淺談二次函數在高中階段的應用

羅顯麗

（貴州省貴陽市修文中學 貴州貴陽 550000）

淺談二次函數在高中階段的應用

羅顯麗

（貴州省貴陽市修文中學 貴州貴陽 550000）

在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習。

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為？（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知？（x）=2x2+x+2，求？（x+1）

這里不能把？（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設？（x+1）=x2-4x+1，求？（x）

這個問題理解為，已知對應法則？下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

？（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2-6x+6

（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而？（x）= x2-6x+6

二、二次函數的單調性，最值與圖象

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（-∞，-b2a］及［-b2a，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）=x2+2|x|-1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設？（x）=x2-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖象

解：？（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

當t＞1時，g（t）=？（t）=t2-2t-1

當t＜0時，g（t）=？（t+1）=t2-2

t2-2，（t＜0）

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2-2t-1，（t＞1）

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數的值域。

三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維：

類型Ⅴ：設二次函數？（x）=ax2+bx+c（a＞0）方程？（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0＜x1＜x2＜1a.

（Ⅰ）當X∈（0，x1）時，證明X＜？（x）＜x1.

（Ⅱ）設函數？（x）的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0＜x2.

解題思路：

本題要證明的是x＜？（x），？（x）＜x1和x0＜x2，由題中所提供的信息可以聯想到：①？（x）=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程？（x）-x=0可變為ax2+（b-1）x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a.b.c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數關系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：

（Ⅰ）先證明x＜？（x），令？（x）=？（x）-x，因為x1，x2是方程？（x）-x=0的根，？（x）=ax2+bx+c，所以能？（x）=a（x-x1）（x-x2）

因為0＜x1＜x2，所以，當x∈（0，x1）時，x-x1＜0，x-x2＜0得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，因此？（x）＞0，即？（x）-x＞0.至此，證得x＜？（x）

根據韋達定理，有 x1x2=ca ∵0＜x1＜x2＜1a，c=ax1x2＜x=？（x1），又c=？（0），∴？（0）＜？（x1），根據二次函數的性質，曲線y=？（x）是開口向上的拋物線，因此，函數y=？（x）在閉區間［0，x1］上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區間的內部達到，由于？（x1）＞？（0），所以當x∈（0，x1）時？（x）＜？（x1）=x1，即x＜？（x）＜x1

（Ⅱ）∵？（x）=ax2+bx+c=a（x+-b2a）2+（c-），（a＞0）

函數？（x）的圖象的對稱軸為直線x=-b2a，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a＜0，

∴x0=-b2a=12（x1+x2-1a）＜x2，即x0=x2.

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。