具有時延及聯合連通拓撲的多飛行器分布式協同編隊飛行控制研究

薛瑞彬，宋建梅，張民強

(北京理工大學 宇航學院，北京100081)

0 引言

近年來，隨著計算機控制、傳感器、通信網絡等各項技術的發展，多飛行器協同控制的應用越來越廣泛，特別是在執行戰場偵察、多目標攻擊、環境監測、地震救援等復雜任務時，多飛行器的編隊協同控制具有執行任務效率高、燃料消耗低、魯棒性強、靈活性大等單個飛行器所無法比擬的優勢［1-2］。因此，多飛行器編隊飛行控制已成為飛行器領域的熱點之一。

早期，典型的編隊協同控制方法大致可以分為主從式、基于行為型以及虛結構/虛擬領導者等3 類［3］。其中主從式結構的研究成果較多［4］。主從式編隊是一種“長機-僚機”編隊模式，長機按預定軌跡飛行，僚機跟隨長機以固定的編隊結構一起飛行，此方法易于理解和實現，但是魯棒性較弱，一旦長機出現故障，則整個編隊控制失敗。本文擬基于近些年發展起來的一致性理論開展編隊飛行控制研究。

在基于一致性協議的編隊協同控制中，智能體利用鄰居智能體的狀態信息來進行自身狀態的控制，并最終使整個編隊達到期望的狀態，是一種分布式的編隊控制，具有較強的魯棒性和靈活性，自組織與重構能力突出，因此基于一致性理論的編隊控制是目前協同控制領域研究的熱點之一。早期的基于一致性理論的分布式編隊控制研究，大都假設每個智能體的運動特性是一個簡單的1 階積分環節，控制量為速度［5-6］。由于2 階模型更加接近實際系統，目前很多文獻針對2 階系統模型開展了基于一致性協議的分布式編隊控制研究［7-12］。Hong 等［7］在文獻［5］基礎上，針對通信拓撲為聯合連通情況，基于Lyapunov 穩定性理論進行了多智能體系統的聚集問題研究，控制目標是使編隊系統中各飛行器的位置最終趨于一致、速度趨于0，但文獻并沒有考慮系統通信時延的影響。Ren 等［8］針對兩種網絡拓撲情況(一種是通訊拓撲圖中包含一棵生成樹的固定網絡拓撲;另一種是子拓撲圖均包含一棵生成樹的切換拓撲)開展了一致性協議研究，并最終得到系統收斂的充分條件，但也沒有考慮系統時延的影響。當系統中存在通信時延且網絡拓撲圖為強連通的平衡圖時，Lin 等［9］在文獻［8］基礎上，給出了系統收斂到一致狀態的充分條件。Lin 等［10］在文獻［6］基礎上，針對通訊拓撲為聯合連通的2 階系統，并且系統中存在通信時延時，開展了平均一致性問題的研究，控制目標是使多智能體系統聚集到初始位置信息的平均值處，且最終速度為0.

近幾年，很多學者開展了基于一致性協議的多飛行器系統協同編隊飛行控制研究。Ren［3］通過適當選擇多飛行器系統期望的信息狀態，將針對2 階系統模型的一致性控制協議拓展應用到編隊飛行控制問題中。Seo 等［13］提出了一種基于一致性協議的編隊飛行控制算法，證明了當系統的網絡拓撲在有向強連通與網絡中有一棵生成樹兩種情況下切換時，多飛行器系統依然可以實現穩定的編隊飛行。Dong 等［14］在網絡拓撲中有一顆生成樹的情況下，基于一致性理論研究了具有時變隊形特點的多飛行器編隊控制問題，得出了系統的穩定性條件，并且采用四旋翼平臺進行了實驗驗證。Seo 等［15］通過設計一種基于一致性理論的分布式編隊控制器，進行編隊控制的研究，證明了只要保證網絡拓撲為有向強連通，即使編隊飛行過程中有飛行器丟失，多飛行器系統依然能夠實現穩定的編隊控制。Kuriki 等［16］針對網絡拓撲為固定連通情況，設計一種一致性控制協議，研究了多飛行器系統形成幾何隊形的協同編隊控制問題。然而，大多數基于一致性理論的協同編隊飛行控制研究都是針對以下兩類系統開展的:一類是假設系統通信拓撲圖為固定連通且無通信時延;另一類是假設系統具有切換通信拓撲結構且無通信時延。針對網絡拓撲為聯合連通并且同時存在通信時延的編隊控制系統的研究成果很少。而在實際情況中，飛行器之間的通信常會受到傳輸速度、網絡擁塞等因素的影響而存在通信延遲;并且由于通訊干擾、復雜地形、通信距離限制等因素的影響，多飛行器系統的網絡通訊拓撲會發生變化，因此，同時考慮通信延遲以及通訊拓撲變化兩因素對系統的影響，進行協同編隊飛行控制系統研究具有重要的理論意義及工程價值。

本文針對網絡拓撲為聯合連通且同時存在通信時延的多飛行器編隊系統，通過設計具有時延的基于一致性理論的編隊控制協議，同時根據網絡拓撲變化的特點，基于Lyapunov 穩定性理論得出了使系統穩定的充分條件，當系統滿足某些線性矩陣不等式(LMIs)時，多飛行器系統能夠按期望的隊形和速度實現穩定的編隊飛行。

1 多飛行器系統動力學建模

本文考慮n 個自主飛行器構成的群體系統，假設多飛行器飛行高度一致，即在二維平面內研究飛行器的協同編隊飛行問題。系統中第i 個飛行器的運動模型為

式中:狀態向量Xi=［xi，yi，vi，φi］T，控制輸入向量Ui=［vci，φci］T，其中(xi，yi)為第i 個飛行器在慣性空間的位置;vi為飛行器飛行速度;φi為航跡角，并且按照笛卡爾坐標系x 軸正向為0°，逆時針旋轉為正;vci、φci分別為飛行器自動駕駛儀的速度參考輸入和航跡角參考輸入;τv、τφ為系統動態時間常數。本文用1 階慣性環節來近似描述飛行器的速度動態特性和航向動態特性。

定義?m×n為m × n 的實矩陣集合，令ξi=［xi，yi］T∈?2，ui=［uxi，uyi］T∈?2，對(1)式中的對時間求導，然后將的表達式代入，第i個飛行器的動力學數學模型轉化為二次積分形式:

式中:ξi為飛行器的位置;ui為飛行器的虛擬控制輸入。ui和實際控制輸入向量Ui之間的關系為

2 圖論基礎知識介紹

采用代數圖論的知識對多飛行器系統及其行為進行描述:假設系統有n 個飛行器，在代數圖論中，將每個飛行器看做一個節點，并對其編號;飛行器之間的通訊關系看做是邊，用G(V，E，A)表示一個多飛行器系統的無向圖，其中，V = {s1，s2，…，sn}是n 個節點的集合，E={(si，sj)∈s×s，i≠j}表示邊的集合，A =［ai］n×n表示一個附有權重的鄰接矩陣。圖G 的邊用eij= (si，sj)表示，對于一個無向圖來說，如果當eij∈E 時，則必有eji∈E. 鄰接矩陣定義為aii=0，并且aij=aji≥0，當eij∈E 時，aij＞0. 節點si的鄰居集定義為Ni={sj∈V:(si，sj)∈E}. 無向圖所對應的Laplacian 矩陣為L =［lij］n×n，其中顯然，對于任一個無向圖均有L =LT. 圖中的路是指由邊所組成的序列，例如(s1，s2)，(s2，s3)，…. 如果任意2 個節點之間都有一條路，則稱圖是連通的。若有m 個圖均具有相同的節點集合V，定義聯合圖其節點集為V，邊集為所有m 個圖邊集的聯合，而且，如果聯合圖是連通的，那么，圖便稱為是聯合連通的。

引理1［10］若有矩陣Cn=nIn-11T(Im表示m維單位矩陣，1 代表具有相應維數的列向量［1，1，…，1］T)，那么必然存在一個正交矩陣Un∈?n×n，使得UTnDUn=diag{nIn-1，0}，并且Un的最后一列為給定一個矩陣D∈?n×n使得1TD =0，且D1 =0，那么其中Un表示Un的前n-1 列。

3 基于一致性理論的多飛行器控制協議設計與系統穩定性證明

3.1 基于一致性理論的多飛行器系統控制協議設計

假定編隊系統由n 個飛行器組成，在任一時刻，每個飛行器根據鄰居的狀態信息來控制和更新自己的當前運動狀態。用無向圖來描述飛行器之間的通訊拓撲關系，每個飛行器看成圖的一個節點;每條邊(si，sj)或者(sj，si)代表相應飛行器si、sj之間的通訊連接，在每個時刻，多飛行器之間的通訊連接形成一種通訊拓撲。實際中，由于遮擋、外界干擾、通訊阻塞、硬件故障等原因，可能會導致飛行器之間通訊失敗而使系統通訊拓撲不斷變化。為描述變化的拓撲，引進一個分段連續的常值切換函數σ(t):［0，∞)ap ={1，2，…，N}，簡記為σ，其中N 表示所有可能的無向通訊拓撲圖的總數。t 時刻的通訊圖用Gσ來表示，對應的Laplacian 矩陣用Lσ表示。本文主要研究系統通訊拓撲為聯合聯通情況下多飛行器系統控制協議設計問題。

由(2)式可得到第i 個飛行器動態方程的狀態空間描述為

式中:ξi(t)∈?2代表飛行器的位置狀態;ζi(t)∈?2代表飛行器的速度狀態;ui(t)∈?2是控制輸入量。如果編隊控制協議ui(t)能夠保證所有飛行器的狀態達到［ξi(t)- ξj(t)］→rij，并且ζi(t)→ζj(t)→ζ*(rij= -rji代表飛行器i 與j 在編隊隊形中的期望距離差值，ζ*∈?2代表期望速度)，則表明該控制協議能夠使多飛行器系統最終形成預期的編隊隊形，且編隊按照期望的飛行速度前進。

文獻［3］給出了能夠使多飛行器系統形成期望編隊且實現給定速度的控制協議，但僅僅針對固定通訊拓撲，且沒有考慮系統時延。本文借鑒文獻［3］的控制協議思想，針對存在通訊時延以及通信拓撲圖為聯合連通的多飛行器編隊飛行控制系統，對第i 個飛行器給出線性控制協議為

式中:τ ＞0 代表時延常數;aij代表通信拓撲圖Gσ的鄰接權重;Ni(t)為第i 個節點的鄰居集;k1、k2、k3均大于0，且k3=k1k2.

為了進行多飛行器系統閉環控制性能分析，需要對模型進行等效變換。因此引入編隊中心的概念，編隊中心即為多飛行器系統隊形的形心。為了說明問題方便、便于理解，以期望隊形為正五邊形為例，如圖1所示，其中O 代表笛卡爾坐標系原點，Oc為編隊中心，飛行器i、j 以及編隊中心在平面坐標系中的位置分別為ξi(t)、ξj(t)、ξ0(t)，飛行器i、j 與編隊中心的距離分別為ri、rj.

圖1 編隊平面圖Fig.1 Plane graph of formation

因此，控制協議(6)式可以等效變換為

式中:rji=rj-ri. 根據多飛行器系統期望隊形的位置及速度信息，令ζi(t)-ζ*，則控制協議(6)式可以變換為

如果取

則在控制協議(8)式作用下，多飛行器編隊控制系統的閉環動態方程為

3.2 基于一致性理論的多飛行器編隊飛行閉環控制系統穩定性分析

3.2.1 切換拓撲定義與相關引理

在給出本文主要結論之前，先介紹一些定義以及引理。首先引入切換拓撲的概念。考慮一個無窮非空、有界并且連續的時間序列［tk，tk+1)，k =0，1，…，t0=0，對于某一常數T1＞0，有tk+1-tk≤T1(k≥0). 假定在每個區間［tk，tk+1)內，有一個不重疊的子區間序列:

對某一常數mk≥0 以及給定的常數T2＞0，滿足tkb+1-tkb≥T2，0≤b ＜mk，使得通訊拓撲圖Gσ在tkb時刻切換，且在每一個子區間［tkb，tkb+1)內，通訊拓撲圖均不發生變化。若用［T1/T2］表示不大于T1/T2的最大整數，那么在每一個區間［tk，tk+1)內，最大子區間數為m*=［T1/T2］.

按照以上對切換拓撲的定義，假定在某一子區間［tkb，tkb+1)內時不變的通訊拓撲具有dσ(dσ≥1)個連通的部分，并且其對應的節點集用表示，用表示中的節點數。則存在一個置換矩陣Pσ∈?n×n使得

并且

在每個子區間內，對于第i 個連通的部分，考慮一個形如(15)式的對稱矩陣

3.2.2 多飛行器編隊飛行閉環控制系統穩定條件

定理1 對于一個具有通訊延遲及切換拓撲的多飛行器系統，假定在每個時間區間［tkb，tkb+1)內，其通訊拓撲圖的集合是聯合連通的，那么，在每個子區間［tkb，tkb+1)內，如果存在一個正常數γ ＞0 及滿足(16)式的，使得

證明 針對(10)式，選取Lyapunov-Krasovskii函數形式如下:

容易得出，V(t)是一個正定遞減函數。而且根據(13)式，V(t)可改寫為

因此，從本質上講，V(t)是每個子區間［tkb，tkb+1)內連通部分的Lyapunov-Krasovskii 函數的組合。

首先，V(t)的導數為

并且有

因此

由此可知，(10)式是穩定的［17］。由文獻［10］的分析可知因此，有定理得證。也就是說，在控制協議(6)式作用下，多飛行器系統最終能形成預期隊形，并達到期望的飛行速度。

4 多飛行器編隊控制系統仿真

本文通過數值仿真來驗證所設計的控制協議及穩定性分析的正確性。為充分說明本文所設計的一致性控制協議能夠適應多種情況下多飛行器的編隊飛行控制，分以下3 種情況進行仿真說明。

4.1 非對稱結構隊形的四飛行器編隊形成仿真

四飛行器之間的通訊拓撲圖以及期望形成的隊形結構圖分別如圖2和圖3所示。

圖2 飛行器通訊拓撲圖Fig.2 Communication topology of flight vehicles

圖3 期望隊形示意圖Fig.3 Expected formation

四飛行器之間的通訊拓撲按照(G1，G2，G1)的順序切換，駐留時間為0.3 s，圖中每條連通邊的權重為1. 四飛行器的初始位置、速度及航跡角的給定值如表1所示。

表1 飛行器初始狀態Tab.1 Initial states of flight vehicles

取飛行器的速度和航向動態特性的1 階慣性環節時間常數τv=2，τφ=0.8. 四飛行器系統期望的速度vi= 66 m/s，航跡角φi= 26°. 通過求解(18)式，得出控制協議中一組可行參數為k1=2，k2=1.6，k3=3.2，此參數下系統所允許的最大時延τ=0.3 s，在此控制協議下，當時延τ =0.3 s 時，四飛行器編隊的位置、速度、航跡角變化曲線及形成隊形分別如圖4～圖7所示。

圖4 位置變化曲線圖Fig.4 Position trajectories of flight vehicles

圖5 速度變化曲線圖Fig.5 Velocity trajectories of flight vehicles

圖6 航跡角變化曲線Fig.6 Flight path angle trajectories of flight vehicles

圖7 形成的編隊隊形圖Fig.7 Formed formation

由圖4～圖7可見，四飛行器系統的速度及航跡角最終均收斂到一致并且達到給定的期望值，形成了期望的編隊隊形并能夠按照此隊形保持編隊飛行。

4.2 對稱結構隊形的八飛行器編隊形成仿真

八飛行器之間的通訊拓撲圖如圖8所示。每個通訊拓撲圖均含有相同的8 個節點數，即有8 個飛行器參與編隊飛行。從圖中可以看出每個拓撲圖并不是連通的，但是4 個圖的集合卻是連通的，圖中每條連通邊的權重為1. 多飛行器系統之間的通訊拓撲圖的駐留時間為0.2 s，并且按照(G1，G2，G3，G4，G1)的順序切換。

圖8 多飛行器通訊拓撲圖Fig.8 Communication topology of flight vehicles

八飛行器系統的期望編隊隊形是對稱的，系統中各個飛行器之間的期望距離如圖9所示，8 個飛行器的初始位置、速度及航跡角的給定值如表2所示。

圖9 期望編隊隊形示意圖Fig.9 Expected formation

表2 飛行器初始狀態Tab.2 Initial states of flight vehicles

τv=2，τφ=0.8，期望速度vi=76 m/s，航跡角φi=26°. 通過求解(18)式，得出控制協議中的一組可行參數為k1=2，k2=1.6，k3=3.2，此參數下系統所允許的最大時延τ=0.3 s，在此控制協議下，當時延τ=0.3 s 時，八飛行器編隊的位置、速度、航跡角、飛行器之間距離差及形成的隊形分別如圖10 ～圖14所示。

由圖10 ～圖14 可見，盡管速度與航跡角曲線有一定的振蕩，但是，八飛行器系統最終能夠達到期望的速度及航跡角的給定值，并且系統最終能夠形成預期的編隊隊形。

4.3 個別飛行器丟失后的飛行器編隊重構仿真

圖10 位置變化曲線圖Fig.10 The changes in positions of flight vehicles

圖11 速度變化曲線Fig.11 The changes in velocities trajectories of flight vehicles

圖12 航跡角變化曲線Fig.12 Flight path angle trajectories of flight vehicles

本例中初始飛行器編隊由5 個飛行器組成，在t=15 s 時刻，飛行器3 因故障丟失后，其他四飛行器進行編隊重構。在飛行器3 丟失前，5 個飛行器通訊拓撲圖以及期望的隊形結構圖分別如圖15 和圖16 所示，通訊拓撲圖的駐留時間為0.4 s，并且按照(G1，G2，G3，G1)的順序切換;當飛行器3 丟失后，4 個飛行器通訊拓撲圖和期望的隊形結構圖如圖17和圖18 所示，駐留時間為0.3 s，并且按照(G1，G2，G1)的順序切換。

圖13 形成的編隊隊形圖Fig.13 Formed formation

圖14 飛行器之間的距離差Fig.14 Distance between flight vehicles

圖15 飛行器通信拓撲圖Fig.15 Communication topology of flight vehicles

圖16 期望隊形結構圖Fig.16 Expected formation

5 個飛行器的初始位置設置如表所示。τv=2，τφ=0.8，期望速度vi=70 m/s，航跡角φi=24°. 通過求解(18)式，得出控制協議中的一組可行參數為k1=0.89，k2=1.31，k3=1.17，此參數下系統所允許的最大時延τ =0.1 s，在此控制協議下，當時延τ =0.1 s 時，飛行器位置、速度、航跡角以及隊形變化曲線分別如圖19 ～圖22 所示。

圖17 編隊重構后通信拓撲圖Fig.17 Communication topology of formation reconfiguration

圖18 編隊重構后期望隊形結構圖Fig.18 Expected formation after formation reconfiguration

表3 飛行器初始狀態Tab.3 Initial states of flight vehicles

圖19 位置變化曲線圖Fig.19 The changes in positions of vehicles

從圖19 ～圖22 中得出，在本文所設計的控制協議下，當飛行器丟失前后，只要通信拓撲圖保持聯合連通狀態，那么飛行器系統依然可以形成期望的隊形。

圖20 速度變化曲線圖Fig.20 The changes in velocities of flight vehicles

圖21 航跡角變化曲線圖Fig.21 Flight path angle trajectories of flight vehicles

圖22 隊形變化曲線圖Fig.22 The change of formation of flight vehicles

綜合3 個算例可以得出:不論飛行器系統中飛行器數量多少、期望編隊隊形的結構如何，在本文所提出的一致性控制協議下，只要保證通訊拓撲結構是聯合連通，那么多飛行器系統就能夠形成期望的編隊隊形，并按照給定的速度及航跡角實現編隊飛行;如果飛行過程中有飛行器因故障脫離編隊，只要滿足通訊拓撲結構變化要求，即相關飛行器之間能夠形成通訊鏈，那么飛行器系統是可以實現編隊重構的，并且依然按照給定的期望速度及航跡角信息進行編隊飛行。

最后，本文所討論的控制協議(6)式是指多飛行器系統跟蹤某一靜態速度，如果跟蹤動態的速度，那么控制協議里面應該有速度的導數項，其協議形式為

在控制協議(21)式下，多飛行器系統依然可以收斂，其證明過程與定理1 相似，此處不再贅述。關于跟蹤變化速度的問題，可以通過實際仿真驗證結論的正確性，由于空間的限制，仿真結果圖在此處略去。

5 結論

本文研究了通訊拓撲為聯合連通及存在通信時延的多飛行器系統的編隊飛行控制問題。通過設計基于一致性的編隊控制協議，多飛行器系統編隊控制的穩定性問題最終轉化為尋找矩陣不等式可行解的問題。事實上，在求解矩陣不等式時，只需針對每個子區間內固定通訊拓撲圖中的連通部分進行計算即可，這樣可以很大程度地簡化整個網絡的分析。當求得一組可行參數時，便可求解在此參數下，系統所允許的時延上限的值。本文進一步通過仿真驗證了所設計的一致性控制協議的正確性。在本文所提出的一致性控制協議作用下，若保證系統的通訊拓撲為聯合連通的，不論期望隊形結構對稱與否，在允許的通訊延遲時間內，編隊飛行系統均能按照期望的速度及航跡角實現穩定的飛行，如果飛行過程中由于故障導致某飛行器丟失，亦可實現編隊的重構。

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