仿射K?hler-Scalar曲率為零的仿射K?hler流形

胡傳峰，姬秀,崔艷麗

(1長江大學 文理學院基礎課部, 湖北 荊州 434000;2．防空兵學院 訓練部，河南 鄭州450052)

仿射K?hler-Scalar曲率為零的仿射K?hler流形

胡傳峰1，姬秀1,崔艷麗2

(1長江大學 文理學院基礎課部, 湖北 荊州 434000;2．防空兵學院 訓練部，河南 鄭州450052)

仿射K?hler-Scalar曲率; Hessian流形; 仿射K?hler流形;

0 引言及主要結果

眾所周知,J-C-P定理(n=2[1],n≥5[2],[3],)陳述了Monge-Pogorelov方程(1)的任意嚴格凸光滑解一定是二次多項式.

det(fij)=1.

(1)

設x:M→An+1是由定義在凸域Ω?An上的某局部嚴格凸函數xn+1=f(x1,...,xn)給出的超曲面.李安民和許瑞偉在文獻[4]中證明了:若f滿足(2),則函數f一定是二次多項式.

(2)

本文我們研究下面的方程

(3)

易知,若f滿足(1)或(2),則函數f一定滿足(3).方程(2)意味著K?hler-Ricci曲率為零,而(3)意味著K?hler-Scalar曲率為零.

1 基礎知識

設f(x1,...,xn)是定義在凸域Ω?An上的局部嚴格凸函數,考慮圖超曲面

M={(x,f(x))|xn+1=f(x1,...,xn)}

(4)

余法場

U=(-f1,...,-fn,1)

(5)

下面給出一些基本公式[1]相應于度量G的聯絡有Chistoffel符號

(6)

Fubini-Pick張量Aijk和Weingarten張量滿足

(7)

因此有相對Pick不變量

(8)

Gauss積分條件和Codazzi方程是

Rijkl=∑fmh(AmjkAhil-AikmAhjl),

(9)

Aijk,l=Aijl,k,

(10)

由(9)得Ricci張量

Rik=∑fmhflj(AmliAhjk-AikmAhjl),

(11)

定義函數

為了證明主要定理,我們先需證明Φ=0,再利用J-C-P定理.

2 主要定理的證明

由(3)得

(12)

其中

(13)

任取p∈M, 在點p的領域取局部正交標架場, 利用(13)得

設Φ≠0取局部正交標架場使得

ρ1(p)=|gradρ|(p)>0,ρi(p)=0,i>1

則有

(14)

利用(13)及不等式

可得

利用Ricci恒等式得

由上述等式及(14)得

由下述兩個方程

可得

進而可得

由

可得

由Δρ≤nρ2及李奇曲率非負可得

兩邊同時積分得

由M緊致得

Φ=0,利用J-C-P定理得到f一定是二次多項式.

證畢

[1] J?rgens K.über die L?sungen der Differentialgleichungrt-s2=1[J]. Math. Ann.,1954,127:130-134.

[2] Calabi E.Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K[J]. J?rgens,Michigan Math. J.,1958,5:105-126.

[3] Pogorelov.Av. On the Improper convex affine hyperspheres[J]. Geom. Dedicata, 1972(1):33-46.

[4] Li Anming, Xu Ruiwei. A rigidity theorem for an affine K”{a}hler-Ricci flat graph[J], Result Math.,2009,56:141-164.

[5] Li A M, Jia F. On the Bernstein Property of Affine Maximal Hypersurfaces[J]. Annals of Global Analysis and Geometry, 2003, 23:359-372 .

[6] 秦華軍.仿射完備極大曲面的一個結果[J].四川大學學報, 2003(4):637-640.

[7] Li A M, Simon U,Zhao G. Global Affine Differential Geometry of Hypersurfaces, Walter de Grayter [M]. Berlin, New York, 1993.

[責任編輯：王軍]

·學術動態·

蘭州大學功能有機分子化學國家重點實驗室

楊尚東教授蒞臨我校講學

2015年4月23日上午，應我校化學工學院邀請，蘭州大學功能有機分子化學國家重點實驗室學術帶頭人，有機化學六所所長，博士生導師楊尚東教授在文化路校區化學實驗樓三樓學術報告廳作了題為《Phosphine-participated C-H Transformation》學術報告.報告會由應天學者劉瀾濤博士主持，化學化工學院部分師生聆聽了報告.

楊教授主要從兩個方面給大家講解了他們課題組的研究成果.首先介紹了他們組在過渡金屬如銅、銀、鈀參與下, 通過C—H 鍵或P—H鍵活化構建C—P鍵、C—C鍵等新型有機合成方法方面的最新研究成果，并簡單介紹了他們組如何將成果用于一些藥物分子如二期臨床抗艾滋病藥物IDX899的合成.隨后，楊教授又介紹了他的課題組在含磷基團導向的過渡金屬催化的交叉偶聯方面取得的研究成果.

楊教授語言幽默、邏輯清晰，研究內容新穎前沿.本場精彩的學術報告讓大家受益匪淺，博得了全體與會師生的陣陣掌聲.報告會上，楊教授與化學化工學院的師生進行了深入的學術交流.

楊尚東，教授、博士生導師，實驗室學術帶頭人，有機化學六所所長.研究興趣目前主要集中在有機磷化學和不對稱C-H鍵活化方法學研究.1997年本科畢業于蘭州大學化學系.1997年至2003年在甘肅省電力科學研究院工作.2006年在蘭州大學化學化工學院獲得博士學位.2006至2007年在北京大學從事博士后研究并獲得中國博士后科學基金一等資助.2007至2009年在美國芝加哥大學從事博士后研究.2009年4月起受聘蘭州大學功能有機分子化學國家重點實驗室教授，博士生導師.2011年入選教育部 “新世紀優秀人才支持計劃”.2013年獲得國家自然科學二等獎(排名第四)和中國百篇最具影響國際學術論文獎.2015年獲得Thieme Chemistry Journal Award獎.2014年開始擔任《中國化學快報》青年編委.已在J. Am. Chem. Soc., Angew. Chem. Int. Ed., Org. Lett., Chem. Commun., Chem. Eur. J.等刊物上發表SCI論文40余篇.

On affine K?hler manifolds with zero affine K?hler-Scalar curvature

HU Chuanfeng1, JI xiu1, CUI Yanli2

(1.Yangtze University College of Arts and Science,Jingzhou 434000, China;2.Department Training of the Air Defense College, Zhengzhou 450052, China)

affine K?hler-Scalar curvature; Hessian manifold; affine K?hler manifolds

2014-11-02

湖北省教育廳科研基金資助項目(No.B2014281)

姬秀(1979-)，女，河南信陽人，長江大學講師，碩士，主要從事微分幾何的研究.

O174.2

A

1672-3600(2015)06-0035-04