衛星對地面目標時間窗口快速預報算法*

宋志明,戴光明,王茂才,彭雷

(中國地質大學 計算機學院，湖北 武漢　430074)

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衛星對地面目標時間窗口快速預報算法*

宋志明,戴光明,王茂才,彭雷

(中國地質大學 計算機學院，湖北 武漢430074)

摘要：衛星對地面目標的時間窗口計算是航天領域的一個重要問題。對圓軌道衛星對地面靜止目標的時間窗口問題進行了研究，并針對該問題提出一種快速求解方法。該算法首先分析未考慮地球自轉時的衛星對地面目標的時間窗口，然后根據地球自轉特征對計算結果進行迭代修正，從而得到該周期內衛星精確的時間窗口。通過數值計算結果表明，衛星時間窗口絕對誤差在0.1 ms量級，相比1 s步長的跟蹤傳播法，計算時間減少99.1%。

關鍵詞：時間窗口;快速算法;迭代修正;地面目標

0引言

衛星對地面目標的時間窗口是指衛星經過地面目標的上空，可以與目標進行通訊與數據傳輸，或是衛星可對地面目標進行觀測的時間范圍。衛星與地面目標的任何直接信息交換都必須在衛星對該地面目標的時間窗口中，因此時間窗口計算具有重要的意義，在遙感、通訊、衛星調度及導航定位等領域中都有重要應用[1-3]。

衛星對地面目標時間窗口計算的經典方法是跟蹤傳播法[4]，該方法過程簡單，能針對多種要求下時間窗口進行計算，計算結果可以任意精確，但缺點是算法效率很低，因此跟蹤傳播法一般用來作為對比的算法。

文獻[5]提出一種利用同軌道周期的大圓來對一個周期內衛星星下點軌跡進行近似的方法，通過迭代計算時間窗口，但算法精確度較低。文獻[6]采用軌道過濾的思想將無時間窗口的衛星周期過濾以提高計算效率。文獻[7]根據衛星對地覆蓋幾何特征得到衛星對地視函數的方法，然后采用迭代求解視函數方程。文獻[8]提出一種基于衛星星下點軌跡的幾何特征的解析方法，得到觀測仰角對時間的函數，但該方法計算效率較低。文獻[9]提出一種基于數值計算的龐加萊映射法來求解時間窗口，能夠精確地求得時間窗口范圍，但計算過程需要用到數值積分，求解過程復雜。

本文針對圓軌道衛星提出快速準確的計算時間窗口的方法，首先在不考慮地球自轉下得到一個時間窗口，然后根據地球自轉的特性對時間窗口范圍進行迭代修正。數值試驗表明，該算法計算速度較快，對低軌衛星而言計算結果可精確至0.1 ms量級。相比1 s步長的跟蹤傳播法，計算速度提高120倍。

1時間窗口的計算

1.1時間窗口計算基礎

1.1.1衛星與地面目標相對幾何關系

設衛星到地面的距離為Re+h，其中Re表示地球半徑，h為衛星到地面的高度。如圖1所示，在某時刻衛星在點S，與地心O的連線交地面于Q，即衛星的星下點為Q，假設此時地面目標位于P點，則P點對衛星的觀測仰角為θ，P點到衛星星下點Q點的角距離為α，有

(1)

當P點的觀測仰角為最小觀測仰角時，即θ=θmin，此時P點到Q點的角距離達到最大。

(2)

由此可知，衛星對地面點P可視的條件是α≤αmax。

圖1　衛星與地面目標幾何關系示意圖Fig.1　Geometry relationship between satellite　　　 and ground target

1.1.2時間窗口存在的必要條件

對于軌道傾角為i的衛星，衛星的星下點緯度φS可達的緯度范圍是

(3)

則衛星對緯度為φC地面目標有時間窗口的必要條件為

(4)

因此，如果地面目標緯度φC不滿足式(4)，則可以直接斷定，在任何仿真時段下，該衛星對該地面目標均無時間窗口。后續公式推導都是在滿足式(4)的基礎上進行的。

1.1.3問題的基本假設

本文對以下公式推導只針對圓軌道衛星，即衛星的偏心率e=0，同時將地球當作標準球體，且不考慮攝動因素的影響。但這并不意味著該算法僅能在這些限制下計算時間窗口，本算法可以比較容易地對這些因素進行擴展，但相應的公式需要進行對應的修正。

1.2不考慮地球自轉時時間窗口計算

衛星距升交點的角距(沿衛星運行方向測量)即為衛星的緯度幅角ψ，緯度幅角即為經典軌道六根數里面的近地點輻角與真近點角之和。衛星的軌道傾角為i，考慮升交點經度為σ0(在地固系下的經度)的一個衛星周期內的軌道。衛星所在的經緯度為(σS,φS)，假設在不考慮地球自轉時，衛星恰好可對經緯度為(σC,φC)的地面目標進行覆蓋。則此時，衛星與地面目標的角距離應該等于αmax。則

cosφCcosφScos(σC-σS)+sinφCsinφS=cosαmax.

(5)

將(σC-σS)表示為(σC-σ0)-(σS-σ0)，可得：

cosαmax=sinφCsinφS+

cosφCcosφScos(σC-σ0)cos(σS-σ0)+

cosφCcosφSsin(σC-σ0)sin(σS-σ0).

(6)

假設衛星此時的緯度幅角為ψ，對于不考慮地球自轉時，如圖2所示。

圖2　衛星星下點軌跡球面幾何關系Fig.2　Spherical Geometry relationship of　　　satellite sub-point trace

根據球面三角形基本公式，有以下關系：

(7)

將式(7)帶入式(6)得

cosαmax=cosφCcos(σC-σ0)cosψ+

(8)

令

C=cosφCcos(σC-σ0),

D=sinφCsini+cosφCsin(σC-σ0)cosi,

(9)

則

cosαmax=Ccosψ+Dsinψ.

(10)

根據σ0的不同，以緯度幅角ψ為函數的式(10)可能有0個、1個或2個根。這個函數是一個多值函數，當函數有根時，可以得到

(11)

式中：角度λ為

(12)

則由式(11)解得

(13)

(14)

如果通過式(13)和(14)解出的緯度幅角ψ不在[0,2π)區間，則將其調整到[0,2π)區間。

由于αmax>0，則經分析可知，有覆蓋的緯度幅角范圍為

(15)

對于式(10)中對應的多值函數，由于它的圖形看起來像一個氣泡，這種圖形稱作氣泡圖[10]，圖中每個封閉的區域稱作一個氣泡。將對地面目標有覆蓋的緯度幅角范圍隨衛星升交點經度的變化而形成的氣泡圖稱作覆蓋圖。圖3為在不考慮地球自轉時，對固定的地面目標(116E,40N)的覆蓋圖。由圖3可知，該圖形由2個氣泡組成。其中，圖中紅線表示對特定升交點經度有覆蓋的緯度幅角的下界，藍線表示上界。

圖3　不考慮地球自轉時的覆蓋圖Fig.3　Coverage graph without considering　　　the earth's rotation

對于圓軌道衛星，有ψ=nS(t-t0)，其中，nS為衛星的平均角速度，t0為衛星過升交點的時刻，則

(16)

根據式(16)可以得到緯度幅角ψ1，ψ2各自對應的時刻t1，t2，然后根據式(15)中的對應關系得到升交點經度為σ0的一個周期內的軌道對地面目標有覆蓋的時間窗口。

1.3考慮地球自轉時公式修正

假設地球自轉角速度為ωe，衛星的平均角速度為nS。考慮地球自轉時，某升交點經度σ0下時間窗口范圍需要進行對應修正。首先計算在不考慮地球自轉時時間窗口的緯度幅角范圍，即通過式(13)與式(14)求解。由于σ0已經進行調整，對某些有時間窗口的σ0在按照式(13)與式(14)進行求解時，其中的反三角余弦函數時可能無解，因此，需要將公式改寫為

(17)

式中：λ由式(12)解得。

相比不考慮地球自轉時情況，考慮地球自轉時，地面目標右移，則在t時刻對經度為σC的地面目標覆蓋，和不考慮地球自轉時對經度為σC-ψ1ωe/nS的目標一致。通過式(17)可以得到ψ1與ψ2的值，將式(9)里面的σC替換為σC-ψ1ωe/nS，即

C=cosφCcos(σC-ψ1ωe/nS-σ0),

D=sinφCsini+cosφCsin(σC-ψ1ωe/nS-σ0)cosi.

(18)

將C與D的值帶入式(13)中，λ的計算公式中的C與D也由式(18)得出。

將式(9)里面的σC替換為σC-ψ2ωe/nS，即

C=cosφCcos(σC-ψ2ωe/nS-σ0),

D=sinφCsini+cosφCsin(σC-ψ2ωe/nS-σ0)cosi.

(19)

將C與D的值帶入式(14)中，λ的計算公式中的C與D也由式(19)得出。

得到修正后的緯度幅角2個邊界后，通過式(15)可以得到修正后的緯度幅角范圍，然后再根據式(16)得到修正后的時間窗口。

圖4　進行地球自轉修正后的覆蓋圖Fig.4　Coverage graph after the earth rotation correction

如圖4所示，是經過地球自轉修正后的對地面目標有覆蓋的緯度幅角范圍隨衛星升交點經度變化關系圖。與圖3相比，2個氣泡都往左邊有一個平移，而且氣泡的形狀有微小的變形。這是因為地球自西向東自轉的作用，而且在一個周期內緯度幅角越大，地球自轉的累積效應就越大。

1.4時間窗口的更高精度修正

(20)

迭代結束，其中ε是一個計算要求的精度。

由此可以得到對時間窗口高精度的計算結果。

1.5通過衛星軌道根數計算時間窗口

有了前面的知識，可以對一顆衛星在任意仿真時段內的時間窗口進行計算了。在計算時，首先按衛星每次過升交點對仿真時段進行分割，將仿真時段劃分為若干時間小段，從開始時刻到衛星第1次過升交點為第1小段，用(tS1,tE1)表示，從衛星第1次過升交點到第2次過升交點為第2小段,用(tS2,tE2)表示，依次劃分，最后一次過升交點到仿真結束時刻為最后一小段。

(21)

同時，第1小段時間范圍為

tS1=tStart，tE1=tStart+(2π-ψSt)/nS.

(22)

在不考慮攝動因素影響下，第2段時間衛星升交點經度為

(23)

式中：TP為衛星周期，可由開普勒第三定律求得。

第2小段時間范圍為

tS2=tE1,tE2=tS2+TP.

(24)

對第m段時間衛星升交點經度可由第(m-1)小段時間衛星升交點經度來求得。

(25)

第m小段時間范圍也可由第(m-1)小段時間范圍來求得

tSm=tEm-1,

(26)

已知一個小段時間的衛星升交點經度，則根據前述內容可以計算出在該周期內衛星對地面目標的時間窗口，或計算出在該周期內衛星對地面目標無時間窗口。通過式(15)與(16)聯立得到的時間窗口，可能出現因為劃分時間段而將一個時間窗口劃分為2個的情況，因此最后一步，將因為劃分時間段而被分割的時間窗口合并。

2數值仿真

為對算法的性能進行驗證，本節設計一組數值仿真實驗。分別取距地面高度為500 km，1 000 km和1 500 km的3顆圓軌道衛星，分別命名為衛星1、衛星2與衛星3。3顆衛星軌道傾角均為60°，升交點赤經、近地點幅角和平近點角均為0，最小觀測仰角均為10°，對固定的地面目標(116E,40N)進行覆蓋。仿真起始時刻為2013-01-01 T00:00:00(UTCG)，仿真結束時間為2013-02-01 T00:00:00(UTCG)，仿真時長為31天。

通過跟蹤傳播法的結果為標準結果，對本算法計算結果的誤差進行分析。采用2個誤差函數對計算結果進行統計分析，分別對算法的絕對誤差和相對誤差進行分析。

(27)

其結果如表1所示。

表1　時間窗口絕對誤差均值

3顆衛星在算法收斂時均有1e-5量級的絕對誤差，對誤差的成因進行分析。圖4為收斂時衛星1時間窗口的絕對誤差，由圖可知，所有的點都在±8.6e-5 s與0 s 3條線上，而采用J2000.0歷元，由于機器字長，雙精度值能表示的最小數值為1e-9，單位為天，也就是8.64e-5 s，這與圖5中的結果一致。由此可知，該算法收斂時的誤差為機器字長引起，該算法收斂時，計算誤差小于機器字長對應的最小精度。

圖5　收斂時衛星1的時間窗口絕對誤差Fig.5　Absolute error of the satellite-1’s timewindow when converged

為反映算法計算時間窗口的相對誤差，設計第2個誤差函數，時間窗口相對誤差均值函數為

(28)

即總誤差長度與總長度之比。

相對誤差計算結果如表2所示。

表2　時間窗口相對誤差均值

由表1和表2結果可知，在3個不同高度的軌道上，該算法均能比較快速地收斂，在經過5次迭代后時間窗口誤差已經到毫秒級，當算法收斂時可以達到機器字長所能表示的最小精度。一般的快速時間窗口計算方法誤差為秒級的量級[5,11-12]，本文中算法在計算精度上有明顯的優勢。

同時，對算法計算效率進行分析。仍以跟蹤傳播法為比較對象，取跟蹤傳播法時間步長為1 s，來對比2種算法計算速度，經過計算，對每顆衛星，仿真時長31天，跟蹤傳播法平均計算時間255 s，而快速時間窗口計算算法平均計算時間2.1 s，計算時間減少99.1%。本算法在計算效率上也有較大優勢。

3結束語

本文提出一種高效的計算時間窗口的方法，首先計算不考慮地球自轉時的時間窗口，然后對時間窗口范圍進行修正，從而得到精確的時間窗口。仿真結果表明，該算法精度較高，可以精確至機器字長能表示的最小精度，算法計算效率較高，相比1 s步長的跟蹤傳播法計算效率可提高120倍。該算法目前考慮模型較為簡單，未考慮橢圓軌道、攝動效應及非球形地球模型等因素影響，但該算法可以比較方便對這些因素進行擴展，只需要在迭代修正中加入對應項即可。同時該算法目前只適用于對地面點目標的時間窗口計算。因此，對考慮橢圓軌道、攝動效應及非球形地球模型下時間窗口的計算，以及對區域目標時間窗口計算，是下一步要繼續的工作。

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Fast Predicting Algorithm for Time Windows of Satellites to Ground Target

SONG Zhi-ming, DAI Guang-ming, WANG Mao-cai, PENG Lei

(China Geosciences University,Computer Science School,Hubei Wuhan 430074, China )

Abstract:The calculation of time window between satellite and the ground target plays an important role in the field of aerospace. The time window problem for circular orbit satellite to the ground stationary targets is studied, and a fast predicting method is put forward. Firstly, the method calculates the time window of the satellites to the ground station without considering the earth's rotation, and then iteratively corrects the result with the effect of earth's rotation to get the exactly time window result. The simulation results show that the absolute errors of the time window's magnitude are 0.1 ms. Comparing with the classical orbit propagation method with the step of 1 s，the computing time can decrease by 99.6%.

Key words:time window; fast algorithm; iterative correction; ground target

中圖分類號：V474

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-01-0087-07

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.015

通信地址：430074湖北武漢中國地質大學計算機學院戴光明E-mail：gmdai@cug.edu.cn

作者簡介：宋志明(1986-)，男，山東淄博人。博士生，主要研究領域為衛星軌道設計。

基金項目：國家自然科學基金(61103144)；中國博士后科學基金(2012T50681，2011M501260)

收稿日期：2013-10-30；
修回日期：2014-02-13