函數、方程、不等式的關系

萬里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

函數、方程、不等式的關系

萬里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

我們學習方程、函數、不等式已經有很長時間了，我們知道函數關系是指某個變化過程中兩個變量具有某種對應關系，方程是有已知量和未知量構成，不等式……。他們之間存在區別又有聯系。方程表述實際問題中數量相等關系，不等式表述數量不等關系，函數表述數量之間相等的關系。本文主要說明了一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式的關系

函數 方程 不等式 綜合運用

1.一次函數與一次方程之間的關系

函數、方程、不等式的學習是貫穿我們整個初中和高中的教學的，地位尤為重要，這三個知識點也同樣是中考、高考中的重頭戲。在很多同學學習這三個知識點的時候，把這三者當成相互獨立的知識點來學習，這是不對的。其實三者之間的關系特別密切，三者之間也是可以進行相互轉換的，若能熟練的掌握三者之間的關系，對我們提高做題的效率是大有裨益的。下面我們首先來看函數與方程的關系。

我們知道一次函數的一般形式為：y=ax+b（a≠0），函數的圖像是一條直線。根據我們以前學過的知識，我們知道，x是自變量，所表示的是橫坐標；y叫做因變量，也可以叫做函數值，對應的是圖像上任意點的縱坐標。如果令y=0，上面的解析式也就變成了ax+b=0，也就是一個一元一次方程了。我們可以從兩個方面來理解這個問題：

1.從函數值的角度出發：求ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的解就相當于求x為何值時，y=ax+b的值為0。

2.從函數圖像上來看：求ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的解就相當于函數y=ax+b與x軸的交點。

舉例說明如下：

我們先來看一個簡單的一元一次函數：y=x+1

我們舉的例子是一個典型的一次函數，圖像會是一條直線，在x軸上的截距為-1，在y軸上的截距為1，與x軸的交點為（-1，0）。則y=x+1與x軸的交點（-1，0）就是方程x+1=0的解。下面我們再來看一個實際應用的例子：

例1一個物體現在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再過幾秒它的速度為17m/s？（要求用兩種方法解題）

解法一：從方程的觀點來解題

設再過x秒物體的速度為17m/s。列方程

解得x=6

解法二：速度y（單位：m/s）是時間x（單位：s）的函數

由 2x+5=17

得2x-12=

由圖像看出直線y=2x？12與x軸的交點為（6，0），得x=6.

2.一次函數與一元一次不等式的關系

我們知道，所有的一次不等式全部可以變形為ax+b＞0或者ax+b＜0的形式，我們換一種想法，我們可以把解這個不等式看作是函數y=ax+b的函數值大于0或者小于0的形式，進而我們就可以從函數的圖像上，直接看出不等式的解，可能大家會覺得這樣做的意義不大。確實，在一次函數與不等式中，利用函數圖像解不等式的優勢并不是很明顯，但是到二次不等式乃至高次不等式，這種思想就變得尤為關鍵。

舉一個簡單的例子：我們想解不等式-2x+3＞0，利用函數的思想，要先設出一個函數y=-2x+3

如果我們畫出函數圖像，可以直接觀察到，在x＞3/2函數值大于0，所以不等式-2x+3＞0的解為｛x│x＞3/2｝。

例2、某公司經營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進價12萬元，售價14.5萬元；每件乙種商品進價8萬元，售價lO萬元，且它們的進價和售價始終不變.現準備購進甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元.

（1）該公司有哪幾種進貨方案？

（2）該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3）若用（2）中所求得的利潤再次進貨，請直接寫出獲得最大利潤的進貨方案.

【解】：（1）設購進甲種商品茗件，乙種商品（20-x）件.

190≤12x+8（20-x）≤200 解得7.5≤x≤10.

∵x為非負整數，∴x取8，9，lO

有三種進貨方案：購甲種商品8件，乙種商品12件

購甲種商品9件，乙種商品ll件

購甲種商品lO件，乙種商品10件

（2）購甲種商品10件，乙種商品10件時，可獲得最大利潤

最大利潤是45萬元

（3）購甲種商品l件，乙種商品4件時，可獲得最大利潤

【說明】列不等式（組）解決實際問題與列方程（組）解決實際問題的步驟、方法基本類似，可類比復習.在運用不等式（組）解決實際問題時，關鍵分析問題中的數量關系，特別注意抓住問題中的關鍵字，如“不超過”、“至少”等.找出不等關系，從而列出不等式.

3.二次函數與一元二次不等式的關系

在學習一元二次不等式的時候，許多同學感到比較費勁，老師上課講的方法只能死記硬背，不好理解。其實咱們只要換一種想法，類似一次函數與一次不等式之間的關系一樣，把二次不等式和二次函數聯系起來，那么所有的問題都會迎刃而解。

假設我們要解這樣的一個不等式：-x2+2x+3＞0-x2，我們第一步需要做的還是要設出一個函數y=-x2+2x+3

通過圖像我們可以看出，當x＜-1和x＞3時，函數值小于0。-1＜x＜3時函數值大于0。所以相對應不等式的解就應該是｛x│-1＜x＜3｝。

我們上面舉的例子只是其中的一種情況，二次函數與不等式結合的類型題主要類型題有以下幾種：

一、利用不等式的性質，轉化我們要求的未知量

例3已知函數f（x）=ax2bx+c（a，b，c∈R），當x∈［-1，1］時│f（x）│≤1，求證：

；（1）│b│≤1

（2）若g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R）則當x∈［-1，1］時，求證：│g（x）│≤2。

思路分析：我們并不能直接的求出a，b，c的值，然而，值得我們注意的是：題目要求我們做的也并不是求b或g（x）的確定值，而是讓我們算出取值范圍，正因為這樣原因，我們可以把用f（-1）、f（0）、f（1）來表示a，b，c。

證明：（1）由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，從而有

由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，a+c=1/2［f（1）+f（-1）］，c=f（0），從而a=1/2［f（1）+f（-1）］-f（0）

將以上三式代入g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R），并整理得

總結

在當前的教學中，函數與方程、不等式的結合越來越多，同樣在高考中所占的比重也越來越大，通過統計每年的高考試題數據，我們不難發現在每次的考試中，函數轉換方程、不等式的思想遍布各個題型中。但是現在，大部分師生對這部分的研究較少，即使研究了，也是比較片面的，沒有將三者有機的結合起來，形成連貫的知識體系。隨著數學教學改革的深入，教師應該在日常的教學中注重培養學生函數與方程思想這一方面的能力，以提高學生的做題效率，培養學生的數學思維。