有機整合凸顯交匯

☉江蘇省如皋市第一中學 孫海建

有機整合凸顯交匯

☉江蘇省如皋市第一中學 孫海建

等差數(shù)列、等比數(shù)列是江蘇8個C級考點中的2個.近幾年江蘇高考對數(shù)列的考查淡化了技巧性較強的性質(zhì)，進一步突出了基本量的考查，凸顯了通性通法，各大市命題時均順應(yīng)高考考試說明，加大了對等差、等比數(shù)列的考查.近年來等差、等比數(shù)列的交匯題層出不窮，向縱深方向發(fā)展，常以壓軸題出現(xiàn)，筆者對此進行了歸類研究，以求破解之道.

一、從等差數(shù)列（等比數(shù)列）中抽出部分項成等比數(shù)列（等比數(shù)列）

例1設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=2，S6= 22.

（1）求Sn；

（2）若從{an}中抽取一個公比為q的等比數(shù)列{bkn}，其中k1=1，且k1

①當q取最小值時，求數(shù)列{kn}的通項公式；

②若關(guān)于n（n∈N*）的不等式6Sn>kn+1有解，試求q的值.

分析：等差數(shù)列中抽取部分項成等比數(shù)列時，以等差數(shù)列為基礎(chǔ)，利用“等比數(shù)列{bkn}每一項為等差數(shù)列{an}中的項”這一限制條件，對公比q逐步進行驗證、取舍，直到滿足.當q>1且q∈N時符合題意，再由不等式6Sn>kn+1有解，歸納猜想并證明q的取值范圍為2，3，4.

（2）因數(shù)列{an}是正項遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列{akn}的公比q>1.

①若k2=2，則由，得，此時由（n+2），解得所以k2>2，同理k2>3.若k2=4，又a4=4，則q=2，此時akn=2·2n-1.又2），所以

即kn=3×2n－1－2．

而6Sn>kn+1有解，所以有解.

又f（1）<0，所以f（n）<0恒成立，所以bn+1－bn<0，所以bn≤b1恒成立.

當q≥5時，b1<1，所以當q≥5時，6Sn>kn+1無解.所以q的取值為2，3，4.

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列交錯排列

例2已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列．

（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；

（2）設(shè)a1＜a2，求證：對任意n∈N*，且n≥2，都有

分析：涉及特殊數(shù)列問題，一般用待定系數(shù)法解決，但一定要檢驗.條件“a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列”的運用有兩個方向，決定本題有兩種解題方法：一是等量代換，求出數(shù)列通項公式后，比較大小；二是放縮，直接比較大小.

解：（1）因為a3，a4，a5成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a3＝3－2d，a4＝3－d．

又a2，a3，a4成等比數(shù)列且a2＝1，所以

因為a1，a2，a3成等差數(shù)列，所以a1＝2a2－a3＝2－（3－2d）＝

（2）因為a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列，所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1①，②，所以a2n+1＝③.

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比數(shù)列，可得

①當n＝2m，m∈N*時，

②當n＝2m－1，m∈N*，m≥2時，

綜上，對一切n∈N*，n≥2，有

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列互相轉(zhuǎn)化

例3設(shè)數(shù)列{an}的首項不為零，前n項和為Sn，且對任意的r，t∈N*，都有

（1）求數(shù)列{an}的通項公式（用a1表示）；

（2）設(shè)a1=1，b1=3，bn=Sbn－1（n≥2，n∈N*），求證：數(shù)列{log3bn}為等比數(shù)列；

當n≥2時，an=Sn－Sn－1=a1（2n－1），且當n=1時，此式也成立．

故數(shù)列{an}的通項公式為an=a1（2n－1）．

（2）當a1=1時，由（1）知an=a1（2n－1）=2n－1，Sn＝n2．

（3）由（2）得log3bn=1×2n－1=2n－1，所以bn=32n－1（n∈N*）．

四、等差數(shù)列、等比數(shù)列有機整合

例4已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：

分析：本題利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì).根據(jù)基本不等式得到用反證法證明等比數(shù)列{an}的公比q=1，從而得到an=a1（n∈N*）的結(jié)論，再由·b知{b}是公比為nn的等比數(shù)列.最后用反證法求出

（2）因為an>0，bn>0，所以所以

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an>0知q>0，下面用反證法證明q=1.

n1

所以b1，b2，b3中至少有兩項相同，與b1