基于非均勻線陣的壓縮感知波達方向估計

刁 鳴，高 璐，高洪元，馮平輝

（1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，哈爾濱 150001；2.國家電網浙江省電力公司，杭州 310000）

基于非均勻線陣的壓縮感知波達方向估計

刁 鳴1，高 璐1，高洪元1，馮平輝2

（1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，哈爾濱 150001；2.國家電網浙江省電力公司，杭州 310000）

為提高壓縮感知波達方向估計的陣列利用率，提出一種基于非均勻線陣的正交匹配追蹤（OMP）算法。根據來波方向的大致范圍，分別利用等角度方式和等正弦方式將空間角度劃分成若干份，使用非均勻線陣作為信號的接收陣列，并將經過角度劃分的非均勻線陣陣列流形陣作為觀測矩陣，采用觀測矩陣對信號進行投影測量得到維數較低的觀測值，從觀測值中重構原信號，進而得到待估計信源的方位信息。仿真結果表明，與多重信號分類（MUSIC）算法相比，該算法所需快拍數小、抗噪能力強、陣列利用率高，與均勻線陣條件下的OMP算法和基于空間平滑的MUSIC算法相比，具有更高的測角分辨力和更強的解相干能力。

非均勻線陣；正交匹配追蹤；壓縮感知；波達方向估計；陣列利用率；測角分辨力

DO I：10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.016

1 概述

波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計作為陣列信號處理的重要分支，正處于如日中天的發展之中。最早基于陣列的DOA估計算法為常規波束形成（Conventional Beam forming，CBF）法［1］，這種算

法的方位估計精度較低，無法分辨一個波束寬度內不同的空間信號。以多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［2］為代表的子空間分解類算法利用陣列接收數據的信號子空間與噪聲子空間相互正交的特點構造空間譜函數，實現了超分辨DOA估計。然而這類算法需要借助空間平滑（Spatial Smoothing，SS）［3］等算法才能實現相干信源的DOA估計，這種解相干算法嚴重地損失了陣列孔徑，極大地降低了算法的估計精度，且需要較長時間的持續采樣，即所需快拍數較大。以極大似然（Maximum Likelihood，ML）算法［4］為代表的子空間擬合類算法能夠直接對相干信源進行DOA估計，且不會損失陣列孔徑，然而這類算法的本質是尋找非線性函數最優解的過程，需要進行多維搜索，運算量巨大、耗時長。

上述傳統DOA估計算法大多是在均勻線陣的條件下研究的，要想擴展陣列孔徑，提高算法的空間測角分辨力，只能增加陣元數，這會造成工程成本急劇增大。非均勻線陣（Non-uniform Linear Array，NLA）能夠在不增加陣元數的條件下充分地擴展陣列孔徑，然而非均勻線陣會導致上述解相干算法失效。

近幾年出現的壓縮感知［5-7］（Compressing Sensing，CS）理論提出了一種新穎的信號采樣思想。該理論指出對于某個變換域內的稀疏信號均可用低于Nyquist采樣頻率對信號進行采樣，并利用重構算法實現信號的精確重構［8-10］。實際上，在 DOA估計的整個觀測空間中僅存在少量感興趣信號，即目標在空間上是稀疏分布的，因此，可將壓縮感知理論應用于DOA估計中。

壓縮感知DOA估計算法大致可以分為3類：以基追蹤算法為代表的凸優化算法，以鏈式追蹤算法為代表的組合優化算法以及以正交匹配追蹤算法為代表的貪婪算法。這3類算法各有優缺點：凸優化算法具有較高的重構精度，但是計算量巨大且容易出現能量從低尺度到高尺度的搬移現象。組合優化算法能夠更加快速便捷地重構信號，但是其重構精度較低。而以正交匹配追蹤算法為代表的貪婪算法［11-12］利用冗余字典中若干元素的線性組合表示信號，通過迭代找到與信號最匹配的元素來逼近信號，逐漸降低估計信號和原始信號的殘差，從而實現信號的精確重構。正交匹配追蹤算法兼顧了估計精度和運算速度，應用較為廣泛。

目前，大部分針對壓縮感知DOA估計的研究都是在均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）的條件下進行的［13-15］。 以上述研究為基礎，為了充分地擴展陣列孔徑，提高算法的測角分辨力，本文提出一種基于非均勻線陣的正交匹配追蹤算法（NLA-OMP）。

2 信號模型和壓縮感知的基本原理

2.1 信號模型

固定M元均勻線陣的陣列孔徑，陣元間距為入射信號波長的一半，隨機去掉若干個陣元，得到與M元均勻線陣等價的m（m＜M）元非均勻線陣。當n個遠場窄帶復信號矢量 S（t）=［s1（t）s2（t）…sn（t）］T分別從方向（θ1θ2…θn）入射到上述非均勻線陣上時，m個陣元在t時刻的接收信號矢量表達式X（t）為：

其中，矩陣 A為 m×n維非均勻線陣陣列流型陣；N（t）為n×1維加性零均值高斯白噪聲矢量，且：

其中：導向矢量 a（θn）如下：

其中，i=1，2，…，n；dk（2≤k≤m）為第k個陣元到參考陣元的距離。

2.2 壓縮感知基本原理

其中，α為對應的系數矩陣，則信號S為ψ域上的稀疏信號。利用l×n（l＜＜n）維觀測矩陣Φ對稀疏信號S進行投影測量，得到維數較低的觀測值向量y，則：

其中，ξ為加性零均值高斯白噪聲向量；Θ為感知矩陣。此時，僅需從觀測值向量y中重構系數 α即可完成信號S的精確重構。當感知矩陣Θ滿足約束等容（Restricted Isometry Property，RIP）條件［13-14］時，可通過求解y的最優l0范數來重構系數α。為了降低計算量，許多學者研究表明，可以通過匹配追蹤等算法精確地重構原信號。

3 基于非均勻線陣的正交匹配追蹤算法

非均勻線陣陣列流形陣形式較為固定，且各個導向矢量之間具有一定的正交性，可作為觀測矩陣。

正交性越大，越能精確地重構原信號。將2.1節中的M元均勻線陣的陣列流形陣記為矩陣，則在經過角度劃分的整個觀測空間中：

其中，b=1，2，…，β。在此經過角度劃分的觀測空間中將與上述均勻線陣等價的m元非均勻線陣陣列流形陣A更新為：

其中，dk（2≤k≤m）為第 k個陣元與參考陣元的間距。

利用觀測矩陣對信號 S進行降維處理，得到觀測值。通過計算觀測矩陣的各個列向量與當前觀測值的內積，找到與當前觀測值最匹配的列向量；去掉該列向量并更新觀測矩陣，繼續在觀測矩陣中選擇與當前殘差最匹配的列向量。ULA-OMP算法僅利用了非均勻線陣的陣列形式和其擴展陣列孔徑的能力，不涉及非均勻線陣的其他性質，因此，所提算法能夠實現非均勻線陣條件下相干信源的波達方向估計。

總結ULA-OMP算法步驟如下：

（1）根據待測信源角度范圍將空間角度均勻劃分成為 β份。

（2）利用m元非均勻線陣接收 β×1維的 n稀疏信號S，將非均勻線陣陣列流形陣A的導向矢量擴充為 β個。

（3）將A作為觀測矩陣 Φ，對信號 S進行投影測量，得到信號的觀測值y=AS+ξ，初始化殘差向量r0=y。

（4）將A中每一個列向量記作一個原子，計算每個原子與殘差的內積，記錄內積最大值時所對應的原子序號：

更新原子集合 Δg=Δg-1∪｛a（μf）｝以及原子序號索引集合Ωg=Ωg-1∪｛f｝，其中，g為迭代次數。

（5）利用最小二乘法得到逼近信號：

（6）更新殘差rg=y-ΔgSg，g=g+1。

（7）判斷迭代次數g與信號稀疏度n的關系，若g＜n則返回步驟（4），若 g≥n，則輸出信號譜峰對應的空間網格，即為入射信源的方位估計值

4 實驗結果與分析

實驗1 獨立信源DOA估計成功概率

獨立信源分別從7°和13°的方向入射到5陣元非均勻線陣上，入射信號波長為λ，非均勻線陣陣元擺放位置為噪聲為零均值高斯白噪聲，噪聲與信號相互獨立，掃描間隔為0.1°。當快拍數為50時，分別在上述非均勻線陣和5陣元均勻線陣的條件下利用OMP算法和MUSIC算法對獨立信源進行DOA估計，蒙特卡羅實驗次數為500次。

圖1為上述算法對獨立信源進行DOA估計的成功概率（成功概率單位為1）。其中，NLA-OMP為本文所提基于非均勻線陣的OMP算法；ULA-OMP為均勻線陣條件下的OMP算法；ULA-MUSIC為均勻線陣條件下的MUSIC算法；NLA-MUSIC為非均勻線陣條件下的MUSIC算法。

圖1 獨立信源DOA估計的成功概率

仿真實驗結果表明，ULA-MUSIC算法和NLAMUSIC算法均需要較高的信噪比才能得到較大的成功概率。當信噪比降低到5 dB時，ULA-MUSIC算法完全失效，NLA-MUSIC算法的估計成功概率降低到0.7以下。當信噪比降低到3 dB時，ULA-OMP算法的成功概率降低到0.9以下，NLA-OMP算法的成功概率仍能達到0.9以上，明顯高于其他3種算法。可見，在上述4種算法中，NLA-OMP算法在低信噪比的條件下處理獨立信源時具有最高的測角分辨力。

實驗2 小快拍、大陣列孔徑獨立信源DOA估計成功概率

圖2為當快拍數較小、陣列孔徑較大時，上述算法對獨立信源進行DOA估計的成功概率。

圖2 小快拍、大陣列孔徑獨立信源DOA估計的成功概率

當快拍數較小時，ULA-MUSIC算法即使在高信噪比條件下估計成功概率依然在0.7以下。NLAMUSIC算法由于獲得了較大的陣列孔徑，當信噪比達到12 dB時能夠獲得0.9以上的估計成功概率。當信噪比降低到2 dB時，ULA-MUSIC算法和NLAMUSIC算法均失效。此時，ULA-OMP算法能夠實現獨立信源的DOA估計，但其成功概率僅能達到0.7，而NLA-OMP算法由于充分擴展了陣列孔徑，成功概率能夠達到0.9以上。可見由于獲得了更大的陣列孔徑，NLA-OMP算法在小快拍數、低信噪比的惡劣條件下仍能以較高的成功概率估計獨立信源的方位信息。

實驗3 相干信源DOA估計成功概率

相干信源分別從6°和11°的方向入射到5陣元非均勻線陣上，入射信號波長為λ，非均勻線陣陣元擺放位置為噪聲為零均值高斯白噪聲，掃描間隔為0.1°。當快拍數為50時，分別在上述非均勻線陣和5陣元均勻線陣的條件下利用OMP算法進行DOA估計。由于SS-MUSIC算法僅適用于均勻線陣，因此分別在5陣元的均勻線陣以及與上述與非均勻線陣等價的12陣元均勻線陣條件下對相干信源進行 DOA估計。蒙特卡羅實驗次數為500次。

圖3為上述算法對相干信源進行DOA估計的成功概率。其中，ULA-SS-MUSIC（5）為5陣元均勻線陣條件下的基于空間平滑的MUSIC算法；ULASS-MUSIC（12）為12陣元均勻線陣條件下的基于空間平滑的MUSIC算法。由圖3可知，由于空間平滑算法嚴重損失了陣列孔徑，即使在高信噪比的條件下ULA-SS-MUSIC（5）算法仍然完全失效。ULASS-MUSIC（12）算法通過大量增加陣元數，實現了高信噪比條件下相干信源的DOA估計，但其成功概率較低，可見這種以損失陣列孔徑為代價的解相干算法嚴重地降低了算法的測角分辨力。當信噪比達到12 dB時，ULA-OMP算法的成功概率能夠達到0.9以上，但當信噪比降低時，該算法的成功概率急劇下降，NLA-OMP算法在4 dB時成功概率就能達到0.9以上，可見NLA-OMP算法在低信噪比的條件下處理相干信源時仍有較好的DOA估計性能。

圖3 相干信源DOA估計的成功概率

實驗4 小快拍相干信源DOA估計成功概率

實驗3的條件不變，當快拍數為15時，對實驗3中的信號進行DOA估計。

圖4為快拍數較少時，上述算法對相干信源進行DOA估計的成功概率。由圖4可知，ULA-SSMUSIC（5）算法ULA-SS-MUSIC（12）算法完全失效；ULA-OMP算法在信噪比達到16 dB時，成功概率才能達到0.9以上，而NLA-OMP算法在信噪比為9 dB時，成功概率能達到0.9以上，可見，本文所提算法能夠在小快拍數、低信噪比的惡劣條件下以高概率精確重構相干信號并實現相干信源的DOA估計。

圖4 小快拍數相干信源DOA估計的成功概率

5 結束語

本文提出一種基于非均勻線陣的正交匹配追蹤算法。該算法利用非均勻線陣作為接收陣列，并將觀測矩陣更新為經過角度劃分的非均勻線陣陣列流形陣。仿真結果表明，與均勻線陣條件下的 SSMUSIC算法和OMP算法以及非均勻線陣條件下的MUSIC算法相比，該算法具有更高的測角分辨力、抗噪能力和解相干能力，實現了非均勻線陣條件下相干信源的DOA估計。然而該算法仍存在一定的改進空間，如在陣元數不變的情況下，如何設計陣元的擺放方式，得到固定條件下壓縮感知DOA估計性能最優的陣列結構，從而進一步提高壓縮感知DOA估計的陣列利用率。

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編輯 劉 冰

Direction of Arrival Estimation Using Com pressed Sensing Based on Non-uniform Linear Array

DIAO Ming1，GAO Lu1，GAO Hongyuan1，FENG Pinghui2
（1.College of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.State Grid Zhejiang Electric Power Corporation，Hangzhou 310000，China）

In order to improve the array utilization rate of Direction of Arrival（DOA）estimation using Com pressing Sensing（CS），this paper proposes an Orthogonal Matching Pursuit（OMP）algorithm based on Non-uniform Linear Array（NLA）.For the proposed algorithm，the observation space which is divided into a plurality of parts according to the rough range of DOA by using uniform angle division and uniform sine division.It uses the NLA to accept the signal，and makes the angle divided NLA manifold as measuring matrix.It projects and measures the signal with measuring matrix to achieve the observation value which has lower dimension，reconstructs the sparse signal and estimates the DOA from the observed values.Simulation results show that this algorithm needs fewer number of snapshots，achieves excellent antinoise performance，and gets higher array utilizable rate com pared with Multiple Signal Classification（MUSIC）algorithm. It also achieves higher angular resolution and the ability of dealing with coherent sources compared with OMP algorithm and MUSIC algorithm based on Spatial Smoothing（SS）under the Uniform Linear Array（ULA）.

Non-uniform Linear Array（NLA）；Orthogonal Matching Pursuit（OMP）；Compressing Sensing（CS）；Direction of Arrival（DOA）estimation；array utilization rate；angular resolution

刁 鳴，高 璐，高洪元，等.基于非均勻線陣的壓縮感知波達方向估計［J］.計算機工程，2015，41（10）：83-87.

英文引用格式：Diao Ming，Gao Lu，Gao Hongyuan，et al.Direction of Arrival Estimation Using Com pressed Sensing Based on Non-uniform Linear Array［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：83-87.

1000-3428（2015）10-0083-05

A

TN911.7

國家自然科學基金資助項目（61102106）；中央高校基本科研業務費基金資助項目（HEUCF140809）；中國博士后科學基金資助項目（2013M 530148）；黑龍江省博士后科學基金資助項目（LBH-Z13054）。

刁 鳴（1960-），男，教授、博士生導師，主研方向：移動通信，陣列信號處理；高 璐，碩士研究生；高洪元，副教授；馮平輝，助理工程師。

2014-11-04

2014-12-01E-mail：gaolu-hrbeu@foxmail.com