三角形全等錯解剖析

□李慶社

三角形全等錯解剖析

□李慶社

全等三角形的判定和性質及其應用是初中幾何的重點內容之一，也是中考所要考查的重要內容.同學們由于對概念、判定、性質的理解不清楚或對問題的考慮不周密，往往會出現各種錯誤.

一、利用對應邊和對應角說明全等

例1如圖1①所示，若△ABC中的∠A=30°，∠B=70°，AC=17cm，如圖1②所示，若△DEF的∠D= 70°，∠E=80°，DE=17cm，那么△ABC與△DEF全等嗎？為什么？

錯解：△ABC與△DEF全等.

在△DEF中，

因為∠D=70°，∠E=80°，

所以∠F=180°-∠D-∠E

=180°-70°-80°=30°.

在△ABC中，

因為∠A=30°，∠B=70°，

所以∠A=∠F，∠B=∠D.

又因為AC=17cm，DE=17cm，

所以AC=DE.

在△ABC與△DEF中，

∴△ABC≌△DEF.

圖1①

圖1②

分析：AC是∠B的對邊，DE是∠F的對邊，而∠B≠∠F，所以這兩個三角形不全等.

正解：△ABC與△DEF不全等.因為相等的兩邊不是相等的兩角的對邊，不符合全等三角形的識別法.

二、利用三個角對應相等說明全等

例2如圖2，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E為AC和BD的交點.△ADB與△BCA全等嗎？說說理由.

圖2

錯解：△ADB≌△BCA.

所以△CBE≌△DAE（AAA）.

分析：兩個三角形全等是對的，但說明的理由不正確.三個角對應相等不能作為三角形全等的識別方法.因為三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

正解：△CAB≌△DBA.

所以△CAB≌△DBA（AAS）.

三、利用兩邊及一角對應相等說明全等

例3如圖3，已知△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，且CD=BE，△ADC與△AEB全等嗎？說說理由.

圖3

錯解：△ADC≌△AEB.

所以△ADC≌△AEB（SSA）.

分析：把SSA作為三角形全等的判別方法不正確.SSA不能作為三角形全等的識別條件.因為兩邊及一角對應相等的兩個三角形不一定全等.

正解：△ADC≌△AEB.

因為AB=AC，D、E為AB、AC的中點，所以AD=AE.

在△ADC和△AEB中，

所以△ADC≌△AEB（SSS）.

四、利用部分當整體說明全等

例4如圖4，已知AB=AC，BD=CE，試說明△ABE與△ACD全等的理由.

圖4

錯解：因為AB=AC，

所以∠B=∠C.

在△ABE和△ACD中，

所以△ABE≌△ACD（SAS）.

分析：錯把三角形邊上的一部分當作說明的條件，這不符合三角形全等的識別方法.

正解：△ABE與△ACD全等.

因為AB=AC，

所以∠B=∠C，

因為BD=CE，

所以BD+DE=CE+DE，

即BE=CD.

在△ABE和△ACD中，

所以△ABC≌△ACF（SAS）.

五、利用減法運算說明全等

例5如圖5，已知AC、BD相交于點O，∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，AD=BC.試說明△AOD≌△BOC.

錯解：在△ADC和△BCD中，

所以△ADC≌△BCD（AAS），

所以△ADC-△DOC

=△BCD-△DOC，

即△A0D≌△B0C.

分析：錯將等式的性質盲目地用到三角形全等中，實際上，三角形全等是不能根據等式的性質說明的.

正解：在△ADO和△BCD中，

所以△AOD≌△BOC（AAS）.

六、將圖形的直觀印象視為條件參與證明

例6如圖6，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD，DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足為E、F.求證：BE=CF.

圖6

錯解一：認為DE=DF，并以此為條件.

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

因為DE=DF，BD=CD，

所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

所以BE=CF（全等三角形的對應邊相等）.

錯解二：認為AD⊥BC，并以此為條件，證明△ABD≌△ACD，得AB= AC.再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF，從而得到BE=CF.

分析：錯解一中認為DE=DF，并直接作為條件應用，因而產生錯誤；錯解二中，認為AD⊥BC，沒有經過推理，而直接作為條件應用，因而也產生錯誤.產生上述錯誤的原因是審題不清，沒有根據題設，結合圖形找證題方法，推論過程不符合全等的判定方法.

正解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS）.

∴DE=DF（全等三角形的對應邊相等）.

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

七、觀察圖形出現重復或遺漏

例7如圖7所示，在等邊△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、CA上一點（不是中點），且AD=BE=CF，圖中全等三角形對數為（）.

A.5對B.6對

C.12對D.15對

圖7

錯解：A.

分析：全等三角形共有15對，分別是：△ABE≌△BCF≌△CAD，△ABH≌△BCN≌△CAG，△ADG≌△BEH≌△CFN，△AEC≌△BFA≌△CDB，△AHF≌△BND≌△CGE.其中每一組都是3對全等三角形.

正解：D.