薄壁管滾珠旋壓力計算模型

趙春江，王琛，耿明超

（1.太原科技大學重型機械教育部工程研究中心，山西太原030024；2.中國電子科技集團公司第12研究所，北京100044）

薄壁管滾珠旋壓力計算模型

趙春江1，王琛1，耿明超2

（1.太原科技大學重型機械教育部工程研究中心，山西太原030024；2.中國電子科技集團公司第12研究所，北京100044）

給出了一種計算三維滾珠旋壓力的解析模型。根據滾珠軌跡對空間坐標進行旋轉，簡化了滾珠與工件的空間關系表達式；基于空間解析幾何理論和旋壓件為半無限體的假設，得到了滾珠與管坯的接觸邊界方程，并在各坐標平面上進行投影得到二維曲線，通過對曲線的積分計算各坐標平面內的接觸區投影面積。變形區單位壓力通過鋼球壓入空間半無限體時成形區的平均壓力近似相等的假設給出，計算各旋壓力分量和總旋壓力；通過對旋壓力軸向分量的理論計算結果與實驗數據對比，表明給出的計算模型的準確性。

兵器科學與技術；滾珠旋壓；旋壓力；坐標旋轉；解析模型；實驗對比

0 引言

滾珠旋壓是一種強力精密旋壓，采用滾珠對管材進行連續局部塑形成形［1-3］。Rotarescu［4］對滾珠旋壓的過程及其旋壓力的計算進行了系統的理論推導和數值模擬，借鑒了擠壓成型變形區平均壓力值的計算方法，并對接觸面積的計算做了簡化，但其推導過程復雜，且變形區接觸面積誤差較大；李茂盛等［5］忽略了滾珠軸向進給所需的壓痕力，利用平面應變狀態下圓弧形沖壓頭壓入半無限體時平均接觸壓力與滾珠旋壓接觸平均力相等的假設，得出了滾珠旋壓力的計算公式；文獻［6］按照管件的均勻變形給出了滾珠旋壓力簡便的工程計算方法；Zhang等［7］對銅管內螺紋滾珠旋壓折疊缺陷及其金相組織特性進行了分析；Jiang等［8-9］對帶肋薄壁管的滾珠旋壓過程進行了詳細的分析和數值模擬，研究并討論了縱向內肋薄壁管材滾珠旋壓的變形準則并對滾珠旋壓工藝參數之間的非線性建立了基于神經網絡的預測模型，其成果較大地推進了滾珠旋壓工藝和工模具設計理論的研究。馬振平等［10］對滾珠旋壓加工技術進行了系統的總結。

本文給出了一種滾珠旋壓力的計算方法，相對于已有的計算方法，該方法基于對旋壓件為半無限體的假設，并按照滾珠旋壓軌跡螺旋升角將坐標進行旋轉，簡化了工件與滾珠的空間關系表達方式；根據滾珠球面和旋件的空間解析幾何關系，結合滾珠當前位置與上一圈的旋壓軌跡，得到了滾珠與管坯接觸區的邊界曲線表達式，從而得到了接觸區在各自對應坐標內的投影面積，引入鋼球壓入空間半無限體時成形區的平均壓力近似相等的假設，從而計算各旋壓力分量；最后通過理論計算與實驗數據的比較說明了本文計算方法的準確性。

1 工藝描述

圖1所示為滾珠旋壓原理示意圖，支撐管、外支撐圈、圓錐模環和滾珠組成了滾珠旋壓模具，旋壓模具套在工件外壁，模具和工件相對轉動同時產生沿軸向的相對進給運動，則套在心軸上的工件與鋼球接觸并受壓產生塑性變形，達到壁厚減薄的目的。

2 旋壓力空間解析模型

2.1 基本假設與坐標設置

由圖1的滾珠旋壓工藝原理可知，在滾珠旋壓過程中，由于滾珠的曲率遠大于管坯的曲率，且旋壓過程是宏觀的逐點擠壓變形，變形接觸區很小，且接觸區內部變形應力對管坯其他部分幾乎沒有影響，所以把管坯假設成半無限體。

為簡化解析模型的推導過程，建立動坐標系與固定坐標系。滾珠球心設為動坐標系的原點O，沿著滾珠軸向進給螺旋升角的方向建立動坐標系x軸，過球心與管件軸線的垂直相交線作為動坐標系z軸，垂足記作O′，動坐標系y軸通過球心且垂直于Oxz坐標平面。以O′點作為固定坐標系的原點，固定坐標系z′軸與動坐標線z軸方向相同。在管坯軸線上，作固定坐標系y′軸，垂直于O′y′z′坐標平面并過O′點建立固定坐標系x′軸。各坐標軸方向如圖2所示。

圖1 滾珠旋壓示意圖Fig.1 Schematic diagram of ball spinning

圖2 解析模型坐標示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinates of analytic model

2.2 接觸面積的計算

根據圖2可得滾珠（球）的坐標方程為

式中：Rb為滾珠的半徑。

由于滾珠的曲率遠大于管坯的曲率，且旋壓過程是宏觀的逐點擠壓變形，變形接觸區很小，假設管坯外表面是半無限平面，滾珠與管坯上一道次旋壓所形成的軌跡在Oyz平面上的投影視為圓弧，其方程為

式中：f為軸向旋模比；n為滾珠個數；θ為滾珠旋壓軌跡螺旋升角。

滾珠與管坯接觸所形成的空間曲面，在動坐標系各坐標平面上的投影面積計算如下。

2.2.1 沿x軸方向的投影面積

滾珠與管坯的接觸面積在Oyz坐標平面（x軸方向）的投影面積如圖3所示的陰影部分，x軸方向面積由滾珠球面、上一道次旋壓軌跡和管件在Oyz坐標平面內的投影共同確定。其中：AB為滾珠與管坯表面交線的投影，實際為一段曲線，因假設管坯表面為半無限平面，故AB視為直線段。曲線為滾珠與上一道次旋壓軌跡的相交線在Oyz坐標平面上的投影。曲線為滾珠圓的一部分，是滾珠壓入管坯內所形成接觸區的邊界線在Oyz坐標平面內的投影。

圖3 x軸方向投影面積Fig.3 Projection area in x direction

滾珠在Oyz坐標平面的投影坐標方程為

上一道次旋壓軌跡在Oyx坐標平面的投影坐標方程為

根據管坯外表面為半無限體平面的假設，管件在Oyx坐標平面內的投影方程為

式中：tp為減薄量。

由（3）式、（4）式、（5）式，可得圖3中A點、B點、C點、E點的坐標分別為，，則x軸方向的投影面積

2.2.2 沿y軸方向的投影面積

滾珠與管坯的接觸面積在Oxz坐標平面（y軸方向）的投影面積如圖4所示的陰影部分，y軸方向面積由滾珠球面、上一道次旋壓軌跡和管件在Oxz坐標平面上的投影共同決定。其中：AB為滾珠與管坯表面交線的投影，曲線為空間曲線在 Oyz坐標平面上投影的一部分，曲線為滾珠球面圓的一部分，曲線為空間曲線在Oxz坐標平面投影的一部分。

圖4 y軸方向投影面積Fig.4 Projection area in y direction

圖4中，AB的方程表達式為

AF的方程表達式為

根據（6）式～（9）式可得圖4的A點、B點、F點、G點在Oxz坐標平面上的坐標分別為A（0，tp-Rb）、，則y軸方向的面積

2.2.3 沿z軸方向的投影面積

滾珠與管坯的接觸面積在Oxy坐標平面（z軸方向）的投影面積如圖5所示的陰影部分，z軸方向面積是由滾珠球面、上一道次旋壓軌跡和管件在Oyz坐標平面內的投影共同確定。其中：曲線為滾珠表面與上一道次軌跡交線在Oxy坐標平面的投影，曲線為滾珠球面與管件外表面交線Oxy坐標平面的投影，直線AC為滾珠壓入管坯內所形成接觸區的邊界線在Oxy坐標平面內的投影。

圖5 z軸方向投影面積Fig.5 Projection area in z direction

AC的方程為

根據（10）式～（12）式可得出A點、B點、C點在Oxy坐標平面上的坐標分別為A（0，-Rb）、、.其中：，.則z軸方向的面積

2.3 旋壓力的計算

在滾珠旋壓工藝中，滾珠與管坯接觸面上的壓力在x軸、y軸、z軸3個方向上的分力可看作指向球心的均布力，由2.2節的Sx、Sy、Sz來計算三向旋壓分力，即

式中：p為平均接觸壓力。

本文采用經實驗和模擬驗證可用的接觸平均壓力p計算公式［5］為

式中：σs為抗拉屈服強度。

由于上述計算模型的推導基于動坐標進行，為了方便分析及與實驗數據進行對比，需將上述計算所得的各項旋壓力分量轉換到定坐標系中，切向分力、軸向分力、徑向分力轉換方程分別為

3 計算結果與實驗數據對比

針對上述推導結果，應用VC計算機語言編寫了三向滾珠旋壓力的計算程序。為了與文獻［4］的實驗數據進行對比，選取文獻［4］中的材料與工藝參數。根據文獻［10-11］計算所用的金屬材料的機械性能參數，其計算結果和實驗數據如圖6所示。由于實驗條件的限制，只能對軸向旋壓力分量進行測量，因此圖6給出的計算和實驗數據只針對總旋壓力的軸向分量。為了充分顯示旋壓力隨進給速度變化的非線性特性，如表1所示，第3組、第4組數據中取大跨度的進給速度1～10 mm.

圖6 理論計算和實驗數據比較Fig.6 Comparison between calculated and experimental data

表1 實驗工藝數據表Tab.1 Experimental process data table

由圖6可見：針對各組工藝參數總旋壓力的軸向分量隨著旋模比的增加而增大，總旋壓力隨著旋模比的對數呈指數增長趨勢；相同條件下，旋壓力隨著減壁量和管坯直徑的增加而增大；計算結果和實驗數據的變化趨勢一致；在旋模比較小時，實驗數據和計算結果吻合良好；而在旋模比較大時，實驗數據明顯大于計算結果。原因在于旋模比增大會引起滾珠之間的金屬堆積和隆起，從而增大滾珠旋進阻力；且大旋模比使變形速率增加，會提高工件的變形阻力，從而使旋壓力數據加大。另外，工件與芯棒的摩擦阻力會阻止工件的延伸，也會增大軸向旋壓力。

綜上所述，本文給出的解析模型能夠準確反映旋壓力的變化趨勢，小旋模比時可得到高精度的旋壓力計算值。在大旋模比情況下，應考慮實際情況對旋壓力進行適當修正，可保證滾珠旋壓力計算模型的精確性和可靠性。

4 結論

1）本文根據滾珠軌跡對空間坐標的旋轉關系，基于空間解析幾何理論和旋壓件，為半無限體的假設給出了一種計算三維滾珠旋壓力的計算模型。給出了其變形區單位壓力通過鋼球壓入空間半無限體時，成形區的平均壓力近似相等的假設，相對于已有的計算模型，簡化了滾珠與工件的空間關系表達式，且具有較高的精確性。

2）采用現有文獻［4］的實驗材料和工藝參數，應用本文給出的計算模型進行總旋壓力的軸向分量的計算，通過對比計算結果和實驗數據，發現二者的變化趨勢一致。本文給出的并考慮了大旋模比影響的計算模型具有較高的精度和可靠性。

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Calculation Model of Ball Spinning Force of Thin-walled Tubes

ZHAO Chun-jiang1，WANG Chen1，GENG Ming-chao2
（1.The Heavy Mechanical Engineering Research Center of Ministry of Education，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，Shanxi，China；2.The 12th Research Institute，China Electronic Technology Group Corporation，Beijing 100044，China）

An analytical model is presented to calculate the 3D ball spinning force.The spatial relation expression of the ball and workpiece is simplified through the rotation of spatial coordinates according to the track of the ball.The contact boundary equations of the ball and the workpiece are obtained based on the theory of space analytic geometry and the assumption that the spinning workpiece is a semi-infinite body，and the 2D curves are obtained by projecting on the coordinate planes.The projection of spatial contact area on each coordinate plane is calculated.The unit pressure in the deformation zone is given based on the assumption that the average pressure is approximately equal to that while a rigid ball is pressed into the space of semi-infinite body，and then the total spinning force and its components could be calculated.The comparison between theoretical results and experimental data shows that the proposed model is accurate.

ordnance science and technology；ball spinning；spinning force；rotation of coordinate；analytical model；experimental comparison

TG316

A

1000-1093（2015）05-0928-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.05.024

2014-12-29

國家自然科學基金項目（51375325）；山西省自然科學基金項目（2014011025-1）

趙春江（1975—），男，副教授。E-mail：zhaochj75@163.com