速解高中解析幾何的方法之一
——數形結合

◆四川省郫縣第三中學 姚慰民

速解高中解析幾何的方法之一
——數形結合

◆四川省郫縣第三中學 姚慰民

解析幾何是高考數學的必考內容，在所有題型中所占比值相對較高。一般來說，解析幾何的難度比函數低，且有一定的技巧性。只要掌握了速解技巧，將題目的“數”與“形”相結合，將題目所給條件一一對應來幫助解題，就能減少解題時間，提高答題效率，也不會漏掉題目條件。因此，準確運用數形結合的答題方法是影響高中解析幾何成績的決定因素。文章對速解高中解析幾何方法中的數形結合進行分析，對數形結合在解析幾何幾種題型中的運用進行舉例說明。

高中解析幾何；速解方法；數形結合

所謂數形結合，就是把題目所給條件中的 “數”與“形”一一對應，用簡單的、直觀的幾何圖形及條件之間的位置關系來將復雜的、抽象的數學語言及條件之間的數量關系結合起來，通過形象思維與抽象思維的結合，以形助數或以數解形，使復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，以達到簡化解問題途徑的目的。可見，數形結合在平面解析幾何和立體解析幾何的解題中有重要的作用。

一、解析幾何的概念

解析幾何是幾何學的分支，主要是用代數方法研究幾何對象之間的關系和性質，因而解析幾何也叫坐標幾何，它包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何是二維空間上的解析幾何，立體解析幾何是三維空間上的解析幾何，立體解析幾何比平面解析幾何更加復雜、抽象。

二、數形結合法的概述

1.數形結合的解題思想

通常來說，一道題目不會明確指定用數形結合的方法進行答題，每道題也不會只有一種解題方法，但數形結合方法在解析幾何答題中具備相當的優勢，能減少運算量，節約答題時間，提高正確率。因此，學生需要在平時練習中形成數形結合的解題思想，遇到解析幾何時，能清楚條件與問題之間的數量關系與位置關系，將 “數”與 “形”一一對應，快速找到解題突破點。事實上，當熟練掌握數形結合方法能夠舉一反三時，遇到的所有題目都是同一題目了。因此，高中生必須熟練掌握數形結合的解題思想。掌握數形結合思想，就必須搞清楚下列關系：①實數與數軸上的點的對應關系；②曲線與方程的對應關系；③函數與圖象的對應關系；④復數、三角函數等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念；⑤題目所給等式或代數方程式結構中所含明顯的幾何意義。

2.數形結合的方法簡介

數形結合法是速解高中解析幾何方法中的一種，由于部分解析幾何本身就是 “數”與 “形”的結合，因而數形結合法也是速解高中解析幾何方法中最為常見的一種。數形結合在求最值、解不等式、圓類問題、算軌跡方程中有著廣泛的應用，在復合函數和三角函數中也有應用實例。

三、采用數形結合法速解解析幾何題的策略

1.數形結合法速解解析幾何最值問題

最值雖只是數量關系問題，但解析幾何中的最值往往涉及到條件之間的位置關系，本質上是空間的幾何結構代數化，來實現曲面的數量化。因此，解析幾何中的最值問題單從代數入手或僅對幾何圖形進行分析不能達到解題目的，針對此類最值問題，需要運用數形結合的解題方法來進行最值題型答題。以下面一題為例：

已知：實數x、y滿足（x-1）2+（y+2）2=5，求S=x-2y的最大值和最小值。

圖1

策略要領：

已知數量轉圖形，坐標圖上示分明；

整理等式找截距，X與Y轉都可以；

最大值與最小值，都與正圓要相切。

2.數形結合法速解解析幾何圓類問題

解析幾何中圓類問題，主要是求圓與圓之間的位置關系、圓與直線的位置關系、圓的標準方程等，數形結合對速解圓類問題也有很大幫助。例如，在判斷圓與直線的位置關系時，通過建立直角坐標系，學生可以直觀地觀察到直線在圓外，但需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時就需要有數形結合的解題思想，以數解形。通過計算圓心到直線的距離，距離比圓的半徑大即表明直線在圓外，這是最基本的用數形結合的方式解答圓類問題。對數形結合法速解解析幾何圓類問題，以下特舉一例說明：

圖2

策略要領：

圓類的位置關系，幾個步驟要仔細；

第一變形函數式，坐標系上畫分明。

圓與直線的問題，先看直線圓內外；

設圓心到直線的距離為d，當d＞r相離，當d=r相切，當d＜r相交。也可聯立解方程看解的個數。

圓與圓的位置關系，由圓心距與兩半徑的長度來確定的，圓心距用d來表示，兩圓的半徑分別用r，R來表示。當d＞R+r時，相離；當d=R+r時，外切；當R-r＜d＜R+r時，相交；當d=R-r時，內切；當0=＜d＜R-r時，內含。也可以用公共點的個數來確定。

3.數形結合法速解解析幾何不等式問題

運用數形結合法解決解析幾何中的不等式問題主要是將原不等式化解，通常能化解為某個曲線方程，然后將曲線方程在數軸上表示，注意計算過程中值域與定義域，然后幾個圖形的交集就是該不等式的解集。

圖3

策略要領：

遇到XX不等式，變形得出等價式；

代換設置Y變量，化為曲線方程式；

坐標軸上畫分明，圖形交集為解集。

4.數形結合法速解解析幾何軌跡方程問題

數形結合在速解解析幾何軌跡方程的應用最為廣泛，因為軌跡屬于幾何類，方程屬于代數類，它本身就是一種數形結合，解答方法必定運用數形結合法。幾乎全國高考數學解析幾何軌跡方程都有一道選擇題和一道解答題，有些地區最后一道突破題都是利用數形結合法速解解析幾何軌跡方程問題。因此，考生必須掌握數形結合法解答解析幾何軌跡方程，下面舉例分析說明：

如圖4，拋物線y2=4x上有兩動點A、B（都非原點），已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明是什么曲線。

解析：設直線AB的方程為x=ay+b（a1≠0），代入曲線方程y2=4x中，得y2-4ay-4b=0。另A（x1，y1），B（x2，y2），列方程組y1+y2=4a，y1y2=-4b。題目已知OA⊥OB，由此可得x1x2+y1y2=0，也就是 （ay1+b）（ay2+b）+y1y2=0。推斷出-4b+ b2=0，b=4。可知，直線AB恒過定點P（4，0）。

設M（x，y），題目已知OM⊥AB，可推斷出M的軌跡是以OP為直徑的圓 （去除原點）。所以M的軌跡方程為（x-2）2+y2=4（x≠0）。

圖4

策略要領：解析幾何軌跡方程就是數形結合一種形式，解答這類問題的常用方法有直接法、定義法、參數法、待定系數法、代入法、交軌法。本例主要屬于交軌法范疇，凡看到曲線交點，聯立方程消參，用韋達定理，向量垂直數量積為零等建立關系，由直徑所對的圓周角是直角得動點軌跡，避開題目干擾的多余條件，找到正確的突破口。

數形結合是一種解析幾何解題方法，同時又是一種科學思想。于教師而言，要培養學生這種科學思想，使學生養成自覺總結概括的習慣；于學生而言，要善于探究數形結合背后知識所隱藏的思想，學會舉一反三，而不是通過對一道題的記憶進行解題。特別是高中理科生一定要培養數形結合思想，這對解答物理、化學及生物問題也會有很大的作用。

[1]徐鋒文.數形結合思想在解決解析幾何問題中的應用[J].數學學習與研究,2013,(11):123-124.

[2]安佰玲,黃保軍,盧濤等.解析幾何教學中數形結合思想方法的運用[J].淮海煤炭師范學院學報,2010,(2):69-73.

（編輯：易繼斌）

G633.65

A

1671-0568（2015）33-0111-02