A-收斂與幾乎處處收斂

鮑玲鑫， 施慧華

(1. 福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院， 福建 福州 350002；2. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

A-收斂與幾乎處處收斂

鮑玲鑫1， 施慧華2

(1. 福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院， 福建 福州 350002；2. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

設(shè)A≡(ai)∞i=1?S+，其中,S+表示1單位球面上的所有正向量構(gòu)成的集合.Banach空間X中的序列(xn)稱為A-收斂于x∈X,是指對(duì)任意的ε>0，limi→∞ai，χA(ε)=0，其中,A(ε)={n∈N∶‖xn-x‖≥ε}.用兩種不同的收斂方式刻畫A-收斂，即證明對(duì)任意A≡(ai)∞i=1?S+，存在一個(gè)N上的理想IA,以及一族極端有限可加概率測(cè)度Pext(IA)，使A-收斂且理想IA-收斂和測(cè)度Pext(IA)-收斂互為等價(jià).此外，證明A-收斂為測(cè)度Pext(IA)-幾乎處處收斂的充分必要條件是該A-收斂為非退化的.

統(tǒng)計(jì)收斂； 理想收斂； 幾乎處處收斂； 極端測(cè)度； Banach空間.

1 A-收斂和理想收斂與極端測(cè)度收斂

注釋1 1) 若令定義中A=(ei)， 則A-收斂等價(jià)于經(jīng)典的序列收斂.

記MA={x*°χ(·)∶x*∈?pA(e)}，則文獻(xiàn)[9]證明了MA?P(N，2N)，其中，P(N，2N)表示定義在可測(cè)空間(N，2N)上所有有限可加概率測(cè)度構(gòu)成的集合.

若I?2N滿足:1) 任意A，B∈I，A∪B∈I；2) 任意的A∈I及B?A，B∈I，則稱I為N上的一個(gè)理想.如果理想I還滿足:I≠?(N?I，包含所有單點(diǎn)集)，則稱I為非平凡(真，統(tǒng)計(jì)型)理想.對(duì)于上述定義的連續(xù)半范數(shù)pA，令I(lǐng)A={A∈2N∶pA(χA)=0}，則容易驗(yàn)證IA為N上的一個(gè)非平凡的真理想.IA為統(tǒng)計(jì)型理想的充分必要條件參見文獻(xiàn)[9]的定理4.2.定義

設(shè)f是定義在X上的連續(xù)凸函數(shù)，則f在點(diǎn)x∈X的次微分映射?f(∶X→2X*)定義為

?f(x)={x*∈X*∶f(x+y)-f(x)≥x*，y，對(duì)任意的y∈X}.

性質(zhì)1是經(jīng)典的[10].

性質(zhì)1 設(shè)p是定義在X上連續(xù)的Minkowski泛函，則對(duì)任意給定x∈X，有1) ?f(x)是非空w*-緊凸集；2)x*∈?f(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x*≤p，且x*，x=p(x).

定理2 1) 對(duì)任意的A∈2N，pA(χA)=0，當(dāng)且僅當(dāng)qA(χA)=0.

2) 根據(jù)文獻(xiàn)[8]的引理2.9可知，qA(e)=dist(e，XIA)=1=‖e‖.另外，不難驗(yàn)證qA(x)≤‖x‖對(duì)一切x∈∞成立.根據(jù)性質(zhì)1中2)可知，?qA(e)??‖e‖.?‖e‖為文獻(xiàn)[9]中命題2.2的一部分.

基于此，只需找到一個(gè)x*∈?qA(e)使x*，x)=qA(x，便可以保證第一個(gè)“=”成立.對(duì)于上述在商空間∞/XIA中，利用Hahn-Banach定理可知，存在使‖‖=1，并且‖‖.根據(jù)經(jīng)典定理可知，存在唯一的使‖‖=‖x*‖及對(duì)所有的y∈∞成立.特別的，

再根據(jù)性質(zhì)1中2)可知，x*∈?qA(e).

對(duì)于第二個(gè)“=”，注意到性質(zhì)1中1)，?qA(e)是一個(gè)非空的w*-緊凸集.從而根據(jù)Krein-Milman定理得到第二個(gè)等號(hào)成立.

注釋2 由定理2中2)可知，?qA(e)°χ(·)??‖e‖°χ(·)=P(N，2N).定義

P(N，2N，IA)={μ∈P(N，2N)∶μ(A)=0對(duì)所有的A∈IA}.

根據(jù)定理2中1)，3)，在文獻(xiàn)[8]定理2.3的意義下，有P(N，2N，IA)??qA(e). 即有P(N，2N，IA)=?qA(e)°χ(·).

令Pext(N，2N，IA)=ext ?qA(e)°χ(·).下文中分別用P(IA)和Pext(IA)表示P(N，2N，IA)和Pext(N，2N，IA).

證明 1)?2) 即為定理1.

2)?3) 由性質(zhì)1，定理2以及IA的定義即可驗(yàn)證.

3)?4) 注意到注釋2的P(IA)??qA(e)即可得到.

4)?5) 只需利用定理2中3)即可驗(yàn)證.

2 A-收斂與幾乎處處收斂

作為文獻(xiàn)[12]定理1.5的特殊情形，有如下結(jié)論成立.

定理4 設(shè)x*∈?qA(e)，則x*∈ext ?qA(e)當(dāng)且僅當(dāng)x*為∞上的保正交不變的泛函，即對(duì)任意的x=(x(n))，y=(y(n))∈∞滿足:xy=(x(n)y(n))=0，x*，xy=0.

基于此，可以得到如下結(jié)論.

證明 設(shè)x*∈ext ?qA(e)，若x*，en=0對(duì)一切n∈N成立，則此時(shí)有若存在某個(gè)n0∈N使x*，en0≠0，根據(jù)定理4可知，x*，en0x*，χN{n0}=0.從而有x*，en0=1及x*，χN{n0}=0.如果x*∈1，且注意到定理2中2)，可得x*=en0.下面只需證明x*∈1.因?yàn)樗源嬖谡纸馄渲?∩P+及從而有

以及

注釋3 對(duì)任意的x*∈ext ?qA(e)，x*要么是純連續(xù)，要么是w*-序列連續(xù)的.從而對(duì)任意的μ∈Pext(IA)，μ要么是可數(shù)可加測(cè)度，要么是純有限可加測(cè)度.其中，相關(guān)概念與性質(zhì)可以參考文獻(xiàn)[13].

這里稱A-收斂為退化的原因是它等價(jià)于由有限個(gè)退化的測(cè)度定義的收斂.稱A∈2N為Pext(IA)-零測(cè)集是指對(duì)任意的μ∈Pext(IA)都有μ(A)=0.

注釋4 由定理3及定義3可知，序列(xn)?X為Pext(IA)-幾乎處處收斂于x總是意味著(xn)A-收斂于x.

下面給出A-收斂為幾乎處處收斂的一個(gè)充分必要條件.

證明 充分性是顯然的.因?yàn)槿绻鸄-收斂是退化的，根據(jù)定理5可知，存在有限個(gè)正整數(shù)A≡{n1，n2，…，nk}使Pext(IA)={en1°χ(·)，en2°χ(·)，…，enk°χ(·)}.對(duì)任意的x0∈X{0}，定義序列xn=x0，n∈A；=0，n∈NA.則不難驗(yàn)證，(xn)A-收斂于x0，但不會(huì)Pext(IA)-幾乎處處收斂于x0.這是一個(gè)矛盾.

往證必要性.設(shè)(xn)A-收斂于x，且令

C0={n∈N∶‖x0-x‖≥1}，Ck={n∈N∶2-k<‖xn-x‖≤2-(k-1)}，(k=1，2，…).

下面證明上述3個(gè)斷言.

1) 對(duì)任意i≥m0，都存在唯一的k(i)∈N，使mk(i)≤ik(i)時(shí)，j?Bk.故而

注意到i→∞時(shí)，k(i)→∞.根據(jù)定理2中1)，3)可知

pA(χB)=0=qA(χB)=sup{(x*，χB)∶x*∈ext ?qA(e)}.

即得到B為Pext(IA)-零測(cè)集.

推論1 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)收斂、A-統(tǒng)計(jì)收斂(包括lacunary-統(tǒng)計(jì)收斂和λ-統(tǒng)計(jì)收斂)在統(tǒng)計(jì)測(cè)度意義下都是幾乎處處收斂的.

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(責(zé)任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

OnA-Convergence and Almost Usual Convergence

BAO Lingxin1， SHI Huihua2

(1. School of Computer and Information， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， China； 2. School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)

statistical convergence； ideal convergence； almost usual convergence； extreme measures； Banach space

1000-5013(2015)06-0726-05

10.11830/ISSN.1000-5013.2015.06.0726

2015-04-03

鮑玲鑫(1982-)，男，講師，博士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)泛函分析、Banach空間幾何的研究.E-mail:bolingxmu@sina.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金專項(xiàng)數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11426064, 11426061)； 國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11401227, 11501108)； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01579)

O 177.2

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