矩形薄板通透開裂縫對固有頻率和模態的影響分析*

龔 健 ，盧奐采，2* ，陳振安 ，莊一舟 ，金江明

(1．浙江工業大學機械工程學院，浙江杭州310014;2．浙江省信號處理重點實驗室，浙江杭州310014;3．福州大學土木工程學院，福建福州350108)

0 引 言

板結構廣泛應用于土木、機械和航天等工程領域［1-2］，因此，板結構開裂后的振動響應及其特征一直是動力學領域研究的熱點［3-4］，其中矩形開裂薄板為重要的研究對象。

對于矩形薄板的模態響應，國內外學者做了深入的研究。眾所周知，對于四邊固支的無開裂的彈性薄板，根據薄板振動理論［5-6］，可求得板振動模態響應的解析解，但通透開裂薄板結構的振動模態響應，則沒有解析解。L． Y． Shen 等［7-8］在1993年，從理論上分析了開裂板的兩類模態分裂(mode splitting)的情況，其研究結果解釋了模態分裂的現象，但缺乏開裂板的振型函數等理論解。Asif Israr 等［9］在2008年，較為詳盡地推導了裂縫板的振動方程及固有頻率公式，并對矩形鋁板的振動響應進行了實驗驗證。樊久銘等［10］在2011年，用有限元軟件，分析了薄板裂縫的位置和深度等參數對矩形板模態振型和模態頻率的影響，并進行了實驗，結果表明裂縫的深度和位置對振型有較大的影響。郝曉克等［11］在2013年，研究了矩形薄板的開裂特征及其聲-振響應，從聲學和振動的角度分析了開裂薄板的振型和固有頻率的變化規律和影響。但是，目前的研究基本上未對矩形開裂薄板的模態交叉現象進行分析和解釋。

因此，為了研究矩形通透開裂薄板的模態交叉問題，本研究首先給出矩形薄板在一定深度裂縫情況下的固有頻率的計算公式，然后建立通透開裂薄板的有限元模型，通過仿真算例，分析薄板在對稱開裂和不對稱開裂時，隨著開裂長度增大，板的固有頻率變化與振型變化的趨勢和規律，分析模態交叉現象發生的原因。

1 單條裂縫矩形薄板模態的基本理論

四邊固支的矩形薄板，在具有單條裂縫的情況下，其模型如圖1 所示。

圖1 四邊固支帶開裂縫的矩形薄板示意圖

設矩形薄板的撓度為w(x，y)，可表示為各階模態振型的疊加:

式中:Xm(x)，Yn(y)—x 和y 方向的振型函數;m，n—x和y 方向的模態的階數;Amn—各階模態的貢獻。

具有裂縫特征的薄板的近似解的理論如文獻［9］:當開裂中心位置為薄板中心，裂縫長度較短時，廣義質量Mmn和廣義剛度Kmn分別為:

式中:ρ—板的密度;h—板的厚度;a，b—矩形板的長和寬;D—抗彎剛度;lc—裂縫的縫長;μ—板的泊松系數。

因此，可以推導開裂板的固有角頻率ωmn和頻率fmn分別為:

需要注意的是，上述公式只適用于裂縫深度與板厚度的比值在70%以下的情況，而對于通透開裂(裂縫深度與板厚度的比值為100%)則不適用。因此，為了獲得通透開裂薄板的模態信息，本研究采用有限元方法計算。

2 矩形通透開裂薄板模態的有限元仿真與分析

2．1 矩形通透開裂薄板的有限元模型

本研究利用ANSYS 軟件，建立有限元模型如下:對稱開裂薄板的有限元模型如圖2(a)所示;不對稱開裂的有限元模型如圖2(b)所示。

圖2 薄板不同開裂位置的有限元模型

本研究采用彈性殼單元(shell 63)，選取鋼質材料，密度ρ =7． 85 ×103kg/m3，彈性模量E =2． 1 ×105MPa，泊松比μ=0．3。

矩形薄板尺寸為820 mm ×520 mm ×1．5 mm，通透開裂是薄板和長方體(尺寸與開裂相同)通過差集(subtract)得到，尺寸為lcmm×0．2 mm×1．5 mm。

網格設置取三角形單元(能夠保證結果有非常高的精度)，單元邊長20 mm，自由劃分網格。

薄板邊界條件為四邊固支。

2．2 對稱開裂薄板的固有頻率變化與模態交叉

如圖2(a)中XOY 坐標系所示，設對稱開裂薄板的裂縫中心位于(410 mm，260 mm)，且裂縫平行于薄板短邊，開裂長度比ζ=lc1/b 即開裂長度與短邊長度之比，以間隔Δζ=4%增加時，仿真獲得模態的固有頻率fmn，前11個模態固有頻率與開裂長度比的關系曲線如圖3 所示。

圖3 對稱開裂板的前11 個模態的固有頻率fmn與開裂長度比ζ 的關系

從圖3 中可知，隨著開裂長度比ζ 增大，各階模態的固有頻率都隨之下降，原因是板的剛度不斷減小，完全吻合式(4)所揭示的規律。另外，隨著ζ 增大，各模態的固有頻率fmn呈‘z’形規律，即:在0≤ζ≤20%和90%≤ζ≤96%時，各階模態的固有頻率幾乎不變;在某些開裂長度比的區間里，固有頻率值改變則很明顯，如2-1 模態的固有頻率f21在50%≤ζ≤80%時變化幅度較大;2-2 模態的固有頻率f22在70%≤ζ≤90%時變化幅度較大。所以，各階模態可根據固有頻率變化規律分為3 個級別:①頻變級，表示頻率變化特別顯著，并改變了固有頻率次序;②影響級，指頻率變化較大但沒有改變固有頻率次序;③微影響級，即頻率變化不大。具體劃分如表1 所示。

表1 各階模態的分類

頻變級中如4-1 模態，在圖3 的矩形框所示，當40%≤ζ≤56%時，隨著ζ 增大，4-1 模態的固有頻率f41從f41＞f22變化到f41＜f22，像這種模態與對應的固有頻率次序沒有始終一一對應的現象，被稱為模態交叉，如圖4 所示。同理，當56%≤ζ≤70%時，4-1 模態的固有頻率f41從f41＞f12變化到f41＜f12，也發生了模態交叉。

圖4 對稱開裂板的模態交叉圖

由圖3 可知，當ζ =96%時，兩個相鄰的模態，諸如(2m，n)階模態與(2m－1，n)階模態的固有頻率幾乎相同。這是因為此時薄板幾乎分裂成兩塊，而這兩塊小板所有條件都相同，它們的固有頻率相同。薄板的固有頻率是由兩塊小板所決定的，因此，此類相鄰兩階模態對應的固有頻率相同。只是對于薄板整體而言，裂縫兩側的板的振動有以下兩種組合:對稱和相反。1-1 模態振型，裂縫兩側的振動對稱如圖5(a)所示，2-1 模態，裂縫兩側的振動相反如圖5(b)所示。以及，3-1 模態振型和4-1 模態振型如圖5(c)，5(d)所示。更重要的是，薄板無開裂時，4-1 模態的固有頻率f41與3-1 模態的固有頻率f31間隔2 個頻率。因此，隨著ζ 增大并最終f41=f31，f41必然要跨越f22和f12，出現圖4 所示的模態交叉現象。這說明在對稱開裂薄板中，開裂的縫長是產生模態交叉非常重要的因素。

另外，本研究將對稱開裂板和無開裂板的固有頻率作對比發現:對于(m，n)階模態，當m 是奇數時，頻率變化不大;當m 是偶數時，頻率變化很明顯。也就是說，當開裂處于振型的波峰或者波谷位置時，開裂對板的固有頻率的影響較小，但在節線(位移為零)位置時對頻率的影響達到較大。這是因為開裂在節線位置時，有兩方面對振型產生影響:

圖5 ζ=96%時板的前4 個模態振型圖

一方面是對振型函數在此處的斜率最大，以x 方向為例，由于裂縫Δx 存在，所以振型函數變化量ΔXm(x)最大;

另一方面是當板無開裂時，節線兩邊的振動在方向相反的內應力作用下使得節線處的位移為零，而當幾乎完全開裂時裂縫的邊界處失去了另外一側應力的約束，使得裂縫兩側的板產生背向振動，導致位移變化較大，如圖5(d)中4-1 模態振型，裂縫兩側為振動幅值最大值。

因此，對于同一個位置，不同振型函數的影響不同，說明開裂中心在節線上或者附近是產生模態交叉現象重要的因素之一。

2．3 不對稱開裂薄板的固有頻率變化與模態交叉

如圖2(b)中XOY 坐標系所示，設薄板裂縫開裂中心的坐標為(205 mm，260 mm)，開裂直縫平行于短邊，薄板的其他參數與2．2 節中算例的參數相同。前11 個固有頻率隨開裂長度比ζ 的變化曲線如圖6所示。

圖6 不對稱開裂薄板前11 個固有頻率fmn隨開裂長度比ζ 的變化

同樣由圖6 可知，各階模態的固有頻率都有所降低，符合公式(4)中的趨勢。根據固有頻率變化的規律可以分為3 個級別:

①頻變級。如4-1 模態、4-2 模態、5-1 模態;

②影響級。如3-1 模態、1-3 模態、3-2 模態等;

③微影響級。如1-1 模態、2-1 模態、1-2 模態、2-2模態、2-3 模態等。

模態交叉圖如圖7(a)所示。數據來源于圖6 的模態交叉區2，選取當44%≤ζ≤56%時，f22幾乎沒有發生變化，穩定在106 Hz 左右，而f41卻從117 Hz 減小到99 Hz，發生了模態交叉。

模態交叉圖如圖7(b)所示。數據來源于圖6 中模態交叉區3，選取當56%≤ζ≤68%時，f12變化不大，穩定在90 Hz 左右，而f41從96 Hz降低至87 Hz，從而發生了模態交叉現象。

在上述兩種算例中，薄板的4-1 模態和6-1 模態，由于開裂中心都在節線上或者附近，隨著ζ 增大，振型函數改變較大，容易產生模態交叉現象。

同時與2．2 節算例相比表明，開裂位置不同時，隨著ζ 增大，都能產生類似的模態交叉。這表明模態交叉不是孤例，具有廣泛的存在，尤其在高階模態中，因此該研究結果對有通透開裂的板結構的檢測和模態分析具有重要理論意義。

3 結束語

本研究通過對具有通透開裂矩形薄板的有限元仿真，計算和分析了不同開裂長度條件下，薄板固有頻率的變化規律和模態交叉現象，得到以下結論:

(1)隨著開裂長度的增大，由于板的剛度降低，矩形板的固有頻率呈現降低趨勢;另外，固有頻率fmn隨開裂長度比的變化ζ 呈‘z’字形規律。依據固有頻率的變化規律，固有頻率變化的幅度可分為3 個級別:頻變級、影響級和微影響級。處于頻變級階段中的模態，易發生模態交叉現象。

(2)通透開裂縫的長度和開裂中心位于模態節線上或者節線附近是產生模態交叉的重要因素。

(3)薄板的4-1 模態和6-1 模態，由于開裂中心都在模態節線上或者節線附近，隨著ζ 增大，產生了模態交叉現象。模態交叉現象的獲取，可成為薄板開裂的檢測和模態分析技術的重要理論依據。

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