論初中平面幾何教學中的演繹與歸納

張善斌

（吉林省通化市職業教育中心 吉林通化134001）

論初中平面幾何教學中的演繹與歸納

張善斌

（吉林省通化市職業教育中心 吉林通化134001）

歸納方法和和演繹方法的訓練在幾何教學中的平衡問題是中學平面幾何教學中的關鍵問題，在我國近現代中學數學教學中曾歷經多次反復--或過于強調歸納下的探索發現而忽視演繹法，或過于強調演繹推理訓練而忽視探索發現。本文對現有的幾何教育思想進行了梳理和總結，并以此為指導，研究了我國中學平面幾何教學中歸納和演繹的平衡問題。

中學平面幾何教學 演繹 歸納 朱德祥 幾何教育思想

一、引言

目前我國中學平面幾何教學中有一個尚未解決的問題是歸納基礎上的探索發現訓練和演繹推理的訓練不能很好平衡，長期以來中學平面幾何教學只重視演繹推理訓練而忽視歸納推理訓練［1］，直到九年義務教育課程標準才開始重視歸納推理訓練，但又有矯枉過正的危險。本文以九年義務教育課程標準平面幾何部分為例，研究了中學平面幾何教學中歸納和演繹的平衡問題，對于兩者在實際教學中的平衡給出我們見解和教學建議，同時也為新課程標準的落實和進一步的研究提供富有啟發性的參考。

二、幾何教學思想綜述

幾何是數學的一個重要分支，本身發展歷史悠久。徐光啟等人較早認識到平面幾何教學對于彌補中華文化中缺少演繹方法這一缺陷的作用［2］，所以平面幾何教學在較長時期一直承擔著演繹推理訓練的任務。上世紀80年代重新提出幾何證明，但并未在那時全面恢復教授演繹系統，此時如何將幾何證明與其它問題連結起來尚待深思；到1990年之數學課程，又提出了空間想象力這一塊，中學加入了一些新的課題、如幾何變換對稱。20世紀下半葉以來，中國大陸的數學教育在學習外國教育經驗的基礎上，不斷強化改進，目前中國也許是保存歐式幾何體系完整的少數國家之一。雖然近年來幾何的占分比例不斷下降，幾何代數化的傾向越趨明顯，但尚未威脅到本身的獨立存在。日前，革新的數學教材正在編寫，幾何學將會是一個需要慎重對待的問題。

目前的幾何知識體系，既具有演繹的科學品質，也提供有效而優美的邏輯范式。有人認為歸納原理是原始的，非科學的，只有演繹推理才是合于科學工作的思想方式。簡括地說，歸納法是從觀察到的特殊事例推出一般性質、關系或法則的過程。相反地，演繹法是從議論一開始我們所承認的一般原理得出特殊結論的推理過程。其實歸納和演繹，各有功績但同時兼具缺陷，單獨運用都不足以支持真正的科學進展。歸納法缺點在于無論我們做了多少正確的觀察，只要一切可能的實例沒有考察到，便得不出準確無疑的一般結論。

此外，承認實際所做的觀測都是完全準確做到的這個假設，往往是錯的，因而在許多場合，并沒有完全的準確性作為一般結論的基礎。而對于演繹法，其本身既不能提供出所要證的結果，也不能提供展開一個證明所開始出發的命題。沒有歸納法，演繹法只能閑著等著東西來證明。沒有演繹法，歸納法總是不能自我肯定。抓好中學數學教育，是關系到社會主義物質文明和精神文明的大事。

中學數學教育，除了使廣大學生掌握必要的數學知識外，更要特別注意培養學生的幾何直觀能力、邏輯思維能力和計算能力［3］。為學生進一步學習高等數學，學習其他學科技術或直接就業打下良好基礎。

三、數學課程平面幾何教學平衡分析

義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調學生從已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

新課改之后，九年義務教育演繹幾何部分在每個學段所占的比重并不多，但其中歸納部分則是占了很大的比重。通過上文綜述我們得知歸納和演繹是相輔相成的，二者缺一不可。目前新課改中演繹和歸納的搭配是不合理的，過于強調歸納下的探索發現而忽視演繹法。因此后續修改演繹幾何部分還有待加強。

在實際教學中，中學數學教師在中學及大學學到的演繹幾何內容非常有限，他們對整個歐幾里得的幾何公理系統的由來、結構、發展與改良，所知也極為有限［4］。要讓學生們理解公理系統，有效的教授演繹幾何，老師就必須掌握公理與定理之間的微妙關系，當中的來龍去脈，要知道得一清二楚。

現在的中學數學教師，過分依賴教科書的鋪排，對如何由直觀過渡到嚴謹的學習內容的鋪排，并沒有很周詳的考慮。教師很多時候不愿意把課時用在幾何尺規作圖，以及訓練學生的邏輯表達上，須知證明的很多基本思想均源自幾何作圖的經歷，論證的嚴謹與周詳與否，正是學生的邏輯思維是否成熟，要有成功的演繹幾何教學，這兩方面的學習，缺一不可。

四、結論

筆者認為，可以在每年的國培計劃中對脫產置換出來的教師講授這方面的內容，這樣既能在課堂有效的教授演繹幾何，使得演繹部分和歸納部分達到平衡。學生在開始學習傳統的演繹幾何時，對公理系統的作用，往往了解不深，就連什么是基礎或基本的假設，什么是定理的內容和結論，亦容易混亂。演繹幾何的論證有其特有的表達方式，它是嚴謹的，其所表達的邏輯思想，也自成體系，學習這種獨特的論證，就如學習一種獨特的語言一樣，必須多加嘗試，放能讓學生掌握大概。

［1］蔣省吾、秦炳強，憶朱德祥教授，朱德祥執教五十五周年文集［C］，西南師范大學出版社，唐家祥、李長明主編，1991年，158-162.

［2］謝明初，全球化背景下的數學課程改革，數學傳播［J］，1999年9月，34（2），82-90.

［3］熊民福，徐紹珍，學教初等幾何研究的幾點體會，朱德祥執教五十五周年文集［C］，西南師范大學出版社，唐家祥、李長明主編，1991年11月第一版，92-98.

［4］張景中，幾何新方法和新體系［M］，科學出版社，2009年8月第一版，167-173.