基于旋量理論的機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析

張海英， 范進(jìn)楨

（寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 寧波 315800）

0 引 言

在現(xiàn)代化的加工車間，常配有工業(yè)機(jī)械手，用機(jī)械手代替人工完成如搬運(yùn)、裝配、切割、噴染等作業(yè)，以提高生產(chǎn)效率，完成工人難以完成的或者危險(xiǎn)的工作。

而剛度在很大程度上影響著機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能和末端的定位精度，所以剛度問題是設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)的一項(xiàng)重要指標(biāo)，因此建立機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣依此來分析機(jī)構(gòu)的剛度問題非常重要［1］。通過對(duì)機(jī)構(gòu)的剛度分析可以了解機(jī)構(gòu)是否有足夠的剛度來承受一定的載荷，為機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制方案設(shè)計(jì)做理論準(zhǔn)備。本文采用旋量理論來分析機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度問題。

1 機(jī)構(gòu)描述

沖床機(jī)械手能適用于多工位沖壓生產(chǎn)線，為了完成圓形工件的取放操作，設(shè)計(jì)了一個(gè)機(jī)械手爪用于精確取放工件，該機(jī)械手手爪的機(jī)構(gòu)圖如圖1所示，共有7個(gè)部分組成，其中手指5有3根，都采用軋制鋁材料。手指支架4在絲桿7的帶動(dòng)下上下移動(dòng)，可使抓手連桿3和手指 5在空間 360°內(nèi)張縮運(yùn)動(dòng)。

2 機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析

柔性機(jī)構(gòu)是一種靠構(gòu)件元素或單元具有的柔性來輸出運(yùn)動(dòng)或里的機(jī)構(gòu)，柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)和分布柔度全柔性機(jī)構(gòu)是其中的兩種主要類型［2］。 復(fù)雜柔性機(jī)構(gòu)的剛度分析是建立在單元柔性單元?jiǎng)偠染仃嚮A(chǔ)上的，對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，末端剛度是先把所有支鏈的剛度變換到同一坐標(biāo)系下，再把各個(gè)支鏈的剛度相加［3］。

2.1 單元柔性單元?jiǎng)偠染仃嚨慕?/h3>

針對(duì)某一個(gè)坐標(biāo)系，作用在柔性單元上的廣義力包括移動(dòng)量f和轉(zhuǎn)動(dòng)量τ兩個(gè)部分，可用一個(gè)力旋量F來表示［4］：F=（ f；τ） 。

機(jī)械手手爪中的各構(gòu)件是一個(gè)獨(dú)立的柔性單元，可看成是長(zhǎng)度為L(zhǎng)，密度為ρ，橫截面積為A的均質(zhì)梁，位于如圖2所示的坐標(biāo)系中，在靜止?fàn)顟B(tài)下，只有末端作用一個(gè)力旋量F=（f；τ），在此力作用下，柔性單元產(chǎn)生的變形定義為變形旋量 W=（ δ；θ），其中 δ表示移動(dòng)變形量，θ表示旋轉(zhuǎn)變形量，那么均質(zhì)桿柔性單元末端的變形就可以寫成［5］

W（L）=（δx（L），δy（L），δz（L），θx（L），θy（L），θz（L））T。（1）式中：δx（L）、δy（L）、δz（L）分別表示長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均質(zhì)桿柔性單元在x軸、y軸和z軸方向上的移動(dòng)變形量；θx（L）、θy（L）、θz（L）分別表示長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均質(zhì)桿柔性單元在x軸、y軸和z軸方向上的旋轉(zhuǎn)變形量。

圖2 靜止?fàn)顟B(tài)下桿件的變形

沿著z軸方向的移動(dòng)變形分量δz（z）、旋轉(zhuǎn)變形分量θz（z）和力分量fz的關(guān)系式為：

將力與彎曲變形投影到oyz平面，可得到oyz平面上移動(dòng)量f和轉(zhuǎn)動(dòng)量τ兩者之間的關(guān)系：

同樣將力與彎曲變形投影到oxz平面，可得到oxz平面上移動(dòng)量f和轉(zhuǎn)動(dòng)量τ兩者之間的關(guān)系：

根據(jù)式（ 2）、（ 3）和式（ 4）可以得到桿件變形旋量 W（ L）和力旋量 F 之間的關(guān)系式：W（ L）=A（ L）F。A（ L）為均質(zhì)桿柔性單元的空間剛度矩陣，令 z=L，A（ L）可用下式表示［6］：

式中：E 表示材料的彈性模量；Ix、Iy、Iz分別表示均質(zhì)桿柔性單元x、y、z軸的截面慣性矩；I表示截面極慣性矩；G表示均質(zhì)桿柔性單元的剪切模量；L表示均質(zhì)桿長(zhǎng)度；S為截面積。

2.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析

將機(jī)械手手爪進(jìn)行簡(jiǎn)化后的機(jī)構(gòu)圖如圖3所示，將參考坐標(biāo)系原點(diǎn)定為C點(diǎn)，柔性單元均質(zhì)桿材料為鋁（E=70 GPa，G=25 GPa），截面為矩形，如圖 3（ c） 所示，桿件長(zhǎng)L=100 mm，厚h=3 mm，寬度b=10 mm，柔性單元分布圓半徑a=40 mm，p=40 mm，傾角β=5°。當(dāng)受到力旋量作用時(shí)，將下端所夾持零件的運(yùn)動(dòng)瞬心表現(xiàn)到空間任一點(diǎn)上，機(jī)構(gòu)發(fā)生偏移或者旋轉(zhuǎn)變形。從圖中看出該機(jī)構(gòu)由3個(gè)同樣的柔性桿單元，均勻分布在一個(gè)圓周上，對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，末端剛度是先把所有支鏈的剛度變換到同一坐標(biāo)系下，再把各個(gè)支鏈的剛度相加［7-8］。

圖3 機(jī)械手手爪機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

首先確定單個(gè)柔性單元的空間剛度矩陣，根據(jù)圖3（b），先將該柔性單元的局部坐標(biāo)取在其幾何中心處，得出該單個(gè)柔性單元的剛度矩陣為

式中：E表示材料的彈性模量；G表示均質(zhì)桿柔性單元的剪切模量；L表示均質(zhì)桿長(zhǎng)度；Ix=b3h/12、Iy=bh3/12分別表示均質(zhì)桿柔性單元x、y軸的截面慣性矩；I=Ix+Iy=（b3h+bh3）/12 表示截面極慣性矩；S=bh 為截面積［9］。

再將坐標(biāo)系平移到柔性單元的末端D處，根據(jù)式（5）可得到柔性單元在新坐標(biāo)系下的剛度矩陣為

為了分析機(jī)構(gòu)整體的剛度，需將所有柔性單元的剛度矩陣都變換到同一坐標(biāo)系下，為了便于分析，假設(shè)C點(diǎn)與D點(diǎn)在同一平面上，機(jī)構(gòu)在C處所受合力和合力矩為50 N和50 N·m，將機(jī)構(gòu)已知參數(shù)條件代入式（7）得到單個(gè)柔性單元的剛度矩陣［10］：

整個(gè)機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣為3個(gè)柔性單元?jiǎng)偠染仃囅嗉?，所以機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣為：

根據(jù)W（L）=A（L）F=（δx（L），δy（L），δz（L），θx（L），θy（L），θz（L））T可得到

由此得出整體機(jī)構(gòu)在C處的平移變形量δ和旋轉(zhuǎn)變形量θ。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以看出機(jī)構(gòu)的移動(dòng)變形量值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于旋轉(zhuǎn)變形量值，符合設(shè)計(jì)要求。

3 結(jié) 語

在沖床機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖的基礎(chǔ)上，利用旋量理論建立柔性單元的空間變形旋量與力旋量之間的關(guān)系式，得出單個(gè)柔性單元的剛度矩陣，并推導(dǎo)出機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣。通過分析計(jì)算得出了機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)的平移變形量和旋轉(zhuǎn)變形量值，此值可用來評(píng)價(jià)機(jī)械手的動(dòng)態(tài)性能和末端的定位精度，為機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

［1］ 周玉林，高峰.3-RRR 3自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45（ 4） ：25-31.

［2］ 彭斌彬，李增明，武凱，等.二自由度平移并聯(lián)機(jī)器人空間靜剛度分析［ J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，36（ 3）：522-528.

［3］ 王殿君，馮玉倩.并聯(lián)焊接機(jī)械手的靜剛度分析［J］.機(jī)械制造，2013（ 1） ：22-23.

［4］ 劉玲玲，趙新華，李彬.一種三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析及仿真［ J］.天津理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，27（ 4）：37-40.

［5］ 李輝，朱文白.柔索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（ 3）：8-15.

［6］ 王忠策，李蘊(yùn)奇.基于旋量理論多關(guān)節(jié)柔性機(jī)器人操作臂的逆動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)與仿真［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2011，49（ 1）：98-104.

［7］ 王紅旗，王泰華.基于旋量理論的移動(dòng)機(jī)械手動(dòng)力學(xué)建模［J］.兵工學(xué)報(bào)，2010，31（ 6） ：849-853.

［8］ 蘭陟，李振亮，李亞.基于旋量理論的5-DOF上肢康復(fù)機(jī)器人雅克比矩陣求解［ J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2011，28（ 5）：51-53.

［9］ 汪選要，曹毅，黃真.冗余并聯(lián)柔索機(jī)器人變剛度控制的研究［ J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2014（ 4）：111-113.

［10］ 賈曉輝，田延嶺，張大衛(wèi).3-PRR柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2010，41（ 10） ：199-203.