基于最優二次型理論的滾轉導彈三回路駕駛儀設計與研究

范世鵬，林德福，姚懷瑾，路宇龍，祁載康

(1.北京理工大學 宇航學院，北京100081;2.北京航天自動控制研究所，北京100854;3.北京電子工程總體研究所，北京100854)

0 引言

由美國Raytheon 公司首次提出的經典三回路駕駛儀以其良好的性能和工程可實現性而被廣泛采用。三回路駕駛儀以一階實根為主導極點，而通過選取二階共軛復根可改變開環穿越頻率，保證系統擁有足夠的幅相裕度［1-6］。這種駕駛儀存在多種結構，通過不同方法重構攻角，形成偽攻角反饋，都能使系統魯棒性得以改善［4］。

最優二次型(LQR)理論在工程中已經得到了廣泛應用。Mracek 等［7］、Wise［8］利用最優/經典理論設計、分析了單通道自動駕駛儀;Nesline 等分析了LQR 設計常常出現系統失穩的原因，并指出必須對開環穿越頻率進行約束［9］;Williams 等運用LQR方法為傾斜轉彎(BTT)導彈多輸入多輸出(MIMO)系統設計控制系統［10］;文獻［11 -12］采用LQR 方法，通過對比研究最優制導律獨立設計和制導/控制一體化設計，指出了一體化設計的優越性;而Li 等在采用古典控制理論為滾轉導彈設計控制系統時忽略了耦合效應［13-14］。

本文建立滾轉導彈存在通道耦合的動力學模型，為消除耦合的影響，基于現代控制LQR 最優理論，推導得到一種I 型系統的三回路駕駛儀結構，對比研究了MIMO 和單輸入多輸出(SIMO)兩種設計結果;并通過分析權系數與駕駛儀性能之間的關系，旨在輔助設計者合理選取權系數。

1 滾轉導彈數學模型

滾轉導彈因邊界層非對稱畸變等原因而普遍存在馬格努斯效應，這對彈體姿態運動影響較大，使俯仰、偏航存在通道耦合。另外，彈體自身滾轉也將產生陀螺耦合效應。這兩種效應與彈體轉速相關，轉速越高，則耦合效應越明顯。

滾轉導彈動力學建立在準彈體系下的表達形式相對簡單，在線性化小擾動假設下，考慮耦合效應的軸對稱滾轉導彈動力學方程可表示為

式中:? 為俯仰角;α 為攻角;β 為側滑角;ψ 為偏航角;δ 為舵偏角;v 為導彈速度;ay、az為y 軸方向和z 軸方向的彈體過載;分別為俯傾力矩對攻角、舵偏角、俯傾角速率的偏導數，Jz為轉動慣量;bα=T 為推力，Yα、Yδz分別為升力對攻角、舵偏角的偏導數，m 為導彈質量;為俯仰力矩對側滑角的偏導數，ωx為導彈自旋角速率。

不難看出，俯仰、偏航動力學具有反對稱通道耦合的特點，其模型如圖1所示。

圖1 滾轉導彈俯仰/偏航動力學模型Fig.1 Pitch and yaw dynamics model of rolling missile

在此引入過載誤差ey=ay-ayc，以俯仰為例，制導指令相對于控制系統而言，可視為慢變量。設為0，則過載誤差可表示為

根據(1)式中過載與攻角之間的關系，將過載引入(1)式的微分方程中而消去攻角，從而得到

對偏航動力學方程作與俯仰通道相同的假設和數學等價變形。對于以上存在通道耦合的動力學模型，可將耦合效應視為外界干擾，增加一個積分環節使之形成Ⅰ型控制系統，以消除通道耦合引起的穩態誤差。對以上方程組中的過載、姿態角速率相關的微分方程左右兩邊進行微分。

由于LQR 控制方法對數學模型準確性的要求較為嚴格，模型不準確對于控制系統的各項性能將有較大的影響，甚至造成系統失穩［15］。在工程實踐中應用最優控制理論，應盡可能準確地建立系統的數學模型。數學模型越準確，則控制系統性能越優良［9］，因此，數學模型考慮二階舵機環節的動態特性:

2 線性二次型最優控制

線性二次型是最優控制理論中一類典型的優化問題，其指性能泛函選取為狀態變量和控制變量的二次型函數的積分形式。在合理的假設條件下，該問題所求得的控制律可以是解析的且線性的［15］。

設線性系統動態方程的狀態空間表示為

式中:x 為n 維狀態變量;u 為r 維控制向量;A、B、C分別為n×n 維矩陣、n×r 維矩陣、m×n 維矩陣。

給定無限時間假設下的關于狀態x(t)和控制u(t)的二次型性能指標函數:

式中:Q、R 為權系數矩陣，Q =QT≥0，為n ×n 維半正定對稱陣;R=RT＞0，為r×r 維正定對稱陣。

所謂二次型最優控制問題，就是尋求一個容許控制u*(t)∈Rr×r，使沿著由初態x0出發的相應狀態軌跡x(t)，使性能指標函數取為極小值，即

由二次型最優控制極小值理論可知，為使指標函數達到最小，最優控制律應為

式中:P 為黎卡蒂微分方程式的解，容易證明，P 為對稱正定矩陣。

不難看出，最優控制律為線性時變的全狀態反饋，且非線性的黎卡蒂微分方程求解繁瑣，至少需要求解n(n +1)/2 個一階微分方程。隨著時間趨向于無窮，P(t)將趨于常值陣，最優反饋時變系統也將轉換為定常系統。此時，可以用黎卡蒂代數方程式的解代替微分方程式的解。

則系統的最優狀態軌線x*(t)為

性能指標的最小值為

通過全狀態反饋，系統的閉環極點發生變化，使系統運動遵循最優軌線，從而改善了系統的動態特性。設Lyapunov 正定函數

對L(x)求導，并將(11)式代入(13)式可得

3 三回路控制系統設計

為簡化控制系統的設計，首先將狀態耦合視為干擾，忽略通道耦合效應，建立俯仰通道數學模型，狀態變量、控制變量和輸出變量分別為

則SIMO 俯仰通道數學模型可描述為

對于具有通道耦合的滾轉導彈而言，控制系統期望俯仰偏航兩個通道的過載響應誤差限制在一定的范圍內，這不僅可使制導指令得以準確快速地執行，也可削弱通道耦合的影響;為防止彈體劇烈振蕩，姿態角加速度必須加以限制;同時，控制能耗即舵偏角角速率不得過大，應對舵偏角速率進行限制。因此，提出以下指標函數:

式中:常數Ci(i =1，2，3)為權系數，其數值越大，則對相應變量的限制作用越強。對應于LQR 方法中的權系數矩陣為

控制系統性能指標與權系數矩陣密切相關，選取不同的Ci，則得到不同的控制系統性能品質，因此，合理選取權系數是LQR 設計方法的關鍵。從Ci的物理意義來看，控制系統動態品質主要取決于C1，而阻尼特性、幅相裕度等與C2也有一定關系。

利用第2 節提出的LQR 方法設計控制系統，即可得到狀態反饋增益矩陣K:

對(19)式兩邊進行積分，可得控制律

以上控制律的實現，一方面要改變舵機特性，電動舵機通過驅動電流和碼盤對舵偏角速率和舵偏角進行反饋控制;另一方面，利用彈體過載和姿態角速率信息，構建了三回路駕駛儀結構，以改善彈體動態特性。圖2給出了控制系統的基本結構。

圖2 SIMO 設計的控制系統示意圖Fig.2 Control system designed via SIMO method

閉環系統極點表征了控制器的性能優劣，研究閉環極點隨著加權矩陣變化的規律可以幫助設計者選擇權系數矩陣，并更好地理解特定的權系數矩陣所得到的控制器。注意到最優控制律完全取決于狀態加權矩陣與控制加權矩陣的相對大小關系，這里固定C3=10 000，通過調節C1、C2，得到不同性能指標的控制器。

首先固定C2=25，分別選取不同的C1，設計結果如表1所示。圖3、圖4給出了不同C1值下設計結果的開、閉環系統頻域特性。

表1 不同C1下的設計結果Tab.1 Comparison of designs with different C1

圖3 不同C1值下設計結果的開環系統頻域特性Fig.3 Bode diagram of open loop for different C1

固定C1=20，分別選取不同的C2，設計結果如表2所示。圖5、圖6分別給出了不同C2值下設計結果的開、閉環系統幅相頻特性。

由表1設計結果可見，增大權系數C1，開環穿越頻率和系統閉環帶寬隨之增大，主導極點遠離虛軸，使系統的響應速度加快，在帶寬附近處，閉環系統相位滯后略有減小，且在高頻段的相位特性基本一致。但同時，系統幅相裕度有所減小，頻域指標將會下降。

圖4 不同C1值下設計結果的閉環系統頻域特性Fig.4 Bode diagram of closed loop for different C1

表2 不同C2值下的設計結果Tab.2 Comparison of designs with different C2

權系數C2主要影響系統的幅相裕度，由圖5可見，增大C2，可提高相位裕度，但將減小幅值裕度。此外，C2對閉環系統帶寬有一定影響，增大C2將減小系統帶寬，而對閉環系統的相頻特性影響甚微。

由最優理論設計的控制系統，可能出現滿足相位裕度指標但穿越頻率很大的現象。由于動力學模型僅考慮彈體與舵機環節，而系統純延遲、慣性器件動力學、結構濾波器等都會帶來相位滯后，直接威脅控制系統穩定性，因此，必須對開環穿越頻率進行約束，以保證系統的穩定裕度［7］。

從圖3和圖5可看出，開環截止頻率ωCR與C1關系密切。如圖7所示給出了ωCR與C1的關系曲線。

圖5 不同C2值下設計結果的開環系統幅相頻特性Fig.5 Bode diagram of open loop for different C2

圖6 不同C2值下設計結果的閉環系統幅相頻特性Fig.6 Bode diagram of closed loop for different C2

設計者可根據ωCR與C1的關系，合理選取C1;綜合考慮C1、C2系統與時域指標之間的關系調整權系數取值，使得到的控制器滿足時域與頻域的復合指標。最終選取C1=20，C2=25，C3=10 000. 由于俯仰、偏航動力學具有對稱性，則采用SIMO 設計的反饋增益矩陣

式中:K1= [ 45 3.2 120 -220 0.41 ]×10-3.

若考慮耦合效應，則俯仰、偏航一體化數學模型為MIMO 系統，如(22)式所示。仍采用LQR方法設計控制律，稱為MIMO 設計，示意圖如圖8所示。

圖8 MIMO 設計的控制系統示意圖Fig.8 Control system designed via MIMO method

選取二次型性能指標函數為

選取以單通道設計相同的權系數取值:C1=20，C2=25，C3=10 000，所得到狀態反饋增益矩陣

式中:K1= [ 46 3.3 120 -230 0.43 ]×10-3;K2= [ 2.1 -0.2 4.2 21 0 ]×10-3.

反饋增益矩陣具有分塊反對稱的特點，通過多組設計結果對比兩種設計方法，可歸納出:1)兩個通道來源于自身通道反饋回路的控制參數K1差異很小;2)俯仰通道控制系統來自俯仰通道狀態反饋的增益K1各元素，遠大于來自偏航通道相應的增益K2各元素，偏航控制亦然;3)通道耦合使增益矩陣中的K2不為0，且耦合越大，則‖K2‖2越大。

滾轉導彈的馬格努斯效應和陀螺效應分別與靜穩定力矩和阻尼力矩相對應，三回路駕駛儀中的過載反饋、角速率反饋人為增大了彈體靜穩定系數和阻尼系數，使耦合效應在彈體姿態運動方程中所占的比重將有所減小，相對削弱了耦合效應的影響，從而使K2各元素遠小于K1各元素。因此，滾轉導彈存在的耦合效應對控制系統的設計結果影響不大，完全可以單通道獨立設計。

4 數學仿真

為驗證第3 節的設計結果與分析，建立存在通道耦合的數學仿真模型，各項氣動參數為攻角、側滑角的非線性函數，氣動耦合項馬格努斯力矩系數為靜穩定力矩系數的40%，陀螺力矩系數為阻尼力矩系數的10%;引入角速率陀螺和加速度計的動力學環節，帶寬均為40 Hz，阻尼系數為0.8. 在俯仰通道輸入40 m/s2的階躍過載指令，分別對不同C1、C2值下的設計結果進行仿真，俯仰、偏航通道過載響應分別如圖9～圖12 所示。

圖9 不同C1值下設計結果的俯仰通道過載響應Fig.9 Response of pitch acceleration for different C1

圖10 不同C1值下設計結果的偏航通道過載響應Fig.10 Response of yaw acceleration for different C1

由仿真結果可看出，與原彈體響應相比較，設計的控制系統使系統動態響應特性得以改善，且對耦合的抑制作用較為顯著，可完全消除由耦合引起的響應穩態誤差。增大權系數C1，可有效限制過載誤差，加快系統響應速度;而權系數C2與超調量相關，增大權系數C2將減小系統超調。

圖11 不同C2值下設計結果的俯仰通道過載響應Fig.11 Response of pitch acceleration for different C2

圖12 不同C2值下設計結果的偏航通道過載響應Fig.12 Response of yaw acceleration for different C2

如圖13 所示給出了本文SIMO 和MIMO 設計結果對俯仰通道階躍過載指令的響應曲線。

圖13 兩種設計結果的俯仰和偏航過載響應曲線Fig.13 Responses of pitch and yaw accelerations

由圖13 可見，與SIMO 設計相較而言，MIMO 設計得到的控制系統在時域響應方面差異很小，在提高響應速度方面并不明顯。且二者對耦合的抑制效果都十分理想，不存在穩態誤差。作為Ⅰ型系統，三回路駕駛儀結構中的積分器可使由耦合運動造成的誤差不斷衰減，直至歸0.

5 結論

通過對滾轉導彈控制系統的設計與研究，本文應用LQR 理論提出了一種控制系統的設計方法，所得到的控制律具有三回路駕駛儀的結構;指出駕駛儀性能與權系數密切相關，通過對比不同權系數取值的設計結果，驗證了權系數與駕駛儀的時頻、頻域性能之間的關系;SIMO 設計的三回路駕駛儀在抑制彈體耦合方面的效果十分理想，并具有良好的時域和頻域性能，可使系統準確無誤地跟蹤階躍指令，將耦合運動的穩態誤差完全消除。最后，通過對比分析SIMO 設計和MIMO 設計，指出兩種設計結果的差異很小。工程上，為滾轉導彈設計三回路駕駛儀忽略狀態耦合進行獨立設計完全合理。最后，通過非線性數學仿真驗證了以上結論。

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