新課程新理念新方法

☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

新課程新理念新方法

☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的最終目標(biāo)，課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)要致力于學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)，要注重知識相互鏈接和交叉的使用，這些都是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，數(shù)學(xué)教學(xué)最終教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)的思維方式，用數(shù)學(xué)的眼光來看問題，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思想方法進而解決生活中的問題.課程標(biāo)準(zhǔn)的一席話，我們可以這么解讀：高中數(shù)學(xué)教學(xué)分三個層次，其一是教材中的數(shù)學(xué)基本概念、基本公式等單一知識元；其二是各種單一知識元之間的銜接和整合，形成了知識塊；最后是將知識塊中的數(shù)學(xué)思想方法提煉出來，形成了無形的數(shù)學(xué)思想，站在更高的層次上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

IBM公司應(yīng)聘信息技術(shù)人才（需要有扎實的數(shù)學(xué)功底和思維），有這樣一道面試試題：房間里有一個水壺、一個水龍頭、一個煤氣灶，請問燒水的流程是怎么樣的？如果現(xiàn)在幫你把水壺里灌滿了水，這個流程應(yīng)該如何實施呢？請你描述.面試的人員都一一作答，百分之九十九的人都將兩個問題清晰的解答了，第一個問題是分三步走：打開龍頭灌水，放在煤氣灶上，打開煤氣灶燒水；第二個問題省去了第一步，只需要放在煤氣灶上，打開煤氣灶燒水即可.只有一位學(xué)員是這樣回答的，第一個問題同上，第二個問題先將水壺里的水倒掉，然后遵從第一個問題操作.最終他被IBM公司錄取了.親愛的讀者，你想這是為什么？我們知道，從事計算機工作要求擁有扎實的數(shù)學(xué)功底和化歸的數(shù)學(xué)思想，這位學(xué)員將問題轉(zhuǎn)化為前一個問題，即充分使用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，這意味著其在問題解決過程中站在比較高的視角思考了問題，而大多數(shù)人將兩個問題割裂開來看，自然是有扎實的知識塊，卻沒有思想方法的意識.從中可見數(shù)學(xué)思想方法的重要性.

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？哪些是必備的？重要的？核心的？這些問題由原東北師大校長史寧中教授在解讀課程標(biāo)準(zhǔn)的時候特別提到：我認為中學(xué)思想方法最核心的、最重要的就是轉(zhuǎn)化與化歸思想，它屬于意識形態(tài)方面，屬于思想方法中的最高地位，其他的思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等，屬于知識層面的，圍繞著核心思想方法形成了中學(xué)思想方法圈.有時我去東北師大附中聽別的老師上課，有些老師講一個題目就由點及面的高效，有些老師題目講了好幾道，卻沒有滲透應(yīng)該講到的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想，那是低效的.無獨有偶，哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)終身教授丘成桐也說：思想是數(shù)學(xué)的靈魂，解題是數(shù)學(xué)的外衣，有靈魂才是學(xué)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，否則永遠只有軀殼，停留在數(shù)學(xué)的大門之外.本文將結(jié)合高中數(shù)學(xué)案例，談?wù)勑抡n程中加強思想方法教學(xué)的重要性.

一、橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同——思想方法層次區(qū)分

從史寧中教授對于思想方法的區(qū)分來看，高中數(shù)學(xué)思想方法主要分為知識類、技能類和意識形態(tài)類，知識類主要涉及了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，技能類主要是分類討論思想、類比思想、一般化與特殊化思想，意識形態(tài)類涉及的是轉(zhuǎn)化與化歸思想.它們之間的關(guān)系是拾級而上、不斷提高，用圖1來表示這些思想方法之間的層次區(qū)分.

筆者認為，思想方法教學(xué)正如上述史教授所述的一樣存在著循序漸進、螺旋式上升的過程，它們之間也是高低各不同的，因此從高一教學(xué)開始漸漸滲透思想方法教學(xué)，加強學(xué)生對各種思想方法之間的認識和不斷的理解.

案例1：如圖2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，A，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值是______.

分析：本題為江西高考原題，連接A1B，將三角形BCC1繞著棱BC1轉(zhuǎn)動，使其與三角形A1BC1共面，如圖3所示，連接A1C，則A1C就是所求距離的最小值所以∠ACB=90°.又∠BCC=45°，111因此∠A1C1C=135°，由余弦定理可得

說明：本題是空間幾何中一道典型的翻折問題.縱觀翻折問題，總是將其轉(zhuǎn)化為平面問題解決，將平面所求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)化為平面中兩點間連線線段最短問題.問題的本質(zhì)是教師如何引導(dǎo)學(xué)生挖掘、發(fā)現(xiàn)這一問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系.其明在的問題是立體幾何，暗在的聯(lián)系是通過轉(zhuǎn)化為平面幾何問題去處理，這一數(shù)學(xué)思想其實貫穿著立體幾何教學(xué)的始終，即從知識層面而言是空間問題平面化，從意識形態(tài)層面而言是化歸平面化的思想是否在具體問題中得到了實施.筆者可以將化歸的一般模式總結(jié)為：

化歸思想是最終的數(shù)學(xué)思想，其貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，學(xué)會用化歸思想去不斷分析問題、處理問題，其對于學(xué)生處理問題的導(dǎo)向性、方向性有著重要的作用.

二、隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲——思想方法整合教學(xué)

隨著思想方法教學(xué)的深入，我們知道單一的知識類思想方法或技能類思想方法并不能解決復(fù)雜的問題，有時甚至在問題解決過程中需要多個思想方法的使用，而且在解決問題過程中那種自然而然的使用，正是將思想方法從知識體系中流露的體現(xiàn).來看一個案例，這是浙江的一道競賽問題.

分析：對于本題，筆者在競賽訓(xùn)練時要求學(xué)生探索，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有兩種不同層次的思路.其一是基于最基本的分類討論思想實施，但是可以最終解答完畢的沒有一人，因為從代數(shù)的角度分類太復(fù)雜（讀者可以查詢原題給出的代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案，此處不贅述）；其二是學(xué)生基于知識類思想方法數(shù)形結(jié)合思想的滲透使用，并在圖形化過程中自然而然地介入了技能類的分類討論思想，將問題化歸為一個幾何問題求解，從這個問題中很自然地看到了“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲”的思想方法整合，這是利用思想方法較高的境界.

說明：對比標(biāo)準(zhǔn)答案的代數(shù)化方法，相信你一定會覺得思想方法滲透的魅力！這里數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的交替融合使用，將問題轉(zhuǎn)化為一個圖形化的問題，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)思想方法使用的重要性，在教學(xué)過程中形成了拾級而上的思維.

三、只在此山中，云深不知處——培養(yǎng)思想方法眼光

僅僅學(xué)會數(shù)學(xué)思想方法的單一使用或者融合交替，有時未必能正確解決數(shù)學(xué)問題，這里還有一個更為重要的因素在里面——你有沒有發(fā)現(xiàn)問題中存在數(shù)學(xué)思想方法的眼光？！有這樣一個小故事：大眾公司維修總部修理一輛從分部送來的檢修汽車，數(shù)位維修員都無法查出問題所在，最后請來了大眾維修總監(jiān)史蒂夫，只見他打開發(fā)動機左聽聽右瞧瞧，開著車去試車場跑了幾圈，然后拿出筆在氣缸那里劃出了一個圈，維修人員打開氣缸，才發(fā)現(xiàn)一枚固定左葉氣缸的螺絲松動跑到了中間，引發(fā)了一系列共振引起了汽車自檢系統(tǒng)的故障.這個小故事暗示我們，我們并不缺少解決問題的手段，缺少的是發(fā)現(xiàn)問題的心.猶如在此山中一般，無法看透隱藏在問題背后的思想方法，從而無法找到解決的捷徑.

分析：這是來自天津的一道競賽試題，對于一般思考方向而言，很多學(xué)生勢必聯(lián)系到了向量共線問題，這也是常規(guī)的第一思路選擇.但我們馬上發(fā)現(xiàn)用向量、三角知識求解計算復(fù)雜，而且不易求解最終結(jié)果.若觀察A、B兩點則有另一番風(fēng)景！

說明：本題貌似與思想方法關(guān)系不大，那是因為對問題背后的知識沒有深刻的思想認知，從觀測點坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，這些點滿足了一定的特定圖形關(guān)系，進而利用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)換為幾何問題解決，這恰如賈島所云：只在此山中，云深不知處.在思想方法教學(xué)中，利用具備前瞻性的問題來提高優(yōu)秀學(xué)生的思維，是思想方法教學(xué)最高的境界，使其達到了在看不到思想方法的地方自然而然地使用思想方法解決問題.

總之，本文從新的視角分析了思想方法教學(xué)需要關(guān)注的幾個方面，將思想方法分為了三個不同的類型，并從培養(yǎng)用單一思想方法解決問題，到思想方法整合解決難題，到最終在沒有思想方法顯現(xiàn)的問題中挖掘思想方法，努力提高學(xué)生在思想方法運用上的層次性和階梯性，也讓教師教學(xué)不再一味地只喊重視思想方法，卻不知道思想方法教學(xué)如何循序漸進、螺旋式教學(xué)！堅持從本文所述的三個層面循序漸進，教師在加強思想方法教學(xué)中勢必會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的洞察力，有助于學(xué)生既有扎實的基礎(chǔ)也有寬闊的數(shù)學(xué)視野.張奠宙教授說：在沒有數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的運用是一種能力.筆者想說：在看不到數(shù)學(xué)思想方法的地方觀察到了思想方法的運用恰是一種數(shù)學(xué)的魅力！誠然筆者才疏學(xué)淺，以自身認識的一些對思想方法教學(xué)的愚見，懇請讀者批評指正.

1.劉薇.運用整體思想求數(shù)列［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2009（10）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2002.

3.沈恒.數(shù)形結(jié)合的三重境界［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（10）.A