含無窮遠點區域的柯西積分公式及其推廣

趙天玉，魏晶，陳忠　(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

含無窮遠點區域的柯西積分公式及其推廣

趙天玉，魏晶，陳忠(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

[摘要]柯西積分公式是復變函數論中的重要公式之一。首先用極限方法給出并證明了含無窮遠點區域的柯西積分公式;然后采取添加積分路徑的方式,將含無窮遠點區域轉化為有限區域研究,再取極限將有限區域擴展為含無窮遠點區域的方法,將含無窮遠點區域的柯西積分公式推廣到被積函數含多個極點的情況。計算實例表明,含無窮遠點區域的柯西積分公式及其推廣形式適用有效,方便積分的計算。

[關鍵詞]柯西積分公式;無窮遠點;極點

柯西積分公式是復變函數論中的重要公式之一,也是專家學者研究的熱點。文獻[1]給出了奇點在積分路徑上的柯西積分公式；文獻[2]給出了被積函數含多個極點的柯西積分公式；文獻[3]以高階導數公式和羅朗級數為工具，對被積函數有多個極點的柯西積分公式給出了一種新推廣，巧妙地避免了計算復雜的高階導數的情況。下面，筆者給出含無窮遠點區域的柯西積分公式，并將含無窮遠點區域的柯西積分公式推廣到被積函數含多個極點的情況。

1柯西積分公式

2解析函數在無窮遠點的性態

設f(z)在區域H:R<|z|<+∞(0≤R)內解析，那么無窮遠點z=∞稱為f(z)的孤立奇點。此時，f(z)在區域H內必可展成如下冪級數：

(1)

f(z)=F∞(z)+G∞(z)

(2)

特別是若f(z)在z=∞點有m級極點，則由文獻[5]知：

3含無窮遠點區域的柯西積分公式

(1)當z0∈D-時，取充分大的R>0，使得R-|z0|>E，作圓周CR:|z-z0|=R，將C包含在圓周內，則f(z)在以C與CR為邊界的區域內解析，由柯西積分公式得：

(3)

因為在CR上，z=z0+Reiθ(0≤θ≤2π)，|z|=|z0+Reiθ|≥R-|z0|>E，所以：

|f(z)-A|<ε

這時：

<ε

即：

在式(3)中令R→+∞，并移項整理得：

類似情況(1)的證明，令R→+∞，并移項整理得：

=0

4推廣形式

定理3設D為簡單閉曲線C所圍成的區域， C的外部區域為D-(含∞的區域)，函數f(z)在D-內除z1,z2,…,zn以及z=∞點外單值解析，在C上連續，在zj處有lj階極點，各極點的主要部分[3]分別是Gj(z),j=1,2,…,n。在z=∞點有l級極點，其主要部分是G∞(z)，則有：

證明(a)當z0∈D-時，取充分大的R>0，作圓周CR：|z|=R，將C與z0，z1，…,zn包含在圓周內。在以C與CR為邊界的區域B內，對f(z)應用文獻[3]推廣的柯西積分公式得：

(4)

又f(z)在R≤|z|<+∞內解析，故：

f(z)=F∞(z)+G∞(z)

(5)

應用柯西積分公式得：

(6)

在式(4)中令R→+∞，并結合式(5)和式(6)，移項整理得：

(b)若z0∈D,在以C與CR為邊界的區域B外，對f(z)應用文獻[3]推廣的柯西積分公式得：

(7)

當z0∈D-時：

=2πi[-f(z0)+G1(z0)+G∞(z0)]

當z0∈D時：

=2πi[G1(z0)+G∞(z0)]

5結語

首先，闡述了柯西積分公式與解析函數在無窮遠點的性態，給出了解析函數在無窮遠點鄰域內的洛朗級數，為論文的后續工作奠定了基礎；其次，用極限方法給出了含無窮遠點區域的柯西積分公式，豐富了柯西積分公式的內容；在此基礎上，采取添加積分路徑的方式，將含無窮遠點區域轉化為有限區域研究，再取極限將有限區域擴展為含無窮遠點區域的方法，最后將含無窮遠點區域的柯西積分公式推廣到被積函數含多個極點的情況。2個計算實例表明，含無窮遠點區域的柯西積分公式及其推廣形式適用有效，方便積分的計算，希望該研究能對正在學習復變函數的讀者有所啟迪。

[參考文獻]

[1]朱茱，劉敏.在積分路徑C上的柯西積分公式[J].阜陽師范大學學院學報(自然科學版)2004，21(4)：60～63.

[2] 劉志宏.柯西積分公式的推廣 [J] . 高師理科學刊，2012，32(1)： 14～16.

[3] 吳立鶴，趙天玉，陳忠.柯西積分公式的一種新的推廣形式 [J].長江大學學報(自科版)， 2015，12(4)：11～14.

[4] 余家榮.復變函數[M].北京：人民教育出版社，1979.

[5] 馬柏林，李丹衡，晏華輝.復變函數與積分變換(修訂版)[M].上海：復旦大學出版社，2007.

[6] 鐘玉泉.復變函數論[M].第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[編輯]洪云飛

[引著格式]趙天玉，魏晶，陳忠.含無窮遠點區域的柯西積分公式及其推廣[J].長江大學學報(自科版)，2015,12(28)：1~4.

[中圖分類號]O174.5

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2015)28-0001-04

[作者簡介]趙天玉(1958-)，男，碩士，教授，現主要從事數學方面的教學與研究工作；E-mail:zty@yangtzeu.edu.cn。

[基金項目]國家自然科學基金項目(11201039，61273179)；長江大學教學研究項目(JY2013026)。

[收稿日期]2015-06-26