淺談數(shù)學(xué)概念研究的策略

江蘇海門市能仁小學(xué)（226100） 趙 彥

概念既是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，只有從起步抓好概念教學(xué)，才能使學(xué)生叩開數(shù)學(xué)殿堂的大門。曾有人毫無諱言地指出“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就是概念教學(xué)”，這里說明了概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位。

由于小學(xué)生的抽象思維還沒有發(fā)展起來，而數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，所以學(xué)生學(xué)習(xí)存在難度。那么，如何突破學(xué)生的學(xué)習(xí)困境，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解呢？《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中明確指出：“教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，引導(dǎo)他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解與掌握數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。”我認(rèn)為，要深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，就應(yīng)該進(jìn)行概念研究。何謂概念研究？這是基于課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“數(shù)學(xué)活動”這一要素延伸出來的一個(gè)課題，即教師發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生在“研、究、磨”三個(gè)層次上展開探究，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容采用不同的研究模式，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解，從而優(yōu)化概念教學(xué)，提高小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)效性。

下面，我根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)方面的心得體會，以求教于各位方家。

一、關(guān)鍵點(diǎn)細(xì)“研”，豐富概念表象

對學(xué)生來說，讓他們記住數(shù)學(xué)概念的表面定義是沒有問題的，只要給予足夠的時(shí)間，學(xué)生對概念倒背如流都是容易的事情，在實(shí)際教學(xué)中這樣的情況比比皆是。但問題也是顯而易見的，學(xué)生看似掌握了數(shù)學(xué)知識，一旦進(jìn)入運(yùn)用概念進(jìn)行解題的階段，問題就顯現(xiàn)出來了，尤其是在面對選擇題和判斷題時(shí)，學(xué)生很快就犯傻了，覺得這個(gè)答案似乎是對的，而另一個(gè)答案看起來也是正確的。為何會這樣呢？究其原因，在于學(xué)生沒有真正理解和把握概念所反映的一類事物的本質(zhì)屬性，而這恰恰是概念教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)。那么，如何突破學(xué)生的這一學(xué)習(xí)誤區(qū)呢？我認(rèn)為，教師要做的不是進(jìn)行“填鴨式”的灌輸，也不是強(qiáng)硬的指責(zé)，而是帶領(lǐng)學(xué)生抓住概念的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生通過自主研究來豐富概念表象，從而促進(jìn)對概念本質(zhì)的理解。

例如，教學(xué)“認(rèn)識面積”一課時(shí)，為了避免學(xué)生混淆周長與面積這兩個(gè)概念，我著重從感受直觀的面積表象入手，分多個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生展開研究活動。層次一，先讓學(xué)生用手摸一摸課桌的面，然后摸一摸黑板的面，并進(jìn)行比較，看看課桌面和黑板面的大小有什么關(guān)系。學(xué)生由此獲得直觀的感知，認(rèn)為每個(gè)物體都有平平的面，這些面有大有小，這個(gè)平平的面的大小就是面積。層次二，讓學(xué)生對自己身邊物體的面積進(jìn)行大小比較。學(xué)生找到數(shù)學(xué)書的封面、教室的一面墻、墨水瓶的一個(gè)面等，在比較面積大小后，獲得了面積概念的初步感知，即物體表面的大小就是它的面積。層次三，讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的白紙，先說出這張白紙的面積，再用手摸一摸，然后在白紙上畫出一個(gè)三角形并涂色，讓學(xué)生指出涂色部分的面積。層次四，讓學(xué)生畫一個(gè)其他封閉的圖形并涂色，然后指出所畫圖形的面積。通過以上四個(gè)層次活動的引領(lǐng)，學(xué)生積累了面積的表象，逐步逼近面積的本質(zhì)屬性，并在摸一摸、指一指、畫一畫、涂一涂等直觀的活動探究中感受到“物體表面的大小”這個(gè)概念，深入理解了“封閉圖形的面積”的內(nèi)涵，從而真正掌握面積這個(gè)概念。

二、抽象處多“究”，體驗(yàn)概念形成

有些數(shù)學(xué)概念過于抽象，學(xué)生理解存在一定的難度，這就需要教師提供充分的研究時(shí)空，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入的探究，體驗(yàn)并經(jīng)歷抽象概念的形成過程，由此突破概念理解的難點(diǎn)。

例如，教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”一課時(shí)，如何引導(dǎo)學(xué)生明確分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的區(qū)別和聯(lián)系，既是學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)這一數(shù)學(xué)概念的核心，又是這一教學(xué)內(nèi)容的抽象點(diǎn)所在。為此，我進(jìn)行了預(yù)習(xí)設(shè)置，先讓學(xué)生用直尺畫一條長1／2分米的線段，再用一幅圖表示一個(gè)物體的1／2，然后結(jié)合課前預(yù)習(xí)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間有什么異同。學(xué)生從這個(gè)問題出發(fā)展開小組合作研究，尋找分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的不同。首先，書寫方法不同。百分?jǐn)?shù)的分子既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)，但分?jǐn)?shù)的分子通常都是整數(shù)。其次，分?jǐn)?shù)的意義和百分?jǐn)?shù)的意義不同。分?jǐn)?shù)是指把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)；而百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。從概念的定義上看，學(xué)生易于區(qū)分百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)，但在實(shí)際操作中卻沒有獲得深刻的認(rèn)知。為此，我讓學(xué)生舉例來進(jìn)行比對辨析：“拿出課前準(zhǔn)備的1／2分米的線段和表示一個(gè)物體的1／2的圖形，看看大家畫的線段是否都一樣長，表示一個(gè)物體的1／2的圖形是否都一樣。”學(xué)生認(rèn)為，大家畫的1／2分米的線段長度當(dāng)然是一樣的，因?yàn)樗硎镜氖且粋€(gè)長度，代表一分米的一半，也就是五厘米，這是一個(gè)固定的標(biāo)準(zhǔn)；但表示一個(gè)物體的1／2的圖形則可以不一樣，因?yàn)檫@里的1／2表示的是將一個(gè)整體平均分成2份，其中的1份是1／2。這里的“一個(gè)整體”可以是多種多樣的，沒有一個(gè)固定的標(biāo)準(zhǔn)。也就是說，1／2分米是一個(gè)具體的長度，而1／2則是兩個(gè)部分進(jìn)行比較后得到的一個(gè)比率。于是，我再引導(dǎo)學(xué)生思考：“這里有兩個(gè)1／2，其中哪一個(gè)可以改寫成百分?jǐn)?shù)呢？”立刻有學(xué)生回答：“1／2分米不能改寫，而1／2則可以改寫成百分?jǐn)?shù)，因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)只能表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，也就是表示兩個(gè)數(shù)相比的關(guān)系。”“1／2也可以表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，所以可以改寫為50%。”我繼續(xù)追問：“請大家舉例說明，分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)表示的意義有何不同？”學(xué)生舉例80%可以表示4／5，4／5也可以改寫成80%，但4／5千克就不能改寫成80%千克。學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的區(qū)別：分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，也可以表示一個(gè)具體的數(shù)量；百分?jǐn)?shù)則只能表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，即一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。學(xué)生通過自主研究，親身經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)兩個(gè)概念發(fā)展延伸的過程，從而逐步抽象出兩個(gè)概念的本質(zhì)，真正理解了所學(xué)的概念。

三、易錯(cuò)處精“磨”，建構(gòu)概念理解

數(shù)學(xué)知識具有連續(xù)性，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)互相遷移影響的交叉現(xiàn)象，這就是容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方。根據(jù)建構(gòu)主義理論，學(xué)習(xí)者建立概念的過程，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)自主建構(gòu)的過程，通過外在因素的影響，不斷修正原有的學(xué)習(xí)材料和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自主建構(gòu)概念。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在容易出錯(cuò)的地方進(jìn)行精心打“磨”，帶領(lǐng)學(xué)生深入探究所學(xué)的概念。

例如，教學(xué)“軸對稱圖形”一課時(shí)，根據(jù)蘇教版教材的編排體系，在三年級下學(xué)期初步認(rèn)識對稱現(xiàn)象和軸對稱圖形，到了四年級上學(xué)期才會采用對折等方法來確定軸對稱圖形的對稱軸。課堂教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)如果一開始不引入對稱軸的概念，學(xué)生就無法深入理解軸對稱圖形的概念。為此，我在初學(xué)階段先出示三角形、梯形、五角星、圓等圖形，讓學(xué)生判斷它們是否是軸對稱圖形，從而讓學(xué)生明晰折痕所在的直線就是對稱軸，這樣學(xué)生就有了判斷軸對稱圖形的依據(jù)——看是否能找到這樣的對稱軸。接下來，我出示一般的平行四邊形，讓學(xué)生判斷是否是軸對稱圖形，這是個(gè)容易出錯(cuò)的地方。我先讓學(xué)生動手操作折一折，看是否能夠找到平行四邊形的對稱軸，然后思考：“是不是所有的平行四邊形都不是軸對稱圖形呢？”學(xué)生通過交流研討后發(fā)現(xiàn)，特殊的平行四邊形也可以是軸對稱圖形。通過在錯(cuò)誤處的精心研究，學(xué)生不僅完善了原有的知識體系，而且為下一步學(xué)習(xí)平行四邊形的知識奠定了基礎(chǔ)，自主建構(gòu)了數(shù)學(xué)概念的理解。

總之，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)離不開學(xué)生的自主研究，教師要積極創(chuàng)設(shè)研究的氛圍，突出研究的關(guān)鍵點(diǎn)、抽象點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，讓學(xué)生對概念的理解落實(shí)到位，能靈活運(yùn)用所學(xué)的概念解決問題。