完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺，趙永紅

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘，476000)

完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺，趙永紅

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘，476000)

通過(guò)完整系統(tǒng)的Tzénoff方程,給出了該系統(tǒng)Tzénoff方程的Lie對(duì)稱性及其共形不變性的定義,研究了該系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性及其守恒量, 給出了這種守恒量的函數(shù)表達(dá)式和導(dǎo)出這種守恒量的判據(jù)方程, 最后給出一個(gè)應(yīng)用實(shí)例.

完整系統(tǒng)；Tzénoff方程;Lie對(duì)稱性;共形不變性;守恒量

0 引 言

1918年德國(guó)女科學(xué)家A.E. Noether首次發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱性與守恒量之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性可以找出系統(tǒng)的守恒量[1]，為尋找實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)的守恒規(guī)律提供了方法和途徑. 但是，當(dāng)時(shí)并沒(méi)有引起太多人的重視，直到20世紀(jì)70年代，分析力學(xué)界才開(kāi)始認(rèn)識(shí)到Noether理論的科學(xué)價(jià)值，從此對(duì)稱性與守恒量的研究得到蓬勃發(fā)展，并取得了一系列重要成果[2-14].1997年,俄羅斯學(xué)者Galiullin等在研究Birkhoff 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)時(shí)首次提出了Birkhoff方程的共形不變性和共形因子的概念, 并討論了Pfaff 作用量在無(wú)限小變換下的不變性與共形不變性及Lie 對(duì)稱性與共形不變性之間的關(guān)系[15]. 共形不變性及其守恒量的研究較為復(fù)雜，我國(guó)學(xué)者關(guān)于約束系統(tǒng)共形不變性的研究起步較晚，蔡建樂(lè)和梅鳳翔教授在2008年研究了Lagrange 系統(tǒng)Lie點(diǎn)變換下的共形不變性與守恒量[16]，從此推動(dòng)了共形不變性及其守恒量的研究，現(xiàn)在共形不變性的研究已逐步擴(kuò)展到Hamilton系統(tǒng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)、機(jī)電力學(xué)系統(tǒng)、變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)等動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，并取得了不少成果[17-22].1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動(dòng)力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù)，他建立了一類新型運(yùn)動(dòng)微分方程被稱為Tzénoff方程，與其它動(dòng)力學(xué)方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比較，Tzénoff方程至今仍為最簡(jiǎn)捷的動(dòng)力學(xué)微分方程．在1985到1987年期間，我國(guó)學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[23]、變質(zhì)量系統(tǒng)[24]，近年來(lái)Tzénoff方程的對(duì)稱性與守恒量的研究也取得了一些成果[25-31],但關(guān)于Tzénoff方程的共形不變性與守恒量的研究還沒(méi)見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道.

本文研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性及其守恒量.首先,建立完整系統(tǒng)的Tzé-noff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性共形不變性的概念, 給出了Lie對(duì)稱性共形不變性的確定方程和產(chǎn)生相應(yīng)守恒量的表達(dá)式及導(dǎo)出這種守恒量的必要條件, 最后通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)例說(shuō)明本文結(jié)果的應(yīng)用.

1 完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,…,n)來(lái)確定，質(zhì)點(diǎn)的矢徑ri=ri(t,qs),系統(tǒng)的Tzé-noff函數(shù)為

(1)

(2)

展開(kāi)(2)式可得到廣義加速度

(3)

2 完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性

取時(shí)間不變的特殊無(wú)限小變換

(4)

或其展開(kāi)式

(5)

其中ε是一無(wú)限小參數(shù)，ξs為無(wú)限小生成元. 由于Lie對(duì)稱性是微分方程在群的無(wú)限小變換下的一種不變性[3]，又因方程(2)有(3)式的結(jié)果，所以，根據(jù)定義可得完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的判據(jù)方程

(6)

或

(7)

即

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3 Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性所導(dǎo)出的守恒量

完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性因限制條件多,導(dǎo)出守恒量較難,但滿足一定條件下也可導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量.

(14)

則Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性將直接導(dǎo)出Hojman守恒量

(15)

式中算符

(16)

證明 將(15)式按(16)式的關(guān)系對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并利用Lie對(duì)稱性判據(jù)方程(8)和算子換算關(guān)系

得

將(14)式代入上式，得

證畢.

4 應(yīng)用例子

已知完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為

(17)

試研究該力學(xué)系統(tǒng)Lie對(duì)稱性的共形不變性和其導(dǎo)出的守恒量.

解 把Tzénoff函數(shù)(16)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff方程(2),得

(18)

即

(19)

取

ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2,

(20)

有

(21)

所以,Lie對(duì)稱性共形不變性的判據(jù)方程(10)成立,系統(tǒng)具有Lie對(duì)稱性的共形不變性,其共形因子

(22)

顯然,生成元(19)滿足Lie對(duì)稱性判據(jù)方程(8), 系統(tǒng)同時(shí)也具有Lie對(duì)稱性.

方程(14)式給出

(23)

它有如下解

μ=t2,

(24)

(25)

(23)式只能給出平凡守恒量

IH1=4

(24)式給出Hojman守恒量

(26)

5 結(jié) 語(yǔ)

本文首次研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性及其守恒量，通過(guò)建立完整系統(tǒng)的Tzénoff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性共形不變性的概念, 給出了Lie對(duì)稱性共形不變性的確定方程和產(chǎn)生相應(yīng)守恒量的表達(dá)式及導(dǎo)出這種守恒量的必要條件. 該研究結(jié)果對(duì)進(jìn)一步探究非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的共形不變性及其守恒量奠定了理論基礎(chǔ)．

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[責(zé)任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang ，ZHAO Yonghong

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

By the Tzénoff equations of holonomic systems, the definitions of conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given. Conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in the systems are studied. The function expressions of conserved quantities and the criterion equations which deduce the conserved quantities are obtained. Finally, an example is given to illustrate the application of the result.

holonomic systems; Tzénoff equations; Lie symmetry; conformal invariance; conserved quantity

2015-03-07；

2015-03-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372169)

鄭世旺(1963-)，男，河南蘭考人，商丘師范學(xué)院教授；主要從事分析力學(xué)的研究.

O320

A

1672-3600(2015)06-0039-05