基于序數信息的屬性權重確定方法

岳立柱，閆 艷

（遼寧工程技術大學a.公共管理與法學院；b.工商管理學院,遼寧 阜新 123000）

0 引言

在很多實際問題中，總有一些屬性無法或很難量化，這時就給不出決策矩陣，決策者只能給出各屬性的優劣次序[1]。即使能夠對屬性進行兩兩比較，但要涉及賦值標度的選擇問題，不同標度會得到不同的權重結果。但在實踐中，對不同的實際問題如何準確合理地選擇判別尺度仍然是一個難題[2]。雖然評分賦值與排序賦值相比，可以對評分進行加減等數學運算，但評分易受評價者自身評價尺度和個人喜好影響，例如，很多比賽打分中，為了降低人為因素總是要去掉一個最高分和最低分。因此，等級排序賦值方式在實際應用中有著獨特的應用價值。

田曉明，馮成志(2009)[3]對不同排序方法進行研究，從實用角度即經濟性、簡便性和直觀性方面來看，等級排列法優于對偶比較法和兩極遞進式排序法。因此，本文研究如何通過等級排序信息獲取屬性權重問題。目前，根據屬性排序確定權重的方法并不多見。比較常見如序和法[4,5],該方法操作簡單，即對于m個屬性，若最重要屬性賦值為m，第二重要屬性賦值為m-1，直至最不重屬性賦值為1，則第i個屬性權重為序值除以總序值和。文[6]認為序和法對重要屬性賦予的權重值偏低，不便于方案排序，進而提出了ROC權重法(Rank Order Centroid Weights)，該方法主要通過序數的倒數計算權重。文[5]通過模擬比較，認為ROC排序法優于序和法。另外，比較排序法[7]是根據各屬性序值出現的頻數，構造含有對數形式的權重公式，該法所蘊含的信息量要大于序和法和ROC法。以上三種方法均有一個共同特點，即權重計算簡捷，但不能對權重“質量”進行評價，這是該類方法的一個不足。

序關系分析法[8，9]可以視為對AHP權重法的完善，該法首先要求決策者對屬性排序，再對相鄰屬性進行比較打分，通過比較判斷矩陣得到屬性權重。該方法提高了賦值質量、降低了賦值次數。不過，同AHP權重法一樣，如何集成多個決策者權重或者判斷矩陣仍是一個需研究的課題。通過判斷矩陣構造求解權重優勢在于，判斷矩陣不僅能夠給出求解權重的基礎信息，同時通過一致性檢驗，能對得到權重“質量”進行評估。因此，本文要求決策者給出屬性排序信息，通過統計排序信息得到比較判斷矩陣，進而得到屬性權重。

1 權重定義與屬性賦值

1.1 權重定義

權重似乎是一個熟知且無需解釋的概念，實際上對于權重有著多種定義和解釋，很多解釋是似是而非的。Choo等（1999）對13種常用解釋進行了深入剖析，發現每種解釋都存在不足，僅適用于特定條件。本文從屬性賦值特征出發，給出一個更為自然的權重定義。

設 N={1，2，…，n}，M={1，2，…，m}，研究對象G共有m個相互獨立屬性，有n個相互獨立決策者。第i∈M 個屬性對G的貢獻值為一連續隨機變量ξi

其中，ai∈(0，∞)表示該屬性貢獻中為決策者可觀測的部分；εi為隨機變量是屬性貢獻中不被決策者所可觀測的部分，包含難以觀測到的影響和觀測產生的誤差。

設隨機變量期望存在且 E(ξi)＞0，i=1，2，…，m ，則屬性i的權重ωi為

1.2 屬性賦值

屬性賦值隨機變量滿足如下兩個條件：

（1）對于 ?i，j∈M,賦值隨機變量 ξi和 ξj相互獨立；

（2）對于 ?i，j∈M ，賦值隨機變量 ξi和 ξj的概率滿足

在不加說明的情況下，下文中分式中的分母均默認為不為零，不另作說明。

根據式（4）和式（2）可知

若規定式（5）中的隨機變量為離散隨機變量且取值為序值，則其為序和法公式。

在應用中，獲得賦值隨機變量概率分布并不容易，甚至無法獲得。但通過統計容易得到ξi＞ξj發生的頻率，通過頻率估計 P(ξi＞ξj)，根據式（4）得到權重比，進而得到判斷矩陣。如何通過頻率估計P(ξi＞ξj)？

2 屬性比較判斷矩陣

研究對象G共有m個相互獨立屬性，有n個相互獨立決策者即T1，…，Tn。按對目標重要程度，每個評價者對m個屬性進行排序，賦值方式為：認為最重要的屬性為m,第二重要的屬性為m-1,直至最不重要的屬性為1。第t個決策者對第j個屬性賦值記為xtj。賦值如表1所示。

表1 指標序列匯總表

若 P(ξi＞ξj)發生，記隨機變量 y=1，否則，記 y=0 ，顯然 y服從于0～1分布。設第t個評價者對屬性i和屬性j賦值樣本為 (xti，xtj)，xti≠xtj，若 xti＞xtj,則有 y=1 ；若xti＜xtj,則有 y=0。于是通過統計xti＞xtj,t∈N成立的次數，得到ξi＞ξj發生的頻數。為了表示方便，定義如下兩個函數：

對于任意兩個大于零且不相等的實數ai，aj，函數h(ai，aj)為

3 權重差異的顯著性檢驗

通過上文可知，若事件 ξi＞ξj發生，記 y=1；若事件ξi＜ξj不發生，記 y=0 ，即 y服從于0～1概率分布。根據概率知識可知，當發生的次數n逐漸增加時，y發生的總次數近似服從正態分布，即

Hij～N(npij， npijqji)

其中，pij=P(ξi＞ξj)，qji=P(ξi＜ξj)，pij+qji=1。

當屬性權重相等時，由式（4）可知P(ξi＞ξj)=P(ξi＜ξj)=0.5，此時屬性 i和屬性 j的重要程度相同。對于任意屬性i和 j給出如下假設：

H0:p=q=0.5；

H1:p≠0.5

原假設表示屬性i和屬性 j重要性大小沒有差異，或者屬性權重相同。如果拒絕原假設，則接受設備擇假設，表明屬性權重大小存在差異。那么n取多大為好呢，可以用不同的經驗法則來判定n是否足夠大，一般的規則是np和n(1-p)都必須大于5[9]。

綜上，在得到表1的基礎上，確定屬性權重可歸納如下幾個步驟：

第三步：若比較矩陣滿足一致性，則跳轉到第四步，否則停止計算。

在屬性的比較過程中，若發現屬性的計票函數為零，當樣本較少則需要增加樣本，當樣本足夠多，則可能反映出該屬性重要程度過小，可以考慮刪除該屬性。出于計算方便，可先求得各屬性的序值和，按序值和由大到小的順序對屬性進行排列，比較相鄰屬性賦值大小，統計發生的頻數。

4 結論

通過屬性序數比較得到了判斷矩陣，該矩陣本質上是一個隨機矩陣，具有最優線性無偏性等良好的數學性質。隨著樣本增加，該矩陣一致性程度增加。對于屬性間是否存在顯著差異問題，給出了檢驗統計量，為分析屬性間的關系提供了一個新的視角。本文給出的操作方法比較簡單，容易實現，在應用中不僅可以處理定序數據，同時也能夠處理定量數據，具有一定的通用性。

[1]岳超源.決策理論與方法[M].北京:科學出版社,2003.

[2]黃德才.層次分析方法中層次單排序的新方法[J].控制與決策,1998,13(6).

[3]田曉明，馮成志.對偶比較法、等級排列法和兩極遞進式排序法的比較[J].心理科學，2009,32(4).

[4]程書肖.教育評價中諸因素權重的確定[J].教育理論與實踐，1989，9（6）.

[5]Barron F H,Barrett B E.The Efficacy of SMARTER-Simple Multi-Attribute Rating Technique Extended to Ranking[J].Acta Psychologica，1996,（93）.

[6]Edwards W,Barron F H.SMART and SMARTER:Improved Simple Methods For Multi Attribute Utility Measurement[J].Organizational Behavior and Human Decision Processes,1994,（60）.

[7]胡永宏,賀思輝.綜合評價方法[M].北京：科學出版社,2000.

[8]張發明.區間標度群組序關系評價法及其運用[J].系統工程理論與實踐,2013,33(3).

[9]郭亞軍，潘德惠.一類決策問題的新算法[J].決策與決策支持系統,1992,2(3).

[10]徐澤水.判斷矩陣一致性修正的新方法[J].系統工程理論與實踐,2000，(4).