步進加速試驗中基于Gamma過程的可靠性建模方法*

徐廷學,王浩偉,張鑫

(海軍航空工程學院 a. 兵器科學與技術系；b. 研究生管理大隊；山東 煙臺　264001)

?

步進加速試驗中基于Gamma過程的可靠性建模方法*

徐廷學a,王浩偉b,張鑫a

(海軍航空工程學院 a. 兵器科學與技術系；b. 研究生管理大隊；山東 煙臺264001)

摘要：某型導彈電連接器屬于高可靠性、長壽命產品，為了對其進行可靠性評估，設計了步進應力加速退化試驗獲取性能退化數據，提出了加速應力下基于Gamma過程的可靠性建模方法。以電連接器的接觸電阻作為性能參量，并根據實際使用環境選擇了溫度、濕度作為綜合加速應力；利用Gamma過程對樣品退化規律進行建模并對模型進行了檢驗；使用廣義艾林模型描述了樣品退化率與溫度、濕度之間的關系。在以上基礎上建立可靠性模型，并采用極大似然法估計出模型參數，成功對該型電連接器在工作條件下可靠度值作出了預測。

關鍵詞：可靠性建模；Gamma過程；步進應力；廣義艾林模型

0引言

近些年，越來越多的長壽命、高可靠性產品出現在軍工、航空航天等領域，對這些產品準確定壽是做好裝備預防性維修工作，提高裝備戰備完好率的重要前提。

廠家給出的是產品在標準工作或貯存條件下的壽命指標，使用這類壽命指標對處于不同工作條件下的產品進行定壽并不合理，為此壽命試驗的方法被用于產品壽命預測。然而高可靠性產品即使在加速壽命試驗中也很難失效，傳統的基于失效數據的方法無法有效預測此類產品的壽命。但是一些高可靠性產品的某些性能指標會隨著時間產生退化，對這些性能退化量進行測量、分析，就可推測出產品的壽命信息。某型導彈電連接器的接觸電阻在使用過程中有變大的趨勢，當接觸電阻退化量達到失效閾值時，可認為電連接器發生失效。所以可通過性能退化分析的途徑研究產品性能退化與壽命之間的關系，通過退化數據對產品進行可靠性評估與壽命預測。

Gamma過程是一種隨機過程模型，具有非負、嚴格單調遞增等特性，適合對退化過程不可逆的產品進行退化建模。Lawless和Crowder[1]研究了帶協變量和隨機影響的Gamma過程，利用其對金屬裂紋增長過程進行建模。Park和Padgett[2]研究了多應力加速情形下基于Gamma過程的退化建模方法。Tseng[3]等研究了基于Gamma過程的步進應力加速退化建模方法及最優加速退化試驗設計，并利用該方法對碳膜電阻退化過程進行了分析研究。Noortwijk[4]對Gamma過程在裝備故障診斷和健康管理中的應用進行了總結。孫中泉和趙建印[5]給出了Gamma過程退化失效可靠性模型及其仿真求解方法，并利用所得模型對強激光裝置所用的某型金屬化膜脈沖電容器進行了可靠性評估。

為了評估某型導彈電連接器在特定工作條件下的可靠性，首先設計了溫濕度雙應力加速退化試驗以獲取性能退化數據，然后使用Gamma模型對產品退化過程進行建模，利用廣義艾林模型描述加速應力與產品退化率之間的關系，最后推導出產品的可靠度模型，對該型導彈電連接器的可靠度值作出了預測。

1基于Gamma過程的可靠性建模

設X(t)表示樣品在時刻t的性能退化量，如果連續時間隨機過程X(t)滿足以下3條性質，則為Gamma過程。

(1)X(0)=0，且X(t)在t=0處連續；

(2)X(t)具有獨立增量，即在任意不相交的時間段[t1,t2],[t3,t4]，增量X(t2)-X(t1)與X(t4)-X(t3)相互獨立；

(3) 對任意的τ>t，X(τ)-X(t)服從Gamma分布Ga(v(τ-t),u)。

Ga(v,u)是形狀參數為v，尺度參數為u的Gamma分布函數，其概率密度函數為

(1)

(2)

假設Gamma退化過程{X(t),t≥0}的初值為0，失效閾值l為常量，ξ表示退化量首次達到失效閾值的時間，即產品的偽壽命值。根據退化失效的定義，ξ=inf{t|X(t)≥l}。由于X(t)嚴格遞增，則有

P(ξ>t)=P(X(t)

(3)

因此，ξ的分布函數為

(4)

式(4)計算起來相當復雜，在實際應用時難以處理，通常采用BS (Birnbaum & Saunders)分布來逼近ξ的分布[6-7]

(5)

相應的概率密度函數為

(6)

2加速模型

產品在不同的應力水平下，性能退化率以某種規律發生變化。加速模型正是對這種規律的數學建模，反映了產品性能退化率與應力水平之間的關系。目前加速試驗中常用的加速應力有溫度、濕度、電應力、振動等，常用的加速模型有阿倫尼斯模型、逆冪率模型、艾林模型等。對于溫度、濕度雙應力加速試驗，可用廣義艾林模型描述性能退化率與應力之間的關系[8]。

(7)

式中：A,B,C為待定常數；T為溫度應力；RH為相對濕度；E為激活能；k為玻爾茲曼常數。

如果溫度應力和濕度應力的交互影響不存在，則C=0。此時式(7)可簡化為

(8)

式中：a=A；b=E/k；c=B。

根據Gamma過程的性質，形狀參數v描述應力對產品性能的影響，尺度參數u描述隨機因素對產品性能的影響。所以一般假設形狀參數v應該隨加速應力變化而變化，而尺度參數u應與加速應力無關。然而這種分析與假設缺少相關證明，下面根據周源泉[9]推導失效分布函數與加速應力之間關系的方法對Gamma過程與加速應力之間的關系進行推導。

張春華[10]對周源泉的推導理論和方法進行了研究，并根據Nelson假設給出了加速系數的另一種定義：

若Fi(ti),Fj(tj)分別表示產品在應力Si和Sj作用下的累積失效概率，如Fi(ti)=Fj(tj)可將應力Si相當于應力Sj的加速系數定義為滿足下式：

(9)

根據文獻[9-11]，產品在各加速應力下的失效機理不變是保證Kij與可靠度無關的常數的必要條件，則恒有下式成立：

Fi(ti)=Fj(Kijti).

(10)

將式(4)代入式(10)，可得

(11)

為了保證式(11)恒成立，以下關系必須滿足

(12)

通過式(12)可得

ui=uj,Kij=vi/vj.

可知u值與加速應力無關，v值與加速應力有關，兩者之間的關系可用退化率函數描述。

(13)

3參數估計

Xijk為第j個樣品在第k個加速應力下第i次的測量值，tijk為第j個樣品在第k個加速應力下進行第i次測量的時間點。ΔXijk=Xijk-X(i-1)jk為性能退化量的增量, Δtijk=tijk-t(i-1)jk為時間增量。根據Gamma過程的特性，可知

ΔXijk～Ga(vΔtijk,u).

(14)

由性能退化數據得到似然函數為

(15)

式中:n1,n2,n3分別為某個樣品的測量次數，某個組合應力下的試驗樣品數，組合應力的個數。

將式(13)代入式(15)可得似然函數為

L(a,b,c,u)=

(16)

將ΔXijk,Δtijk,Tk,RHk代入式(16)，可解得未知參數a,b,c,u的估計值，并可獲得在工作應力水平下的v值。

4實例應用

4.1試驗設計

某型導彈電連接器的失效模式主要有接觸電阻失效、機械失效和絕緣失效3種類型，其中接觸電阻失效是電連接器失效的主要原因[12-13]。在具體使用環境中，此型電連接器的壽命主要受溫度和濕度影響，溫度和濕度可促使插針表面氧化物加速生成，氧化物的堆積促使接觸電阻不斷增大最終導致電連接器失效，試驗中選取溫度、濕度作為綜合加速應力。目前，應用比較成熟的加速試驗方式有恒定應力、步進應力、序進應力3種。綜合考慮到試驗的效率和可操作性，本試驗選用步進應力加速方式獲取產品的性能退化數據。

(1) 隨機抽取10個樣品，根據摸底試驗選擇3組綜合應力S1(T1=75℃，RH1=75%)，S2(T2=100℃，RH2=85%)，S3(T3=125℃，RH3=95%)進行步進應力加速退化試驗。S0(T0=40℃，RH0=65%)為產品的工作應力水平。

(2) 首先在試驗開始前對10個樣品進行測量得到初始退化量(y0k,t0k)，其中k=1,2,…,10，t0k=0。然后在每個加速應力下對性能退化參數各進行5次測量。在S1下的測量間隔為96 h；在S2下的測量間隔為48 h；在S3下的測量間隔為24 h。

(3)使用Agilent 3458a數字多用表對樣品的退化量進行測量。根據該型電連接器的技術文件規定，確定接觸電阻的失效閾值為5 mΩ。

4.2性能退化數據分析

樣品在各個組合應力下的性能退化數據如圖1所示。從圖中可見各樣品的退化軌跡大體呈線性變化，經過計算可得各樣品的性能退化數據嚴格遞增，初步判斷可利用Gamma過程對性能退化數據進行建模。

圖1　樣品的性能退化數據Fig.1　Degradation data of samples

由于試驗中對樣品進行等間隔測量，在每組應力水平下Δti為一固定值。根據Gamma過程的特性ΔXi～Ga(vΔti,u)，對ΔXi進行擬合優度檢驗即可判斷其是否服從Gamma分布，從而確定每個樣品的退化過程是否服從Gamma過程。通過Anderson-Darling 統計量[14]進行置信度為90%的假設檢驗，證明樣品的退化過程服從Gamma過程。

4.3壽命預測

(17)

樣品在S0下的可靠度曲線如圖2所示。

圖2　樣品在S0下的可靠度曲線Fig.2　Reliability curve of samples at S0

樣品壽命的期望值即為樣品的平均壽命，可根據概率密度函數式(6)求得，計算過程如式(18)：

(18)

將式(13)代入式(18)，可進一步得到樣品的在各應力水平下的平均壽命函數

(19)

根據式(19)可得樣品在不同溫度、濕度應力水平下的平均壽命值，如圖3所示。

圖3　各溫度、濕度下的平均壽命值Fig.3　Mean lifetimes at different temperature　　　and humidity

5結論

基于性能退化分析的方法解決了一些高可靠性長壽命產品難以實現可靠性評估的問題，為產品可靠性評估與壽命預測提供了一種有效手段。對本文的研究結論歸納如下：

(1) Gamma過程適合描述嚴格單調遞增的退化過程，等間隔測量時可根據退化增量服從Gamma分布這一特點，對產品退化過程是否符合Gamma過程進行假設檢驗。

(2) 溫度、濕度雙應力試驗可更準確模擬產品在特定工作環境下的真實退化過程；產品退化率與溫度、濕度之間的關系可通過廣義艾林模型進行描述。

(3) 從圖3可知，溫度比濕度對此產品壽命的影響更大。由產品具體的使用環境條件，根據式(19)可推導相應的平均壽命值。

參考文獻：

[1]LAWLESS J, CROWDER M. Covariates and Random Effects in a Gamma Process Model with Application to Degradation and Failure[J]. Lifetime Data Analysis, 2004,10(3): 213-227.

[2]PARK C, PADGETT W J. Accelerated Degradation Models for Failure Based on Geometric Brownian Motion and Gamma Processes[J]. Lifetime Data Analysis, 2005,11(4): 511-527.

[3]TSENG S T, BALAKRISHNAN N, TSAI C C. Optimal Step-Stress Accelerated Degradation Test Plan for Gamma Degradation Process[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2009,58(4): 611-618.

[4]Van Noortwijk J M, A Survey of the Application of Gamma Processes in Maintenance [J]. Reliability Engineering & System Safety, 2009,94(1): 2-21.

[5]孫中泉, 趙建印. Gamma過程退化失效可靠性分析[J]. 海軍航空工程學院學報, 2010,25(5): 581-584.

SUN Zhong-quan, ZHAO Jian-yin. Stochastic Gamma Process Degradation Failure Analysis[J]. Journal of Naval Aeronautical and Astronautical University, 2010, 25(5): 581-584.

[6]周廣新,鄭龍,朱娜,等. 基于B-S分布的加速退化模型[J]. 科學技術與工程, 2012,15(12): 3572-3576.

ZHOU Guang-xin, ZHENG Long, ZHU Na, et al. Accelerated Degradation Models Based on B-S Distribution[J]. Science Technology and Engineering, 2012,15(12): 3572-3576.

[7]汪趙新. 基于Gamma過程的步進應力加速退化試驗設計方法[D]. 長沙:國防科學技術大學,2011.

WANG Zhao-xin. The Design Approaches of Step-Stress Accelerated Degradation Tests Based on Gamma Processes[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2011.

[8]趙宇. 可靠性數據分析[M]. 北京:國防工業出版社, 2011.

ZHAO Yu. Data Analysis of Reliability[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2011.

[9]周源泉,翁朝曦,葉喜濤. 論加速系數與失效機理不變的條件[J].系統工程與電子技術, 1996,18(1):55-66.

ZHOU Yuan-quan, WENG Chao-xi, YE Xi-tao. Study on Accelerated Factor and Condition for Constant Failure Mechanism[J]. Systems Engineering and Electronics, 1996,18(1):55-66.

[10]張春華, 陳循, 楊擁民. 常見壽命分布下環境因子的研究[J]. 強度與環境, 2001,4(7): 7-12.

ZHANG Chun-hua, CHEN Xun, YANG Yong-min. Research on Environmental Factors Under Common Life Distributions [J]. Structure & Environmental Engineering, 2001, 4(7): 7-12.

[11]馮靜, 周經倫. 基于退化失效數據的環境因子問題研究[J]. 航空動力學報, 2010,25(7):1622-1627.

FENG Jing, ZHOU Jing-lun. Research on Environmental Factor Based on Degradation Data[J]. Journal of Aerospace Power, 2010,25(7): 1622-1627.

[12]林瑞進,陳文華. 航天電連接器加速性能退化試驗可行性研究[J]. 工程設計學報, 2010,17(4): 317-320.

LIN Rui-jin, CHEN Wen-hua. Research on Feasibility of Accelerated Degradation Test for Aerospace Electrical Connector[J]. Journal of Engineering Design, 2010,17(4): 317-320.

[13]楊奮為. 軍用電連接器創新發展研討[J]. 機電元件, 2012, 32(4):52-61.

YANG Fen-wei. Discuss on Innovation and Development of Military Electrical Connector[J]. Electromechanical Components, 2012, 32(4): 52-61.

[14]THAS O, OTTOY J P. Some Generalizations of the Anderson-Darling Statistic [J]. Statistics & Probability Letters, 2003,64(3): 255-261.

Reliability Modeling Method Based on Gamma Processes at Step-Stress Accelerated Tests

XU Ting-xuea，WANG Hao-weib，ZHANG Xina

(Naval Aeronautical and Astronautical University, a. Department of Ordnance Science and Technology;

b. Graduate Students’ Brigade， Shandong Yantai 264001,China)

Abstract:A certain type of missile electrical connector is a high-reliability and long-lifetime product. To assess its reliability, a step-stress accelerated degradation test is carried out to obtain accelerated degradation data and a reliability modeling method based on Gamma processes at accelerated stresses is proposed. Firstly, contact resistor is taken as performance index and temperature, humidity is chosen as accelerated stresses according to the normal use environments. Next, Gamma process is used to model the degradation path and the model is validated. Then, the generalized Eyring model is utilized to establish relationship between degrading rate and accelerated stresses. Lastly, with maximum likelihood estimation(MLE) method, the estimations of model parameters are obtained. Furthermore, the reliability values of electrical connector at normal use stress levels are successfully predicted.

Key words:reliability modeling; Gamma process; step-stress; generalized Eyring model

中圖分類號：E927；TB114.3

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-01-0124-05

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.021

通信地址：264001山東省煙臺市二馬路188號2系E-mail：xtx-yt@163.com

作者簡介：徐廷學(1962-)，男，河南駐馬店人。教授，研究方向為裝備綜合保障工程。

基金項目：國家部委基金資助項目(40108)

收稿日期：2014-02-19；
修回日期：2014-04-04