基于小波基的非線性拋物型系統模型預測控制

艾嶺

（1.哈爾濱理工大學自動化學院，黑龍江哈爾濱 150080; 2.哈爾濱理工大學測控技術與儀器黑龍江省高校重點實驗室，黑龍江哈爾濱 150080）

基于小波基的非線性拋物型系統模型預測控制

艾嶺1，2

（1.哈爾濱理工大學自動化學院，黑龍江哈爾濱 150080; 2.哈爾濱理工大學測控技術與儀器黑龍江省高校重點實驗室，黑龍江哈爾濱 150080）

針對一類由非線性拋物型描述的分布參數系統，研究了一種基于小波分解的模型降階和預測控制方法。利用小波配點方法，分別將一階和二階空間偏導數投影到擬Shannon小波基上，不需要求解系統的主導極點，得到系統的低階常微分方程逼近模型;采用前向Eular方法離散化時間變量，將得到的差分方程組模型作為系統的預測模型，選擇標準二次優化性能指標，設計相應的非線性預測控制器;將此方法應用到由一個放置在反應器中的細長催化棒組成的傳輸－反應系統的溫度場控制問題中，取得了滿意的控制效果。

非線性拋物型系統;小波基;模型預測控制;棒式反應器;溫度場控制

0 引言

目前，對于廣泛存在于流體流動［1］、熱傳導［2－3］、空間分布化學反應［4－6］、柔性梁臂［7］等實際對象中的分布參數系統及其控制問題越來越受到學者和工程師的重視，已產生了許多可應用的模型逼近［8－9］和控制方法［10－11］。針對拋物型系統［12］，一般采用（經驗）主導基函數作為系統的空間基函數，將拋物型系統模型降階為有限的常微分方程組進行處理［13］。由于需要首先求解主導基函數且采用的基函數是全局的，所以無法體現系統的局部特性，而擇傅里葉級數［14］或其它正交多項式，如正交小波函數［15］，它可以描述系統局部特性，空間基函數不依賴于對象特性，轉換矩陣具有稀疏性，是一種理想的基函數。

預測控制是基于模型的先進控制算法［16］，經過30多年的發展，已經成功應用在線性和非線性集中參數系統中［17］，將其應用到分布參數系統是一種必然趨勢。目前，已有學者對其進行研究并得到了有益的結果，將預測控制成功應用到分布參數系統的關鍵問題是找到描述分布參數系統的預測模型，而利用逼近模型轉化為預測模型成為一個合理的思路。丁斗章等［18］應用Haar正交小波對分布參數系統進行逼近，提出了一種基于小波正交逼近的分布參數系統預測控制方法，獲得了滿意的效果。

本文選擇擬Shannon小波尺度函數作為空間基函數，避免了Harr小波僅有一階消失矩不適合逼近光滑函數和Shannon小波不具有緊支撐性的問題。基于小波配點法思想，應用離散化后的降階模型作為預測模型，設計非線性預測控制器，并應用到一個棒式反應器溫度控制問題中，說明所提算法的有效性。

1 問題描述

考慮一類拋物型系統的狀態空間描述為［11］

具有如下形式邊界條件，即

初始條件為

其中:X（x，t）=［X1（x，t）…Xn（x，t）］T表示狀態向量，X（x，t）∈Hn［（α，β），Rn］;X0（x）∈Hn［（α，β），Rn］，Hn［（α，β），Rn］是定義在［α，β］區間上的n階空間微分算子可積的無限維Hilbert空間，x∈［α，β］?R和t∈［0，∞）分別代表空間位置變量和時間變量;U（x，t）代表控制變量;y（x，t）代表輸出變量;?z2為空間微分算子;F（X）為關于X（x，t）的光滑函數; C、C1、C2、D1、D2、R1、R2為常值矩陣。

假設輸出的測量點數量為2J+1，并且平均分布在區間［α，β］上，其中J為分解尺度，有界輸入變量，設系統具有輸入輸出約束可表示為

其中:Umin，Umax分別表示U（x，t）的下限和上限; ymin，ymax分別表示y（x，t）的下限和上限。

2 預測模型

應用時空分解理論［8］，將系統（1）中的時空變量展開的形式為

其中:Xj（xn，t）表示函數在點xn和時間t上的值，j表示小波尺度函數的層數;空間基函數選取擬Shannon小波尺度函數為［19］

一階和二階導數值分別如圖1和圖2所示。采用Eular前向差分法對時間偏導數進行離散，令Xj（xn，t）=Xj（xn，iΔt），i=1，2，…，則

將式（3）、式（4）和式（5）代入式（1）可得

圖1 擬Shannon尺度函數在區間［0，1］的一階導數值Fig.1The first derivative of quasi-Shannon scaling function on the interval［0，1］

圖2 擬Shannon尺度函數在區間［0，1］的二階導數值Fig.2The second derivative of quasi－Shannon scaling function on the interval［0，1］

3 控制器設計

為了快速而平滑地得到系統設定值，定義參考軌跡為［20］

下面給出基于小波基的非線性預測控制算法。

算法1設計系統（1）在每一個采樣時刻i=0，1，2，…的非線性預測控制器，分為4個步驟:

step1按式（10）定義系統最優參考軌跡;

step3求解關于U（·）∈UM（X（x，i））的最優控制問題，即

其中，P和M分別代表預測時域和控制時域;Q和R分別表示與受控變量的預測偏差相乘的權系數和與未來第i個控制變量相乘的權重對角矩陣;Umin和Umax分別表示的下限和上限。采用SQP算法對上述優化問題進行實時求解。

4 數值算例

考慮一個放置在反應器中的細長催化棒組成的傳輸－反應系統［21］，如圖3所示。

將物質A充進反應器入口，在催化棒上發生零階放熱催化反應為

由于反應放熱，需要在催化棒周圍放置冷卻介質對系統進行冷卻。

假設催化棒的密度、導熱系數、比熱和兩端的溫度均為常數，物質A在反應過程中是充足的。在這些假設下，催化棒一維無量綱溫度場分布可由拋物型偏微分方程描述，即

βT，γ，βU分別表示反應熱、活化能、導熱系數，假設系統輸出測量位置平均分布在軸向上，共有R= 2J+1個溫度傳感器，即

圖3 催化棒示意圖Fig.3Sketch map of catalytic rod

為了得到系統的真實值，應用有限差分法對系統進行求解，由于系統為一維拋物型系統，可以選擇Matlab偏微分方程工具箱求解系統真實值。

取R=2J+1=24+1=17，利用式（3）、式（4）和式（5）得到系統（14）的P步向前預測值為

假設系統不存在控制約束，選擇性能指標函數為

這里，P為預測時域，m為控制時域，分別取P=3，m=1，Q和R為權矩陣，Q=1 000×diag（1，…，1），R=diag（1，1），diag（·）為對角陣。

圖4～圖7分別給出了系統的控制變量、輸出響應、不同位置的輸出變化和空間穩態誤差曲線，從仿真結果可以看出，本文所設計的控制器能夠快速地（大概在0.2時間單位后）到達平衡狀態（ˉxss= 0），并且能夠將系統的空間穩態誤差在±0.01之間。

圖4 控制器控制變量Fig.4Control variables

圖5 輸出響應Fig.5Curve of output response

圖6 不同位置的輸出變化情況比較Fig.6Comparison of outputs at different locations

圖7 穩態誤差曲線Fig.7Curve of steady state errors

5 結論

針對參數化模型描述的非線性拋物型系統，利用小波配點法，選擇擬Shannon小波尺度函數的一階和二階導數近似表示系統時空變量的空間偏導數，再利用前向Eular法離散化時間維常微分方程組，得到自回歸差分方程組作為系統的預測模型，將控制問題轉化為配置點上的預測控制問題，采用序列二次規劃算法（SQP）在線求解滾動優化問題，將所提算法應用到棒式反應器的溫度場控制問題中，取得了滿意的控制效果。

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（編輯:張詩閣）

Model predictive control for nonlinear parabolic system using wavelet base

AI Ling1，2
（1.School of Automation，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China;
2.The Higher Educational Key Laboratory for Measuring＆Control Technology and Instrumentations of Heilongjiang Province，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

For a class of nonlinear parabolic distributed parameter systems，model reduction and predictive control method were investigated.First，the first order and second order spatial partial derivative were projected to quasi-Shannon wavelet using wavelet collocation method respectively，eliminating the need of knowledge of solution of dominant pole of the system.The correspondent lower order model was obtained.A group of ordinary differential equations obtained through Eular’s discretizing time variable was selected as the predictive model of the system，standard quadratic optimization performance index was selected，and the corresponding nonlinear predictive controller was designed.This method was applied to the transfer-reaction system of catalytic rod，and simulation results indicate that the proposed method meets the requirements of system control.

nonlinear parabolic system;wavelet base;model predictive control;catalytic rod;temperature field control

10.15938/j.emc.2015.01.013

TP 273

A

1007－449X（2014）11－0090－06

2014－01－20

國家自然科學基金（61074127）

艾嶺（1982—），男，博士，研究方向為分布參數系統，預測控制等。

艾嶺