盤形圓弧砂輪曲面磨削幾何模型*

彭揚林，戴一帆 ，宋　辭,3 ，石　峰

(1.國防科技大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院， 湖南 長沙　410073;

2.超精密加工技術(shù)湖南省重點實驗室， 湖南 長沙　410073；

3.中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所， 上海　200083)

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盤形圓弧砂輪曲面磨削幾何模型*

彭揚林1,2，戴一帆1,2，宋辭1,2,3，石峰1,2

(1.國防科技大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院， 湖南 長沙410073;

2.超精密加工技術(shù)湖南省重點實驗室， 湖南 長沙410073；

3.中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所， 上海200083)

摘要：砂輪外形、加工軌跡、運動軸組合方式、工件擺放方式等的差異都會引起曲面磨削加工模型的變化，加工幾何模型是實施曲面磨削首要解決的問題。建立盤形圓弧砂輪的幾何模型，通過磨削點法向量匹配，建立工件點和砂輪點的一一映射關(guān)系，經(jīng)過坐標(biāo)變換可以得到相應(yīng)的刀具運動軌跡，用于磨削加工。形成統(tǒng)一的盤形砂輪曲面磨削幾何模型，并給出刀具運動軌跡的計算流程。該磨削模型適用范圍廣，有效解決了多種曲面磨削過程的刀具軌跡生成問題，實現(xiàn)了高精度的曲面磨削加工。

關(guān)鍵詞：曲面磨削；磨削幾何模型；砂輪模型；法向量匹配

常用于曲面磨削加工的砂輪包括杯形砂輪[1-3](圓弧端面或平面端面)、盤形砂輪[4-10](圓周為圓弧面或平面)、球形砂輪[11-12]、局部球形砂輪[13]等。砂輪不同，對應(yīng)的加工軌跡、加工模型、誤差影響類型都會有較大差異，分析方法并不能通用。不同加工軌跡、運動軸組合、工件擺放等，都會引起曲面磨削加工模型的變化，形成不同的加工方式。現(xiàn)主要討論圓周為圓弧面的盤形砂輪在曲面磨削加工中的加工模型。

曲面按照回轉(zhuǎn)對稱性可以分為回轉(zhuǎn)對稱曲面和非回轉(zhuǎn)對稱曲面。回轉(zhuǎn)對稱曲面可以通過母線繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周成形，于是可以通過XZ軸聯(lián)動、插補出母線軌跡，同時C軸回轉(zhuǎn)即可形成回轉(zhuǎn)對稱曲面[8,14]。聯(lián)動軸的變化，如YZC軸組合加工，可以形成平行磨削[3,7,9-11]。砂輪傾角隨著曲面法向變化而變化，保證砂輪上磨削點固定，則又形成法向跟蹤磨削[3-4]。根據(jù)磨削軸和工件軸的夾角又可以區(qū)分為垂直軸磨削和斜軸磨削[15-16]。

非回轉(zhuǎn)對稱曲面，由于其非回轉(zhuǎn)對稱性，無法采用上述方法進(jìn)行加工，如果將上述的加工方式稱為螺旋軌跡加工，則非回轉(zhuǎn)對稱曲面只能采用光柵軌跡進(jìn)行加工。根據(jù)所采用聯(lián)動軸不同、是否斜軸，可衍生出多種加工方式。

相關(guān)文獻(xiàn)[1,2,5,7-9,12,17]都對加工的幾何學(xué)模型有一定的研究，但都是針對其特定的加工方式進(jìn)行，研究不深入、適用范圍不廣、借鑒意義有限。

1磨削機床系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

磨削機床包括五個運動軸，機床如圖1所示(1—底座；2—主軸；3—立柱；4—Y軸導(dǎo)軌；5—Z軸導(dǎo)軌；6—A軸轉(zhuǎn)臺；7—砂輪；8—C軸轉(zhuǎn)臺；9—X軸導(dǎo)軌)。工件安裝在C軸轉(zhuǎn)臺上，C軸作回轉(zhuǎn)運動，配合XZ二軸聯(lián)動，可以實現(xiàn)回轉(zhuǎn)對稱曲面的加工；XYZ軸聯(lián)動，或者配合A軸的轉(zhuǎn)動可以實現(xiàn)非軸對稱曲面的加工。

圖1　磨削機床示意圖Fig.1　Schematic diagram of grinding equipment

2砂輪幾何模型

砂輪坐標(biāo)系OgXgYgZg中，砂輪上可能參與磨削的點Pg用參數(shù)方程可以表示為式(1)，砂輪示意圖如圖2所示。

(1)

其中，R表示砂輪半徑，r表示圓弧半徑，U∈[π/2,3π/2]表示圓弧張角，Q∈[-π,0)表示砂輪張角。

圖2　砂輪幾何模型示意圖Fig.2　Schematic diagram of wheel geometric model

由代數(shù)學(xué)知識可知，該曲面上沿Q方向的切向量可表示為：

nQ=[?x/?Q,?y/?Q,?z/?Q]=[-(R-rcosU)·

sinQ,0,(R-rcosU)cosQ]

(2)

沿U方向的切向量可表示為：

nU=[?x/?U,?y/?U,?z/?U]=[rsinU·

cosQ,rcosU,rsinUsinQ]

(3)

對應(yīng)pg點處的法向量為：

(4)

3曲面加工模型

nwg=S·nw

(5)

圖3　曲面磨削加工模型示意圖Fig.3　Schematic diagram of curve surface grinding

其中，

(6)

(7)

對于這種由刀具軌跡包絡(luò)成型的加工方式，最根本的理論就是加工點處工件的單位法向量和砂輪的單位法向量相等或相反(凹面相等，凸面相反)。

于是在點p處，有nwg=ng成立。則有

(8)

根據(jù)式(8)和式(1)可以得到磨削點p時，對應(yīng)砂輪上的點在砂輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)pg=[xg,yg,zg]T。式(8)中求解反正切時，得到的解值域為[-π/2,π/2]，而Q∈[-π,0)，U∈[π/2,3π/2]，所以角度的求解結(jié)果需要進(jìn)行相位修正。修正方式為：

(9)

其中，n取值需要根據(jù)定義域?qū)嶋H情況具體確定。

砂輪在工件坐標(biāo)系中的運動軌跡，可以通過點pg變換到工件坐標(biāo)系得到，如式(10)所示。

pgw=S-1·pg+T+pT

(10)

其中，平移矩陣T和工件坐標(biāo)系零點位置選取有關(guān)。

4刀具軌跡計算流程

刀具軌跡的計算，就是根據(jù)給定的被加工曲面，計算得到磨削刀具的運動軌跡，通過軌跡的包絡(luò)磨削形成曲面，具體的過程如圖4所示。

圖4　磨削軌跡計算流程圖Fig.4　Calculation flow chart of grinding path

5加工實例

根據(jù)上述的磨削幾何模型，對一個340mm×340mm雙曲面工件進(jìn)行磨削加工。這是一個回轉(zhuǎn)對稱的凸二次曲面，可以通過XZ軸聯(lián)動，插補出母線軌跡，母線繞回轉(zhuǎn)軸C軸旋轉(zhuǎn)一周成形，得到回轉(zhuǎn)對稱雙曲面。加工過程、運動軌跡以及磨削面形誤差如圖5所示，最終磨削面形誤差為8.0μm。

(a) 雙曲面磨削過程照片(a) Photo of grinding process of hyperboloid

(b) 雙曲面磨削軌跡(b) Grinding path of hyperboloid

(c) 雙曲面磨削面形誤差(c) Figure error of ground hyperboloid圖5　雙曲面磨削加工過程及面形誤差Fig.5　Grinding process and figure error of hyperboloid

對一個340mm×340mm的離軸拋物面工件進(jìn)行磨削加工時，如果采用工件安裝在離軸位置，使用螺旋軌跡進(jìn)行加工，相當(dāng)于磨削母鏡直徑為1070mm口徑的回轉(zhuǎn)對稱工件，存在要求機床行程大、降低加工效率、影響磨削精度等問題。所以對于此種非回轉(zhuǎn)對稱曲面，采用光柵軌跡進(jìn)行加工更有優(yōu)勢。通過XYZ軸聯(lián)動，形成曲面的包絡(luò)輪廓。加工過程、運動軌跡以及磨削面形誤差如圖6所示，最終磨削面形誤差為9.6μm。

(a) 離軸拋物面磨削過程照片(a) Photo of grinding process of off-axis paraboloid

(b) 離軸拋物面磨削軌跡(b) Grinding path of off-axis paraboloid

(c) 離軸拋物面磨削面形誤差(c) Figure error of ground off-axis paraboloid圖6　離軸拋物面磨削加工過程及面形誤差Fig.6　Grinding process and figure error of off-axis paraboloid

6結(jié)論

基于盤形圓弧砂輪的磨削加工，建立了砂輪的幾何模型，通過磨削點法向量匹配推導(dǎo)出工件上加工點和砂輪點的一一映射關(guān)系，從而建立加工曲面和刀具運動軌跡之間的幾何關(guān)系。該模型綜合考慮了加工方式、加工軌跡等因素，具有較好的通用性，可以很好指導(dǎo)實際磨削加工的過程。并對同軸的凸雙曲面工件和離軸凹拋物面工件進(jìn)行磨削加工，驗證了模型的正確性和有效性，并通過補償加工獲得較好的磨削加工精度。

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http://journal.nudt.edu.cn

Geometric model of curve grinding with disk arc wheel

PENGYanglin1,2,DAIYifan1,2,SONGCi1,2,3,SHIFeng1,2

(1. College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;

2. Hunan Key Laboratory of Ultra-precision Machining Technology, Changsha 410073, China;

3. Chinese Academy of Sciences, Shanghai Institute of Technical Physics, Shanghai 200083, China)

Abstract：The differences of wheel shape, machining path, motion axis combinations, and workpiece placed posture, will cause alterations of grinding model, which is the primary problem for the solution to curve generation. A geometric model of disk arc wheel was established; a one-to-one mapping relationship was built between workpiece and grinding wheel through the grinding point normal vector matching. After coordinate transformation, the corresponding machining tool motion trail which can be used for grinding was obtained. The uniform grinding geometry model of curve surface was formed, and the calculating flow of tool path was developed. The model has a wide application range, and can solve the tool path generating problem of multiple type grinding processes, which guarantees a high precision curve surface grinding.

Key words：curve surface grinding; grinding geometric model; geometric model of wheel; normal vector matching

中圖分類號：TH161.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)06-039-04

作者簡介：彭揚林(1986—)，男，湖南衡陽人，博士研究生，E-mail：pengyanglin2007@126.com；戴一帆(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：dyf@nudt.edu.cn

基金項目：國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃資助項目(2011CB013204)

收稿日期：*2015-06-01

doi:10.11887/j.cn.201506009