對《理論力學教程》中一個問題的再討論

尹海峰

(凱里學院物理與電子工程學院, 貴州 凱里　556011)

對《理論力學教程》中一個問題的再討論

尹海峰

(凱里學院物理與電子工程學院, 貴州 凱里556011)

摘要關于“一張錯誤的插圖”問題，文獻[1-3]對經典教材《理論力學教程》中描述剛體平面平行運動的公式(3.7.3)的理解有誤. 教材中公式(3.7.3)是剛體上任一點的速度在動坐標系中的分量形式. 由于對坐標系與參考系概念的區分不清楚，參考文獻[1-3]的作者以及部分學生和教師認為動坐標系是在轉動參考系中建立的. 本文作者認為研究剛體平面平行運動的3.7節沒有選擇轉動參考系；為了研究的方便，以地面為參考系中建立了兩個坐標系來描述剛體的平面平行運動.

關鍵詞運動學；參考系；坐標系

REDISCUSSION OF ONE PROBLEM IN “THEORETICAL MECHANICS TUTORIAL”

Yin Haifeng

(College of Physics and Electronic Engineering, Kaili University, Kaili, Guizhou 556011)

AbstractRegarding “an error illustration” problem, references [1-3] misunderstand the formula (3.7.3), which describes the plane parallel motion of rigid body, in classic textbook “theoretical mechanics tutorial”. The formula (3.7.3) of classic textbook is the velocity component of anyone point of rigid body in the moving coordinate system. Because of the unclear distinguishing of coordinate system and reference system, authors of references [1-3], some students and teachers think the moving coordinate system is established in the rotating reference. In this paper, we think rotating reference is not chosen in 3.7 section, which study the plane parallel motion of rigid body. For the convenience of research, taking the ground as a frame of reference, two coordinate systems are established to describe the plane parallel motion of rigid body.

Key wordskinematics; frame; coordinate system

《物理與工程》第16卷第5期、第18卷第3期和第22卷第2期，分別刊登了“對《理論力學教程》中兩個問題的討論”[1]和“對‘對《理論力學教程》中兩個問題的討論’一文的質疑”[2]以及“關于‘對《理論力學教程》中兩個問題的討論’的討論”[3]3篇文章(以下分別簡稱“文章一”、“文章二”和“文章三”). 仔細研讀3篇文章后發現，對于“一張錯誤的插圖”問題，3篇文章作者對周衍柏先生編著的經典教材《理論力學教程》[4]中相應部分內容的理解不全面或者有誤. 同樣考慮到周先生的教材影響面比較大，目前仍被許多高校采用，因此，對于該問題的繼續探討，就顯得非常必要和有意義. 本文再次對“一張錯誤的插圖”相關問題展開討論.

1教材中的插圖

《理論力學教程》教材中插圖3.7.2(如圖1所示)，涉及剛體的平面平行運動[4].

圖1　《理論力學教程》中插圖3.7.2

當剛體平面平行運動時，可以認為它的運動是隨基點的平動以及繞基點的轉動這兩種基本運動所合成. 設A為基點，在某一時刻，其速度為VA,又在此時刻，薄片(即剛體)繞轉動的角速度為ω，則薄片上任一點的速度(見圖1)為

(1)

式中，r′為P對A的位矢，r為P對固定坐標系原點O的位矢，而r0為基點A對O的位矢，故ω×r′是P點繞A點轉動的速度.

設P相對于固著在固定平面上的坐標系O-xy而言，其坐標為(x，y);相對于固著在薄片上并隨薄片一同運動的坐標系A-x′y′而言，其坐標為(x′，y′)；而A相對于O-xy系的坐標為(x0，y0).因ω恒垂直于固定平面和薄片，即沿z和z′軸，故式(1)的分量表達式相對于O-xy系和相對于A-x′y′分別為

(2)

(3)

23篇文章對于插圖的分析

文章一對周先生教材中圖3.7.2提出的問題是: 圖1與公式(2)和(3)(即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)相矛盾[1]. 文章一還認為: “如果選擇固連于薄片的坐標系A-x′y′,那么該動坐標系為轉動參照系,應該屬于該教材后面一章的內容. 顯然本章應用的仍是該教材第一章平動參照系中的知識,即P點的絕對速度等于牽連速度加上在平動參照系A-x′y′中的相對速度.”

文章二指出，文章一中“圖1與公式(2)和(3)(即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)相矛盾”這一結論是錯誤的；文章一提到的關系式y-y0=y′和x-x0=x′，在周先生的教材中是不存在的，更為重要的是這兩個關系式也是錯誤的[2]. 同時，文章二引入了“本體坐標系”，認為： “周先生的教材中在討論剛體平面平行運動時已將該運動等效為基點的平動加繞基點的轉動這兩部分運動的疊加. 這樣,如果取本體坐標系,剛體的轉動就可以等同于本體坐標系相對于空間坐標系的轉動”.

文章三同樣認為，文章一中的結論“圖1與公式(2)和(3)(即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)相矛盾”和文章一中的觀點“在研究剛體的平面平行運動的3.7節，不用選擇固連于剛體的轉動參照系，宜采用平動參照系”都是錯誤的. 同時，文章三提出： “選擇轉動參照系是研究剛體的平面平行運動的轉動瞬心、本體極跡的需要.事實上《理論力學教程》正是利用式(3.7.3),令，得到‘轉動瞬心在A-xyz系中的坐標’”.

3對于原問題的分析

對于教材中所涉及的剛體平面平行運動部分的討論，文章一、文章二、文章三以及部分學生和教師對于坐標系與參照系概念的區分不清楚. 文章一認為： “如果選擇固連于薄片的坐標系A-x′y′,那么該動坐標系為轉動參照系,應該屬于該教材后面一章的內容”. 這種把坐標系等同于參照系的認識是錯誤的. 文章二雖然認為文章一中“轉動參照系應該屬于該教材后面一章的內容”的觀點過于牽強，但是并沒有對坐標系與參考系概念進行區分. 文章三，同樣存在對于坐標系與參考系概念區分不清楚的問題. 對于經典力學，選擇不同的參考系，物體的運動規律會有所不同(比如物體的軌道形狀取決于參考系的選取)；但是對于相同的參考系，物體的運動規律與選擇的坐標系無關，即物體的運動規律與選擇的“靜止”直角坐標系、“轉動”極坐標系和“動”自然坐標系無關.

參考文獻[1-3]以及部分學生和教師，對于教材中剛體平面平行運動部分公式(3) (即周先生教材中 (3.7.3)公式)的理解不全面或者有誤. 這主要是由于，他們認為動坐標系A-x′y′是在轉動參考系中建立的. 實際上，筆者認為周先生教材中的坐標系O-xy和坐標系A-x′y′都是在同一個參考系中建立的，即可以認為都是在以地面為參考系中建立的. 若坐標系A-x′y′是在固連于剛體的轉動參考系中建立的，則剛體相對于轉動參考系靜止，即剛體上的任意一點P在坐標系A-x′y′中始終靜止；在任意時刻P點的速度都為零，即vx′=0,vy′=0. 坐標系O-xy與坐標系A-x′y′的關系，類似于在同一個參考系中建立的直角坐標系和自然坐標系的關系. 相對于同一個參考系，公式(2)和(3) (即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)分別是P點的速度在靜坐標系o-xy和動坐標系A-x′y′中的分量形式. 在任意時刻，不同坐標系中P點的速度方向相同，大小也相同). 以地面為參考系建立的動坐標系A-x′y′，是研究剛體的平面平行運動的轉動瞬心、本體極跡的需要. 在不同時刻t，動坐標系A-x′y′的坐標軸方向會有所不同. 在時刻t，坐標系A-x′y′的坐標軸方向是一定的，周先生教材中剛體平面平行運動部分公式(3.7.3)考慮的是，在時刻t，以地面為參考系，P點的速度v在坐標系A-x′y′中的分量形式.

[1]呂剛，宮衍香.對《理論力學教程》中兩個問題的討論[J].物理與工程,2006,16(5):56-58.

[2]鞠國興. 對“對《理論力學教程》中兩個問題的討論”一文的質疑[J].物理與工程,2008,18(3):60-64.

[3]蔣小勤. 關于“對《理論力學教程》中兩個問題的討論”的討論[J].物理與工程, 2012,22(2):1-3.

[4]周衍柏.理論力學教程[M].3版. 北京:高等教育出版社,1986:144-150.

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作者簡介：尹海峰，男，副教授，主要從事理論物理的教學和研究工作，研究方向為納米材料的光學特性.yinhaifeng1212@126.com

基金項目：貴州省2013年物理學專業綜合改革試點項目，凱里學院原子與分子物理重點學科項目，國家自然科學基金(批準號：11464023).

收稿日期:2014-10-02