數學就是這么簡單

王亮聲

美國當代著名的趣味數學家馬丁·加德納（Martin Gardner）經常講述一項有趣的“黑猩猩摘香蕉”動物實驗：一位實驗心理學教授把一只香蕉懸在天花板中央，其高度是即使黑猩跳起來也夠不著。除了幾只隨便亂放的板條箱外，房間內空無一物。這項實驗的初衷是觀察一只雌猩猩是否會想到先把板條箱堆疊在房間中央，再爬上去把香蕉摘下來。只見這只黑猩猩靜靜地蹲在房間的一角，注視著正在擺弄板條箱的教授，它在耐心地等待。就在教授正巧走到香蕉下方的一剎那，黑猩猩一躍而起，跳上教授的肩膀，再憑空一躍，將香蕉抓在爪中。這一故事的寓意是：一個問題乍看上去難乎其難，但可能有一種出人意料的簡單解法。請看下面的問題：

1.串數問題

觀察下列的一串數：199985137673…其規律是：從第5個數開始，每個數都是它前面的四個數字之和的個位數。試問：在這串數中，會不會出現2014？

這個問題，乍看起來很難下手。當你按照規律，寫出了第100個數，甚至第10 000個數時，雖然2014沒有出現，你也不能由此斷言2014不會在這串數中出現。仔細觀察可發現：串數中的數是無限的，但只有兩類：奇數和偶數。我們若將串數中的奇數、偶數分別記作“○”“×”，這時所給的數串就是如下形式：

○○○○×○○○○×○○○○×…

其中連續的四個符號只有五種不同情形：

○○○○，○○○×，○○×○，○×○○○，×○○○，不可能出現××○×，所以也就不可能出現2014。

看完解答之后，你會不會“啊哈”一聲，原來這么簡單。這個例子表明了符號的直觀功能，只是用奇數、偶數概念就解決了這道難題，這種方法稱為“奇偶分析法”，這是一種很有用的方法。

2.“詞典”問題

從“初中生之友，我的好朋友”這十個字中任選1～5個字（允許重復），依先后出現的次序組成一個五個字的詞，將所有可能的“詞”按先后出現的次序組成一個“詞典”：

初初初初初，初初初初中，初初初初生，……

試問：在這個特殊的詞典中共有多少個詞？兩個詞“初中生之友”和“我的好朋友”之間（不包括這兩個詞）共有多少個詞？

從哪里入手來解決這個問題呢？我們不妨將“初中生之友，我的好朋友”分別標上數字“0123456789”，于是，這道題就變成了如下的數學問題：

（1） 數表00000，00001，00002，…，99999中有多少個數？

（2） 數字01234和數字56789（不包括這兩個數）之間有多少個自然數？

顯而易見，（1）數表中共有100 000個數，（2）數字01234和數字56789（不包括這兩個數）之間有56789-01234-1=55 554個自然數。即在這個特殊的詞典中共有100 000詞，兩個詞“初中生之友”和“我的好朋友”之間（不包括這兩個詞）共有55 554個詞。

在我們解答數學題時，常常會有這樣的親身感受：有些數學問題，初看起來似乎很難，無從下手，冥思苦想不得其解。但如果放開思路，打破常規，從各種不同角度去考慮，往往靈機一動，問題迎刃而解。此種瞬間閃現的靈感，往往可以尋出簡潔優美的解法，現代心理學家稱之“啊哈反應”。同學們在學習數學的過程中，如果能注意欣賞和體會這種“啊哈反應”，不僅能激發我們鉆研數學的興趣，喜歡數學，而且還能不斷提高我們對數學問題的洞察力和鑒賞力。