Caputo型分數階微積分求解及其誤差估計

李瑾

(河南財政稅務高等專科學校 信息工程系， 河南 鄭州 451464)

Caputo型分數階微積分求解及其誤差估計

李瑾

(河南財政稅務高等專科學校 信息工程系， 河南 鄭州 451464)

研究Caputo 型分數階微分函數的正解情況，考察其正解的唯一性問題，進而研究其數值求解的誤差估計，所得結果拓展了Wyss的研究成果.

分數階微積分; Caputo型； Chebyshev 多項式； 誤差估計； 唯一性.

分數階微積分在一些混沌領域，如在遺傳數理得到了較為廣泛的應用[1-3].然而，由于其應用上的非局部性，使得分數階微積分數值計算較為復雜，進而導致發展較為緩慢[4].Diethelm[5]根據前人的研究成果[6-11]，給出了幾種較為常見的分數階微積分的數值算法，并提出了分數階微積分的Gauss求解原理及算法.本文基于Sugiura等[12]的分數階微積分Chebyshev 多項式數值算法模型，考察Wyss等[13]設計的Caputo 型分數階微分函數的正解情況，進而研究其數值求解的誤差估計.

1 分數階積分及其拓展算法

Wyss和Chneider建構了分數階積分函數，令φ(x)，ψ(x)為已知函數，所組成的偏微分方程為

為進一步研究高階分數階積分，Miyakoda拓展了Wyss的研究成果，建構基于Chebyshev多項式逼近的高階分數階積分[13].為此，令函數f(x)分數階積分為

結合文獻[3]的研究，對上述方程進行多項式逼近，可得到

T0(x)=1，T1(x)=x，Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x).

結合式(4)，由方程(1)可得

為了進一步得出該多項式的算法，記pn為式(4)的n次多項式，于是有

于是,可得到

由方程(9)中Ti(2x-1)(i=1，2，…，n)的系數，可以得到

所以，分數階積分(1)的數值算法為

式(11)中:α>a，t∈[0，1]，ak，bk由方程(4)及方程(10)給出.

2 Caputo型分數階微分的數值算法

首先，給出Caputo型分數階導數的定義.令函數f(t)的Caputo型分數階導數為

式(12)中:Γ(·)是Gamma函數.接下來，對該導數進行Chebyshev多項處理，可得

進而得到

為了進一步明確bi，將方程(16)～(18)整合,可得到

可以發現

式(18)中：k=1，2，…，n-2;bn-1=bn-2=0.于是,可得到Caputo型的分數階導數的數值算法為

當前糧食的機械干燥方法主要包括熱風干燥、真空干燥、微波干燥、太陽能干燥、熱泵干燥、就倉干燥、紅外輻射干燥以及熱風——微波聯合干燥等新型干燥技術，其中熱風干燥技術依舊是應用較普遍的干燥技術[2]。為此，利用DHG-9240A型熱風干燥試驗裝置進行試驗，分析在不同溫度、風速和物料薄層厚度條件下高水分小麥的熱風干燥特性，并建立高水分小麥熱風干燥數學模型，進而揭示高水分小麥的熱風干燥規律和干燥機理，為高水分小麥熱風干燥工藝建立及其設備研制提供理論依據。

式(19)中：α∈(1，2)，t∈[0，1]，而dk，bk分別由方程(17)，(18) 確定.

3 Caputo型分數階微分方程解的唯一性問題

當t∈(0，+∞)，(0，∞)→R時，f(x)的a階(a∈R+)分數階積分為

所以，其Caputo型分數階導數則為

假設G(t，s)>0(t，s∈(0，1)為Green函數，于是，在g∈[0，1]，2≤a≤3，Caputo型分數階導數微分方程為

設P={x∈C[0，1]|x(t)≥0，t∈[0，1]}，所以P為Banach空間C的正規錐，于是提出如下假設.

假設1f(t，u，v)∶[0，1]×[0，∞)×[0，∞)→[0，∞)連續，且f(t，0，1)≠0.

假設2 當t∈[0，1]，v∈[0，∞)時，在u∈[0，+∞)區間，f(t，u，v)單調遞增；當t∈[0，1]，u∈[0，+∞)時，在v∈[0，+∞)區間，f(t，u，v)單調遞減；?γ∈(0，1)，存在φ(γ)∈(γ，1)，使f(t，γu，γ-1)≥

φ(γ)f(t，u，v)，?u，v∈[0，∞).于是，提出以下3點結論.

1) 存在r∈(0，1)及u0，v0∈Pw，使不等式rv0≤u0

上式中：w(t)=t，t∈[0，1].

2) 在P={x∈C[0，1]|f(x)≥0，x∈[0，1]}，Caputo分數階微分方程具有唯一解u*.

3) ?x0，y0∈P，構造迭代序列

上式中：n=1，2，….

當n→∞時，xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t)成立.

4 誤差分析

由于前述的Chebyshev多項式pn(x)具有解的有界性和一致性，所以有

于是，在積分空間Cr上，Chebyshev多項式分數階積分f(x)的數值算法具有誤差估計為

所以，在積分空間Cr上，Chebyshev多項式分數階積分f(x)的數值算法具有的誤差估計滿足

于是，En(t)=f(t)-pn(t)=An+1(t)Bn(t)，又由于Chebyshev多項式f(x)的一致有界性，所以有

注 上述結論中o的含義為n→+∞時，Chebyshev多項式f(x)數值算法誤差的收斂速率.

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(責任編輯： 陳志賢 英文審校： 吳逢鐵)

Algorithm and Error Estimate on the Fractional Differential Equation With Caputo Derivative

LI Jin

(Department of Information Technology, Henan Finance and Taxation College, Zhengzhou 451464, China)

The development speed of the reactional differential equation is slow due to the application nonlocality and the calculative complexity. In this paper, we will discuss the positive solution to the fractional differential equation with Caputo derivative based on the current research. Then we also study the uniqueness of the solution and discern the deviation comparing with numerical solution. The paper expands Wyss′ research and conclusion.

fractional differential equation; Caputo derivative； Chebyshv polynomial; error estimate； uniqueness

1000-5013(2015)06-0721-05

10.11830/ISSN.1000-5013.2015.06.0721

2015-10-08

李瑾(1961-)，女，副教授，主要從事微積分及經濟數學的研究.E-mail:396319685@qq.com.

河南省2014年軟科學研究計劃項目(142400411076)

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