識圖觀圖作圖用圖
——談數形結合思想在函數中的應用

☉江蘇省豐縣宋樓中學 郭旭東

識圖觀圖作圖用圖
——談數形結合思想在函數中的應用

☉江蘇省豐縣宋樓中學 郭旭東

筆者在高三復習教學中發現，盡管數形結合思想學生早已耳熟能詳，也深諳其義，但對它“具體有哪些應用？怎么用？”卻不甚了然，以至在面對具體問題時依舊難以入手.究其原因，筆者認為是缺少對其應用場合的歸納及操作層面的指導.本文下面以近幾年的高考、模考試題為例，談談數形結合思想在函數中的應用.

一、識圖

“識圖”是指在給出函數解析式時，如何利用函數的性質匹配其圖像.函數的性質有定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、極值、最值、極限等，根據它們，即可了解圖像的大致走勢與分布，再結合選擇支，不難找出正確答案.

例1（2013年福建卷（文））函數f（x）=ln（x2+1）的圖像大致是圖1中的（）.

解析：該題考查函數值域，因為f（x）=ln（x2+1）≥ln1= 0（當x=0時等號成立），所以B、C、D均錯，故選A.

點評：本題也可根據：（1）f（x）為偶函數（圖像關于y軸對稱）；（2）f（0）=0（過原點），從而獲解.

二、觀圖

“觀圖”是指在給出函數圖像時，如何利用圖像提供的信息，推測函數的性質.其著眼點通常有：圖像與兩軸交點的位置、圖像在兩軸上的投影區間（體現函數的定義域和值域），以及單調性、對稱性、極值點、漸近線等.

例3（2015年安徽卷（文））函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖3所示，則下列結論成立的是（）.

A.a>0，b<0，c>0，d>0

B.a>0，b<0，c<0，d>0

C.a<0，b<0，c>0，d>0

D.a>0，b>0，c>0，d<0

解析：易知函數在y軸上的截距為正，所以d>0.因為f′（x）=3ax2+2bx+c，且函數f（x）在區間（x1，x2）上單調遞減，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調遞增，所以f′（x）<0的解集為（x1，x2），所以a>0.又極值點x1、x2均為正數，所以可得b<0，c>0，故選A.

點評：“觀圖識性”是數形結合思想的重要體現.本題中，先由函數圖像與y軸相交點的坐標確定d的正負，再由單調區間及x1，x2的正負確定a，b，c的正負.

A.a>0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

解析：觀察圖像可知，函數在y軸上的截距為正，且函數的豎直漸近線x=-c也為正，所以b>0，c<0.又當x>-c時，f（x）<0，所以a<0，故選C.

點評：對分式函數而言，使分母為零的x是函數的豎直漸近線；當分母趨于無窮（正無窮或負無窮）時，若函數值趨于某一常數，則該常數為函數的水平漸近線.故此函數存在兩條漸近線：x=-c和y=0，由此也可確定a<0（例如，觀圖可知，當x→-∞時，f（x）→0+，又分母恒正，所以a只能小于零）.

三、作圖

“作圖”是指根據函數的解析式（若沒有解析式則根據函數的性質），而描出函數大致圖像的過程.作圖是數學的一項基本功，更是數形結合的前提.在某些函數問題中（如函數的零點相關問題），正確的作圖基本就意味著解題的成功.但如何進行作圖？其步驟為：（1）根據函數的類型，先作其基本函數圖像；（2）再看原函數可由此基本函數經過怎樣的變換（平移、伸縮、對稱（包括翻折）等）而得到.因此，首先，要對十類基本初等函數（一次、二次、正比例、反比例、指數、對數、冪、三角、“對勾”、“蝴蝶”）的圖像了然于胸；其次，還需熟悉函數圖像的種種變換.具備上述能力，方可稱為“能作圖”.

例5（2015年湖南卷（文））f（x）=|2x-2|-b有兩個零點，則實數b的取值范圍是_________.

解析：由函數與方程思想知，函數f（x）有兩個零點，即方程b=|2x-2|有兩個解，也即直線y=b與函數y= |2x-2|的圖像（如圖5）有兩個交點.觀察圖像即知，0

點評：函數y=|2x-2|的作圖方法為：先作y=2x圖像，將其圖像向下平移2個單位（或圖像不動，將坐標系向上平移2個單位），再將所得圖像在x軸下方的部分關于x軸翻折即得.此題在作圖時極易忽略圖像存在漸近線（因為，當x→-∞時，2x→0+，y=|2x-2|→2，所以圖像存在漸近線y= 2），從而導致解題錯誤.

解析：由函數與方程思想知，函數y=f（x）-g（x）恰有4個零點，即方程b=f（x）+f（2-x）恰有4根，也即直線y=b與函數h（x）=f（x）+f（2-x）的圖像恰有4個交點.易知h（x）= h（2-x）（關鍵點），所以h（x）的圖像關于直線x=1對稱.故可先考慮h（x）在x>1時的圖像，然后由對稱性得到其整體圖像.易知當x>1時，h（x）=所以h（x）的大致圖像如圖6，觀察圖像易知，當2時，直線y=b與函數y=h（x）的圖像有4個不同的交點，故選D.

點評：上述解法在作h（x）的圖像時，首先考慮h（x）的性質，然后作圖，此舉大大簡化了作圖的難度，值得細細體會.

四、用圖

“用圖”是指如何利用函數的圖像進行解題.通常體現在用圖像解不等式、用圖像判斷函數零點的個數及用圖像自身的性質（如對稱性）進行解題等方面.尤其在函數零點相關問題中，“用圖”的具體方法常與函數與方程思想密切相關，常會用到如下結論：（1）函數F（x）=f（x）-g（x）的零點?方程（fx）=g（x）的解?方程組的解中的x值?同一坐標系下，函數y=f（x）的圖像與函數y= g（x）的圖像交點的橫坐標；（2）函數F（x）=f（x）-g（x）在x∈D上有n個零點?方程f（x）=g（x）在x∈D上有n個解?方程組在x∈D上有n組解?同一坐標系下，函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像在x∈D上有n個交點（其中n∈N）.能將“數”與“形”對應的意義搞清，并用之于解題，方可稱為“會用圖”.

例7（2015年北京卷（理））如圖7，函數f（x）的圖像為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集為（）.

A.（-1，0］B.［-1，1］

C.（-1，1］D.（-1，2］

解析：作出函數y=log2（x+1）的圖像（如圖7），觀察圖像易知，不等式f（x）≥log2（x+1）的解集為（-1，1］，故選C.

點評：不等式f（x）≥g（x）的解集為：同一坐標系下，函數y=f（x）在y=g（x）上方的圖像在x軸上的投影區間（包括交點）.本題若用代數方法，需求出函數f（x）的解析式，然后解兩個不等式，最后求并集，這樣既麻煩又容易出錯.

A.無論a為何值，均有2個零點

B.無論a為何值，均有4個零點

C.當a>0時，有3個零點；當a<0時，有2個零點

D.當a>0時，有4個零點；當a<0時，有1個零點

解析：令f（x）=t，則函數y= f（f（x））+1的零點即為方程組的解中的x值.先畫方程②兩邊函數y=f（t）與y=-1的圖像（如圖8），考查t的取值范圍：當a>0時，有兩個交點，即方程②有兩個t，不妨設t1，t2（t1< t2），其中t1<0，00時，函數y=f（f（x））+1有4個零點；同理可得，當a<0時，有1個零點，故選D.

點評：對于y=f［g（x）］這樣的復合函數而言，用數形結合法考慮其零點的方法為：（1）令t=g（x），將f［g（x）］=0轉化為（2）先作出方程②兩邊函數y=f（t）與y=0的圖像，觀察其交點橫坐標t的值，將此t的值代入方程①，再作出方程①兩邊函數y=g（x）與y=t的圖像，觀察其交點情況，從而得出相應結論.“對方程兩邊的函數分別作圖，并觀察其交點”，此舉在函數零點問題中至關重要，是函數與方程思想的精髓.

例9（2015年溫州質檢卷（理））已知函數f（x）= |log2|x-1||，且關于x的方程［f（x）］2+af（x）+b=0有6個不同的解x1，x2，x3，…，x6，則x1+x2+x3+…+x6的值為_________.

解析：如圖9，先作出函數f（x）的圖像，易知圖像關于直線x=1對稱.令（fx）=t，由題意知，方程組的解中的x有6個，不妨設x10.由函數f（x）自身的對稱性知，x1+x6=x2+x5=x3+x4=2，故所求x1+x2+x3+…+x6的值為6.

點評：解決本題的關鍵是：（1）能正確作出函數f（x）的圖像（利用對稱、平移、翻折）；（2）能通過換元，將復合函數的方程轉化為簡單函數的方程組；（3）能理解并運用上述函數與方程思想的相關結論.

解析：如圖10，先作出分段函數f（x）的圖像.由題意知，存在直線y=t與f（x）的圖像交于4點，所以|log3a|= |log3b|，即ab=1.又拋物線的對稱軸為x=5，所以c+d=10.令z=abcd，則z=cd=c（10-c），觀察圖像易知3

點評：解決本題的關鍵是：（1）能正確作出分段函數f（x）的圖像（由每段上的函數圖像合并而得）；（2）能通過圖像看出a，b，c，d各自的取值范圍.

筆者常有這樣的體會：許多數學問題與“形”結合起來，問題就容易理解且印象深刻；借助“形”的形象思維，問題常可化難為易、巧妙解決.然而，實踐證明，如果不能解決數形結合在操作層面的“技術”問題，那么盡管數形結合有諸多好處，它也不過是教師口中的“漂亮”詞藻，而學生卻難以真正的心領神會、運用自如.本文通過“識圖、觀圖、作圖、用圖”四個方面闡述了數形結合思想在操作層面的具體應用，希望能對學生運用數形結合思想解決函數問題有所幫助.

1.王勇，李燃.點擊2011年高考數學中的圖像試題［J］.中學數學（上），2011（9）.F