些細節會致使學生患得患失，無法取得理想的成績.其二，邊緣知識還有哪些？這個在筆者看來，應該由教師進行把握和篩選，一般以本省高考內容為主的問題中進行合理的思考和尋找.最后，引導學生加強對邊緣知識態度的認知和重視，只有重視邊緣知識，才會有更細致的問題分析態度和解決態度，才會引導學生在解決復雜問題中更為重視那些邊緣化的知識，筆者以自身淺顯的一些認知以求讀者更精細的漸漸見解．

1.朱永祥.談數學知識的挖掘和運用［J］.中學數學（上），2012（2）.

2.肖凌戇.關注探究創新考查理性思維——基于數學創新意識的高考命題研究［J］.中國數學教育，2013（5）.

3.褚人統.數學高考難題破解與知識超常聯系［J］.中國數學教育，2009（8）.F