題盡教方始
——從一道習(xí)題的糾錯(cuò)談起

葛琳玲

（浙江省寧波市鄞州區(qū)橫街中學(xué) 浙江寧波 315000）

題盡教方始
——從一道習(xí)題的糾錯(cuò)談起

葛琳玲

（浙江省寧波市鄞州區(qū)橫街中學(xué) 浙江寧波 315000）

數(shù)學(xué)課不僅要進(jìn)行知識的傳授，更要重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).而思維永遠(yuǎn)是從問題開始的.課堂之上如果只是就題論題，不給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的機(jī)會，那么如何能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？筆者認(rèn)為，在講解習(xí)題時(shí)要充分挖掘其潛在的數(shù)學(xué)價(jià)值，并讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)去提問去探究.因此當(dāng)貌似解答完一個(gè)習(xí)題時(shí)往往是真正探究才剛剛開始之時(shí).下面筆者就從一道習(xí)題的糾錯(cuò)談起。

⒈習(xí)題呈現(xiàn)

習(xí)題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊.當(dāng)時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）.

⑶當(dāng) a=2，b=4時(shí)，判斷△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的 c的取值范圍.

⒉在糾錯(cuò)中探究正解

易得此題中前兩小題的正解：

但對于第⑶小題的解法卻是五花八門，因此課堂上師生共同在糾錯(cuò)中探究正解.

生：這種解法明顯是錯(cuò)誤的，因?yàn)闆]有考慮三角形的存在性問題.比如當(dāng)c=1時(shí)， 滿足條件但此時(shí)△ABC并不存在，更談不上是銳角三角形了.

師：你分析得太對了，還舉反例進(jìn)行說明，很好！那么要使得△ABC存在，c要滿足什么條件？

師：對這種解法，大家有什么不同的看法嗎？

生：此解法忽略了“c為最長邊”這一條件，c的取值范圍是 4

生：當(dāng)c=b=4時(shí)也滿足“c為最長邊”這一條件，所以c的正確取值范圍是

⒊在變式中悟出通徑

師：如果把題設(shè)中的“c為最長邊”去掉，那么第⑶小題的結(jié)論會發(fā)生怎樣地變化呢？現(xiàn)請同學(xué)們分小組探究一下，充分發(fā)揮你們的數(shù)學(xué)才能，每組爭取匯總一個(gè)合理的結(jié)論.

……

小組結(jié)論1：由之前的探究過程知：當(dāng)c為最長邊時(shí) c的取值范圍是①當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)，△ABC是直角三角形；②當(dāng)時(shí)，△ABC是銳角三角形；③當(dāng)時(shí)，△ABC是鈍角三角形.

因此只要再考慮當(dāng)c不是最長邊時(shí)的情況即可.當(dāng)c不是最長邊時(shí)，只能 4是最長邊，因此①當(dāng)時(shí)此時(shí)△ABC是直角三角形；②當(dāng)時(shí)，△ABC是銳角三角形；③當(dāng)時(shí)，△ABC是鈍角三角形.

小組結(jié)論2：在結(jié)論1的基礎(chǔ)上，我們還可以把結(jié)論整合一下，發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)即或時(shí)，△ABC是直角三角形；②當(dāng)時(shí)，△ABC是銳角三角形；③當(dāng)或時(shí)，△ABC是鈍角三角形.

師：太厲害了！在同學(xué)們的通力合作探究下，最終得到了一個(gè)完美的結(jié)論，如果用字母來表示這個(gè)結(jié)論，那么就能得到解決此類問題的通法.

被告:The first，that Opupa,send the phone number to Nigeria to prosecute.(首先，那個(gè)Opupa,把電話號碼送回尼日利亞去起訴。)

⒋在驗(yàn)證中追求完美

師：到這里我們不僅成功地解答了第（3）小題，而且還深入探究得到了解決此類問題的通性通法.那么此題對我們來說還有繼續(xù)探究的價(jià)值嗎？

……

生：老師，我們不僅要知其然，更要知其所以然！第（3）小題的探究都是基于第（2）小題的猜想才能成立.那么如何驗(yàn)證第（2小題的猜想呢？

師：你真是太棒了！“疑是知之始”，提出問題往往比解決問題更為重要！你提出了一個(gè)很有價(jià)值的問題！為更完美地探究此題指明了方向.接下去我們就來嘗試驗(yàn)證此猜想，不妨先來證明“三邊長分別為6，8，11的三角形是鈍角三角形”這一結(jié)論.

……

生：如圖△ABC中BC=6，AC=8，AB=11，過點(diǎn) A作 BC邊上的高線交直線 BC于點(diǎn)H.在Rt△ABH中在Rt△ACH中則解得所以△ABC是鈍角三角形.

生：我有不同看法.這樣做已經(jīng)在圖形上默認(rèn)是一個(gè)鈍角三角形了，因?yàn)楦呔€畫在三角形外面，也許高線可以在三角形里面呢？因此除了上述情況，我認(rèn)為還有一種情況也要加以討論.如圖△ABC中 BC=6，AC=8，AB=11，過點(diǎn) A作 BC邊上的高線交直線BC于點(diǎn)H.在Rt△ABH中在Rt△ACH中則解得所以此種情況排除.綜上所述，△ABC是鈍角三角形

師：你們的思維真敏捷！考慮問題也很細(xì)致全面！除了這種證明方法，以后我們在高中時(shí)還會學(xué)到余弦定理，用余弦定理同樣可以證明“三邊長分別為 6，8，11的三角形是鈍角三角形”這一結(jié)論.同理，任意給出一個(gè)三角形，只要知道它的三邊長度就可以判定它的形狀.

師：我們在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，千萬不能就題論題，而是要充分挖掘它潛在的數(shù)學(xué)功能，善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于提出問題，并能在解決新的問題的過程中通過與他人合作交流提高自己分析和解決問題的能力.

結(jié)束語：

《課標(biāo)》要求學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.