循環荷載作用下基于隸屬度函數的邊界面模型

王喜剛, 扶名福，胡小榮

(南昌大學 工程力學研究所，江西 南昌 330031)

循環荷載作用下基于隸屬度函數的邊界面模型

王喜剛, 扶名福，胡小榮

(南昌大學 工程力學研究所，江西 南昌 330031)

摘要：為了反映土體在循環荷載作用下塑性應變的累積特性和連續性，將隸屬度函數引入到邊界面模型中，在二維臨界土力學模型圖基礎上,構造了一個新三維空間錐體，利用該錐體建立了加載面與隸屬度函數的一一對應關系。根據隸屬度函數修正了塑性流動法則，使得模型對最大預應力具有部分記憶功能，并引入損傷參數，推導得到了模糊邊界面模型，通過動三軸實驗確定了該模型的參數。利用有限元的二次開發功能，將該模型引入到有限元中，得到了模型的數值結果，通過與動三軸實驗結果對比，發現兩者吻合較好,證明了模型的合理性。

關鍵詞：循環荷載；模糊邊界面模型；隸屬度函數；部分記憶；動三軸實驗；有限單元法

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151106.1047.006.html

扶名福(1953-)，男，教授.

土體在循環荷載作用下，其應力應變關系比較復雜，國內外研究該問題的方法可以歸納為兩大類：一類是從經典彈塑性理論出發，研究土體的應力-應變滯回曲線；另一類是從實驗研究角度出發，不再研究每個循環中的應力應變關系，而是考察每一循環的最大塑性應變，尋找塑性累積應變與循環次數的發展規律，確定應變累積的經驗模型。

1967年Mroz[1]首次提出了塑性硬化模量場理論，該模型由邊界固結面、初始屈服面和一系列套疊屈服面組成，每個套疊屈服面代表當前應力狀態下的塑性模量大小，塑性模量隨應力狀態不斷變化，但是該模型要求每個應力點必須落在當前的套疊屈服面上，不容易數值實現；Krieg[2]和Dafalias等[3]把套疊屈服面進行了簡化，得到了邊界面模型，該模型包括一個邊界面和一個加載面，加載面上應力點與邊界面應力點以及加載面上塑性模型與邊界面上塑性模量的映射關系是該模型的關鍵。黃茂松等[4]在各向同性邊界面理論框架中，通過引入各向異性張量，提出了適用于描述循環荷載作用下軟黏土各向異性的邊界面本構模型，在映射準則中，將映射中心由固定改為可移動，以反映循環荷載作用下土體的滯回特性；賈鵬飛等[5]在經典彈塑性理論的框架下，提出一個土體在低幅值、高循環荷載作用下的應變累積模型，該模型通過用對數規律來描述塑性體應變的累積規律。

本文在前人研究基礎上，將隸屬度引入到經典塑性模型中，隸屬度函數是表示當前應力狀態的函數，通過隸屬度函數的引入得到了當前加載面上應力狀態與邊界面上應力狀態的一一對應關系。

1隸屬度函數

1.1　定義

根據臨界土力學理論，邊界面方程可采用橢圓形式，其表達式為

(1)

式中：q為廣義剪應力，p為平均應力，pc為橢圓與p軸的交點，M為p-q平面上臨界狀態線的斜率。

土體在一開始加載的時候就產生塑性應變，所以最初的加載面應該是一個點，如圖1所示，圖1中O點表示最初的加載面FO；破壞時的邊界面FC為過點O和PC點的橢圓，OC為橢圓的中心，TCM為邊界面對應的臨界狀態線；其他加載面可表示為過O點且在邊界面橢圓內部變化的橢圓，如加載面FB過O點和PB點的橢圓表示其中一個加載面，OB為橢圓的中心，TBN為該加載面對應的加載狀態線，稱為模糊臨界狀態線。為了表示加載面在循環荷載下的連續變化采用如下方法：以OC為基點，將OCTC軸半平面向外旋轉90°，旋轉到邊界面橢圓上方，臨界狀態線和模糊臨界狀態線也相應地跟著向外旋轉90°，則可形成一個以TC為頂點，以邊界面為底面的空間錐體，OCTC為新椎體的第3個坐標軸，構建的空間錐體如圖1所示。

圖1　隸屬度函數錐面Fig.1　The cone of membership function

圖1中OC、OB點為圖1中邊界面和加載面橢圓中心。下面把加載面橢圓中心向錐面投影，OC投影交錐面于TC點、OB投影交錐面于TB點、O點投影交錐面還是O點本身；當TB點在O點與TC點之間移動，則表示了加載面在q-p平面上的演化規律，一個加載面對應一個TB點。當TB點沿著OTC向TC點移動時，則代表加載面由FB向邊界面FC演化，當TB點移動到TC點時，加載面演化為邊界面FC；當TB點沿著TCO向O點移動時，表示加載面由FB向初始加載面FO演化，當TB點移動到O點時，加載面演化為初始加載面FO。通過對圖1觀察分析可知TB點位置與加載面一一對應，所以加載面的演化可以通過研究TB點坐標來實現。

由于土體是由無數個土顆粒組成的，一般認為土體在一開始加載的時候就發生屈服，即土體沒有絕對的彈性，而在受載時表現為彈塑性。

為了既能反映加載面的演化，又能表現出土體受載后彈塑性程度的不同，定義OCTC軸表示土體的塑性隸屬度。當位于TC點時，加載面為邊界面FC，這時土體的塑性隸屬度為1，彈性隸屬度為0；當位于O點時，加載面為初始加載面，此時土體的彈性隸屬度為1，塑性隸屬度為0。

用μ表示TB點在OCTC軸上投影的坐標值，則μ∈[0,1]，當μ由0到1變化時，加載面從FO連續演化到邊界面FC。μ表示土體應力狀態的程度，TB點在OCTC軸上的坐標可以通過加載面與p交點來反映，鑒于此，定義μ為

(2)

式(2)的定義是巧妙而合理的，當pB=0時，對應的μ=0，此時的應力狀態對應于O點，對應于初始加載面；當pB=pc時，對應的μ=1，此時的應力狀態對應于邊界面；當pB在(0,1)范圍內連續變化時，對應于加載面在初始加載面和邊界面之間連續演化。

1.2　對最大預應力的部分記憶功能

在錐面上隸屬度函數有三類演化規律，分別為：無記憶模型、對最大應力歷史具有全部記憶模型和對最大應力歷史具有部分記憶模型，部分記憶模型隸屬度演化如圖2所示。

圖2　部分記憶模型隸屬度演化規律Fig.2　The evolution of membership of partial memory models

無記憶模型假設材料響應與以往加載歷史無關，在重復加載時產生的塑性應變增量與初始加載的相同，錐面不變。對最大應力歷史具有全部記憶模型假定模型記住了往復加載過程中的最大應力歷史。

對最大預應力具有部分記憶功能模型既受以往應力歷史的影響但又不全部記憶下來，在卸載時錐面得到重構，錐面頂點變為圖2中的TP點。重新加載時，隸屬度沿著OTP移動變化，加載面變化，且都在Fp之內，此時不產生塑性應變；直到加載面的中心在OTp上的投影點達到TP時才產生塑性應變，之后沿著TmaxTC變化。

根據實驗結果[6-7]土體在循環荷載作用下應力應變關系符合部分記憶模型的規律。部分記憶模型中產生塑性應變的加載面由點TP確定，同時也可以確定該加載面對應的隸屬度值，其關系如圖3所示。由點TP向p-q平面做垂線交原錐面于TSM，交p-q平面于OSM，過點TSM做OCTC的垂線，垂足位置即為TP點對應的隸屬度值μSM。在重復加載過程中，只有當隸屬度值大于μSM時才產生塑性應變。

圖3　部分記憶模型的隸屬度Fig.3　The membership of partial memory model

根據圖3可知，假設應力歷史上最大荷載所對應的隸屬度值為μmax，則

(3)

式中：α表示記憶功能的材料參數，在[0,1]上取值，α的值由土體的動三軸實驗確定，根據三軸實驗結果，確定第1個循環和第2個循環產生的塑性應變增量分別為ε1p和ε2p，則α值可確定:

(4)

1.3　損傷參數

為了反映土體在循環荷載作用下循環次數對塑性應變的影響，對式(3)進行修正，引入損傷參數，設損傷參數為β，則根據損傷參數修正后的隸屬度μSM變為

(5)

圖關系Fig.4　The curves and N

根據擬合結果，可取β的具體形式為

(6)

式中：N為循環次數；b和c為材料參數，由三軸實驗確定。

2模糊彈塑性模型

2.1　邊界面模糊化

由上所述加載面與應力狀態隸屬度值一一對應，隨著隸屬度在1到0的變化，加載面由最初的加載面不斷演化為邊界面。為了更好的表達加載面與隸屬度的一一對應關系，故加載面利用隸屬度函數模糊化。式(1)給出了邊界面方程，pc表示橢圓與p軸的交點，將其作為模糊參數，加載面方程模糊化為

(7)

通過式(7)可知，當μ=1時，表示初始加載面為一點；當μ=1時，表示為邊界面；當μ在(0,1)區間變化時表示初始屈服面與邊界面之間的加載面，且表示出了應力狀態所對應的不同程度的彈塑性。

2.2　塑性流動法則

加載面上應力點與邊界面上的應力點一一對應，且在應力共軛點上加載方向一致，并假定屈服時服從正交流動法則。塑性流動法則如下：

(8)

式中：μSM為被記憶的應力狀態對應的隸屬度值。當初始加載時μSM=1；當重復加載時μSM值由式(5)確定。

根據式(8)，可把塑性應變dεp分解為塑性體積應變增量dεVp和廣義塑性剪應變分量dγp，則塑性體應變和廣義剪應變的塑性流動法則如下：

(9)

(10)

式中：h為硬化模量或硬化函數，是邊界面上硬化模量H和應力隸屬度μ的函數，可表示為h=h[H,μ]，其中邊界面上硬化模量H可取為

H=pc

(11)

2.3　塑性硬化模量

根據一致性條件，邊界面上的塑性硬化參量滿足：

(12)

假設H是塑性應變增量εP的函數，故

(13)

對H取全微分：

(14)

根據相關聯流動法則塑性應變增量為

(15)

將式(15)代入式(14)中，并將dpc代入到式(12)中可得

(16)

模糊加載面上的硬化模量由邊界面上的硬化模量H和隸屬度μ確定，且滿足條件：

(17)

根據式(11)，為了滿足式(17)，可取模糊加載面上的硬化模量h為

(18)

2.4　增量型模糊彈塑性本構模型

將式(16)代入到式(8)中，根據流動法則的分解，可以得到

(19)

式(19)是邊界面上的增量型本構關系，將式(19)中的pc用模糊加載面上的塑性模量h代替，則可以得到模糊加載面上的本構模型為

(20)

根據臨界狀態土力學理論，取塑性體應變增量作為研究對象，采用改進的劍橋模型，則可以得到塑性體應變εvp與模糊加載面的塑性模量h的關系如下：

(21)

式中：e表示孔隙比，η表示劍橋模型中εv-p曲線的加載斜率，κ表示劍橋模型中εv-p曲線的卸載斜率。

將式(21)代入到式(20)中第1式并參照式(9)可得

(22)

式(22)即為具有部分記憶和損傷功能的模糊邊界面本構方程，μSM值由式(5)確定。

3動三軸實驗

3.1　實驗模型

實驗試樣尺寸為直徑39.1 mm高、80 mm的重塑圓柱土樣，試樣采用分層濕搗法分5層擊實得到，在三軸壓力室內通過使用不含氣的水、施加反壓等方法使土樣達到飽和狀態，然后土樣發生固結，直到5 min內土樣的體變不發生變化時認為土樣固結完成。土樣在不排水狀況、一定的固結應力狀態下，在豎直軸向上施加不同幅值的動荷載進行三軸實驗。實驗土體的孔隙比e=0.772，重度ρ=1.943，內聚力C=35kPa，摩擦角φ=34°。軸向動荷載采用正弦波形式，頻率為1 Hz，考慮在交通荷載作用下，路基土體大多處于壓縮狀態，故加卸載規律取如下式形式：

q(t)=qd/2+qd/2·sin(2πt)

(23)

式中：q(t)表示t時刻動荷載大小，qd表示靜荷載大小。

表1　模型隸屬度Table 1　The membership of model

3.2　模型參數及對比結果

由于實驗剛開始階段非線性靜載的影響，導致實驗有誤差，所以舍棄第1次循環得到的數據，每一次的塑性變形從第2次加載開始進行累加。

根據模型參數，利用有限元二次開發功能將具有部分記憶和損傷功能的模糊邊界面本構方程移植到有限元程序中，借助有限元程序得到了2組實驗的數值結果[8-10]，圍壓50 kPa數值結果與動三軸實驗結果對比如圖5所示。

圖應變-循環次數關系Fig.5　The curves between strain and N when =47 kPa

通過圖5發現，隨著循環次數的增加，塑性應變累積不斷增加，且隨著循環次數的增大塑性應變增量不斷減小；其他圍壓、其他幅值振動荷載作用下模型曲線與實驗曲線與其類似。

4結束語

將隸屬度函數引入到邊界面模型中，得到的模糊邊界面模型利用隸屬度函數的連續變化能很好地體現循環荷載的作用；在模型中引入記憶參數和損傷參數，通過隸屬度函數修正了塑性流動法則，模型能夠反映土體塑性應變累積特性；通過動三軸實驗結果與數值結果對比發現模型與動三軸實驗結果吻合較好，說明該模型對反映循環荷載作用下土體的塑性應變累積有一定的應用價值。

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Bounding surface model based on

membership function under cyclic loading

WANG Xigang, FU Mingfu, HU Xiaorong

(Center of Engineering Mechanical Experiment, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

Abstract：A membership function was imported into the bounding surface model to solve accumulated and continuous plastic strain under cyclic loading. A new three-dimensional cone was constructed based on the two-dimensional critical soil model figure. The relationship between the membership function and the loading surface was established based on the new three-dimensional cone. The membership function was used to modify the plastic flow criteria, so that the maximum stress of model was partially memorized; the damage parameters were adopted to deduce a fuzzy bounding surface model. A dynamic triaxial experiment was adopted to determine the parameters of the model. The numerical prediction matches the experiment results, proving the model is reasonable.

Keywords：cyclic loading; bounding surface model; membership function; partial memory; dynamic triaxial experiment; finite element method

通信作者：王喜剛,E-mail:fxwxg@163.com.

作者簡介：王喜剛(1981-)，男，講師，博士；

基金項目：國家863計劃資助項目(2007AA091101)；國家自然科學基金資助項目(61072092,61101205,61401496).

收稿日期：2014-09-05.網絡出版日期：2015-11-06.

中圖分類號：TU345

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2015)12-1560-05

doi:10.11990/jheu.201409017