一類具有飽和發生率和治療的SEIS模型的分析

劉國永,李桂花

(中北大學 數學系，山西 太原 030051)

一類具有飽和發生率和治療的SEIS模型的分析

劉國永,李桂花

(中北大學 數學系，山西 太原 030051)

研究了一類具有飽和發生率和治療的SEIS模型的動力學性態.利用定義法給出模型的基本再生數,得到各類平衡點存在的條件.采用 Routh-Hurwitz 判據證明了地方病平衡點P*是局部漸近穩定的; 利用第二加性復合矩陣證明了地方病平衡點P*全局穩定性的充分條件.

飽和發生率;治療;基本再生數;穩定性

0 引 言

關于治療函數的研究,Wang和Ruan在文獻[1]中提出在醫療資源有限時采用常數治療率(將社區的治療容量看作常數), 當患病者的數量很大時, 這種治療函數是比較合理的.Wang等在文獻[2]中考慮了更符合實際治療的治療函數h(I),

(1)

其中m=kI0,k是治療率. 研究發現,當治療能力較弱時, 模型會出現雙穩態的平衡點, 同時也會出現后向分支.Zhang等在文獻[3]中研究了具有飽和發生率及治療函數如(1)的SIS模型的動力學性態, 發現系統發生后向分支;Li等在文獻[5]中考慮了具有非線性發生率的治療函數如(1)的SIR模型的動力學性態, 發現系統同樣存在后向分支. 本文將考慮具有飽和發生率和治療的SEIS模型, 假設潛伏期的患者不具有傳染性, 染病者治愈后具有短暫免疫力, 過一段時間后又變為易感者. 將總人口(N)分為易感者(S), 潛伏者(E), 染病者(I), 考慮具有飽和發生率和治療的SEIS模型如下:

(2)

其中正參數A表示人口的輸入,d表示人口的自然死亡率,γ表示自然恢復率,μ表示因病死亡率,ε表示由潛伏者轉化為患病者的概率,β是接觸率系數,α為正常數并且0≤α≤1,h(I)是(1)中的治療函數.

2 平衡點的存在性

本節將討論系統(2)的平衡點的存在性. 很顯然,系統(2)有一個無病平衡點P0(A/d,0). 若0≤I≤I0時, 令系統(2)右端為零, 有

(3)

若I0≤I時, 令系統(2)右端為零, 有

(4)

定理1 當0≤I≤I0, 也即1

下面討論I>I0時, 系統(2)平衡點的存在性, 也即討論方程組(4)的解的存在性. 由方程組(4)可以得到I滿足如下方程:

f(I)=A1I2+A2I+A3=0,

(5)

其中,

A1=αdεγ+[dδ+ε(d+μ)](β+αd)>0,

A2=d(d+ε)(δ+k)(1-R0)+d[mβ+(mα-k)(d+ε)],A3=(d+ε)md>0.

(6)

由Δ≥0, 得

(7)

或

(8)

同理, 由I2>I0, 得

(9)

綜上所述,得到下面的定理：

定理2I>I0時，有

(i)系統(2)不存在正平衡點, 若滿足以下條件之一: (a)R0

(ii)如果R0>p2且p4

(iii)如果R0>p2且R0>p3時, 系統(2)存在兩個正平衡點P1和P2.

定理3 如果1

證明 由定理2可知, 如果R0

2 平衡點的局部穩定性

首先討論無病平衡點的穩定性. 系統(2)在無病平衡點P0處的Jacobian矩陣為

特征方程為

(λ+d)[λ2+(d+ε+δ+k)λ+d(d+ε)(δ+k)(1-R0)]=0.

當且僅當R0<1時, 該特征方程的特征根均有負實部. 因此, 當R0<1時,無病平衡點P0是局部漸近穩定的; 當R0>1時, 無病平衡點P0不穩定.

定理4 如果R0<1時, 無病平衡點P0是局部漸近穩定的; 若R0>1時, 無病平衡點P0不穩定.

下面討論正平衡點的穩定性. 當1

特征方程為

λ3+B1λ2+B2λ+B3=0.

其中

顯然, 由計算機得到B1B2-B3>0成立, 根據Routh-Hurwitz判據可知, 矩陣J(P*)的特征根均具有負實部. 即地方病平衡點P*是局部漸近穩定的.

定理5 如果1

下面討論I>I0時系統正平衡點的穩定性. 即當R0>max{p2,p3}時, 系統(2)的地方病平衡點P1和P2均存在, 但利用解析的方法很難判斷其穩定性, 這里不再深入討論其穩定性.

3 平衡點的全局穩定性

定理6 如果1

證明 系統(2)在P*處的Jacobian矩陣為

矩陣JP*的第二加性復合矩陣為

矩陣B = PfP-1+ PJP*[2]P-1可以寫成分塊矩陣

其中

(d+δ+k).

因此

所以

即有

所以滿足文獻[9]中定理3.3.7條件, 從而當1

4 總 結

本文研究了一類具有飽和發生率和治療的SEIS模型的動力學性態. 利用定義法算出模型的基本再生數, 從而得到各類平衡點存在的閾值條件. 利用Routh-Hurwitz判據證明了地方病平衡點P*是局部漸近穩定的; 研究發現, 當1

[1]WangW,RuanS.Bifurcationsinanepidemicmodelwithconstantremovalrateoftheinfectives[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2004, 291(2): 775-793.

[2]WangW.Backwardbifurcationofanepidemicmodelwithtreatment[J].Mathematicalbiosciences, 2006, 201(1): 58-71.

[3]ZhangX,LiuX.Backwardbifurcationofanepidemicmodelwithsaturatedtreatmentfunction[J].Journalofmathematicalanalysisandapplications, 2008, 348(1): 433-443.

[4]HuZ,LiuS,WangH.Backwardbifurcationofanepidemicmodelwithstandardincidencerateandtreatmentrate[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2008, 9(5): 2302-2312.

[5]LiXZ,LiWS,GhoshM.StabilityandbifurcationofanSIRepidemicmodelwithnonlinearincidenceandtreatment[J].AppliedMathematicsandComputation, 2009, 210(1): 141-150.

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[7]ArinoJ,McCluskeyCC,vandenDriesscheP.Globalresultsforanepidemicmodelwithvaccinationthatexhibitsbackwardbifurcation[J].SIAMJournalonAppliedMathematics,2003, 64(1): 260-276.

[8]DushoffJ,HuangW,Castillo-ChavezC.Backwardsbifurcationsandcatastropheinsimplemodelsoffataldiseases[J].Journalofmathematicalbiology, 1998, 36(3): 227-248.

[9] 馬知恩, 周義倉, 王穩地, 等. 傳染病動力學的數學建模與研究[M]. 北京:科學出版社,2004.

[責任編輯：王軍]

·學術動態·

華東師范大學博士生導師何品剛教授蒞臨我校講學

2015年4月27日上午，應我校化學化工學院的邀請，華東師范大學化學系博士生導師何品剛教授在文化路校區化學實驗樓311室作了題為“DNA電化學生物傳感技術研究”的學術報告.報告會由化學化工學院院長趙文獻主持，化學化工學院部分師生聆聽了報告.

何品剛教授首先從傳統DNA電化學傳感器、納米材料修飾電極的DNA電化學傳感器和均相非固定體系DNA傳感器三個方面介紹了他的課題組開展相關科研工作的研究背景.隨后，何品剛教授介紹了他的課題組在利用電子掃描電鏡進行多通道基因突變的檢測、基于熒光on-off原理實現電化學的基因檢測以及合成多種聯吡啶釕功能化的環糊精分子用于DNA及其他生物分子檢測分析方向的最新研究成果，并與化學化工學院的教師們進行了深入的學術交流.

何品剛教授語言樸實幽默、邏輯清晰，研究背景貼近生活，研究內容新穎前沿.本場精彩的學術報告讓大家受益匪淺，博得了全體與會師生的陣陣掌聲，尤其何教授的課題組在多通道基因突變分析方面的創新性研究工作博得了在場師生的一致贊許.會后，何教授與我校生物分子識別與傳感河南省高校重點實驗室的科研人員就研究生培養及專業方向的一些學術問題進行了討論和交流.

何品剛，博士，教授，華東師范大學博士生導師，任上?；瘜W化工學會分析化學專業委員會主任，上海市歐美同學會常務理事，華東師大分會會長.主持科技部863重點項目“重大環境污染事件特征污染物現場快速檢測技術系統”課題；國家自然科學基金項目“電致化學發光DNA探針”、“基于有序納米電極材料和納米標識劑構建新型納米生物傳感器的研究”、“基于新型聯吡啶釕環糊精衍生物和主-客體識別的電致化學發光生物傳感技術研究”和“均相DNA雜交電化學生物分子識別技術的研究”等課題.在J.Am.Chem.Soc，Chem.Comm.，Anal.Chem.等SCI雜志上發表研究論文160余篇.

Analysis of an SEIS epidemic model with saturated rate and treatment

LIU Guoyong, LI Guihua

(Department of Mathematics, North University of China, Taiyuan 030051,China)

The dynamical behaviors of an SEIS model with saturated rate and treatment is investigated. The basic reproduction number of the model is given by using the definition,and the existing threshold conditions of all kinds of the equilibrium points are obtained. Locally asymptotic stability of the endemic equilibriumP*isprovedbyusingtheRouth-Hurwitzcriterion，andthesufficientconditionsofglobalasymptoticstabilityoftheendemicequilibriumP*isalsoobtainedbyusingthesecondadditivecompoundmatrix.

saturated rate; treatment; basic reproduction number; stability

2015-01-15

國家自然科學基金資助項目(11201434)

劉國永(1989-)，男，山西塑州人，中北大學碩士研究生，主要從事應用數學的研究.

O

A文獻標識碼：1672-3600(2015)06-0010-06