數(shù)學(xué)本質(zhì)缺失現(xiàn)象的透視及其對策

彭永新

新課標(biāo)開篇即說：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。”這句話點(diǎn)出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。所謂數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。章建躍、張翼等人提出，數(shù)學(xué)本質(zhì)不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識上，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神里，還體現(xiàn)在抽象、嚴(yán)密、簡潔等特點(diǎn)上。北京教育學(xué)院劉加霞教授則將數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵歸結(jié)為以下五個(gè)層面：一是對基本數(shù)學(xué)概念的理解；二是對數(shù)學(xué)思想方法的把握；三是對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟；四是對數(shù)學(xué)美的鑒賞；五是對數(shù)學(xué)精神（理性精神與探究精神）的追求。這些論述對我們的教學(xué)實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義。下面筆者談?wù)剬Υ说捏w會。

一、由表及里，用整體的觀點(diǎn)分析數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性

新課標(biāo)指出：教材僅僅是個(gè)例子，教師要用好教材，超出教材。如何才能用好教材又超出教材呢？首先，需要我們具有整體把握教材的意識，因?yàn)橹R本身就是一個(gè)整體。當(dāng)代教學(xué)論從三個(gè)層面對教材進(jìn)行了廣義的界定：第一，教材是兒童應(yīng)當(dāng)掌握的知識體系，包括事實(shí)、概念、法則、原理等；第二，教材是知識背后的能力體系，通過各種作業(yè)和活動(dòng)促進(jìn)兒童能力的發(fā)展；第三，教材還包括了能力體系背后的價(jià)值觀、世界觀和倫理道德規(guī)范。這三個(gè)層面是統(tǒng)一而不可分割的。從這個(gè)意義上說，我們在教學(xué)中必須研讀教材，深入理解數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系，把握住教學(xué)動(dòng)態(tài)發(fā)展的主脈絡(luò)，并把教材與課時(shí)內(nèi)容、單元內(nèi)容，甚至全套教材內(nèi)容聯(lián)系起來，居高臨下地看本質(zhì)，這樣才能擺脫只依據(jù)例題、習(xí)題，照搬教參用書所帶來的局限和狹隘。

比如，對分?jǐn)?shù)意義的把握，一般地認(rèn)為分?jǐn)?shù)的意義就是課本上的一段話：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。”對此，有人提出這只是分?jǐn)?shù)的一種定義，即份數(shù)定義。張奠宙教授認(rèn)為，分?jǐn)?shù)的定義是：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)正整數(shù)a，b，a除以b的商。所以分?jǐn)?shù)是一個(gè)商，這個(gè)概念我們現(xiàn)在注意得不夠，而這恰恰是我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的核心所在。為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義有本質(zhì)的認(rèn)識，他們?yōu)榇苏w設(shè)計(jì)了五年級的6節(jié)新授課，并進(jìn)行了有效的實(shí)踐探索。

這個(gè)例子說明，一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法、思想，或者說“核心知識”（數(shù)學(xué)本質(zhì)），學(xué)生需要經(jīng)歷一個(gè)整體的建構(gòu)過程，才能逐步感悟、理解和掌握。因此，我們需要依據(jù)前后知識之間存在的內(nèi)在邏輯關(guān)系和不同階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，著眼一個(gè)長期的教學(xué)過程，有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，將每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容置于整個(gè)知識體系之中，引導(dǎo)學(xué)生在知識生長過程中逐步達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、由此及彼，用聯(lián)系的觀點(diǎn)豐富數(shù)學(xué)概念的意義世界

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，使學(xué)生“感受數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”，“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)”，使他們有更多的機(jī)會從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味和作用。

比如“認(rèn)識比”的教學(xué)，一般老師往往采用接受式學(xué)習(xí)模式。出示教材（蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊）“兩杯果汁和三杯牛奶”這個(gè)情境圖，提出“怎樣表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系”這一開放性問題，在學(xué)生提出“相差關(guān)系”和“倍數(shù)關(guān)系”這兩種已有認(rèn)知聯(lián)系中遴選出：果汁相當(dāng)于牛奶的，也可以說果汁與牛奶的比是2比3……這樣的教學(xué)，學(xué)生因?yàn)樗夭娜狈π迈r感往往顯得比較沉悶，對比的認(rèn)識只是知其然而不知其所以然：為什么比跟相差關(guān)系沒有關(guān)系呢？因此，筆者在執(zhí)教時(shí)，大膽改編教材例題，呈現(xiàn)三張長和寬的比不同的學(xué)校圖片。在學(xué)生分析最美圖片的長和寬之間的關(guān)系后，呈現(xiàn)兩張放大后的圖片：其中一張為按倍數(shù)關(guān)系放大的圖片，另一張為按“相差關(guān)系”放大的圖片。然后組織學(xué)生觀察比較：“如果用長比寬多1厘米來表示最美照片長和寬的關(guān)系，行不行呢？”為什么倍數(shù)關(guān)系不變形，而相差關(guān)系會變形呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的屬性：原來相差關(guān)系會改變圖形的比例關(guān)系，這樣讓學(xué)生經(jīng)過對上述圖形和原圖形的觀察比較過程，讓學(xué)生深刻感悟到“相差關(guān)系”不適合，把比的數(shù)學(xué)本質(zhì)凸顯出來，從而體會到引入比的必要性。

數(shù)學(xué)知識之間總存在著千絲萬縷的聯(lián)系，這種聯(lián)系包含著概念與概念、概念與方法、方法與方法、數(shù)學(xué)的這領(lǐng)域和那領(lǐng)域、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活等之間的眾多相互聯(lián)系。新課標(biāo)指出：“幫助學(xué)生理解類似的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。”這就要求我們在教學(xué)中要善于從聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生溝通知識之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，不斷豐富他們對數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的理解。

三、由近及遠(yuǎn)，用發(fā)展的觀點(diǎn)探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的源與流

我們知道，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展，總是有其源和流的區(qū)分，在其內(nèi)化抽象的過程中，必然會出現(xiàn)一系列的“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難困惑。這需要我們對具體內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，一層一層地追問隱藏在客觀事物背后的是什么規(guī)律？統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與技能的數(shù)學(xué)思想方法是什么？用辨析的眼光來了解和分析數(shù)學(xué)本質(zhì)的源和流，構(gòu)建活的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，對學(xué)生而言具有特殊的作用和意義。

比如，教學(xué)“轉(zhuǎn)化”策略時(shí)，讓學(xué)生解決這樣一道計(jì)算問題：+++的和是多少？一般都借助畫正方形圖數(shù)形結(jié)合地使學(xué)生理解這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和正好等于1-=。但如果把這個(gè)加法過程一直繼續(xù)下去，永遠(yuǎn)地進(jìn)行下去，結(jié)果會是多少呢？課堂上，我向?qū)W生提出這樣一個(gè)問題，很多學(xué)生愣住了。有人猜測是不是1？有人卻表示懷疑：不可能，因?yàn)椴还苣惆讯嗌倨钸M(jìn)正方形里，總有一小塊是空的，總是填不滿的。問題呈現(xiàn)出來了，學(xué)生被這個(gè)有趣的問題迷住了……

顯然，這個(gè)問題的解決需要用到極限思想，這已經(jīng)突破了轉(zhuǎn)化的局限。但我設(shè)計(jì)這個(gè)問題的目的是，讓學(xué)生們體會到“我會發(fā)現(xiàn)、我能創(chuàng)造”，讓他們認(rèn)識到數(shù)學(xué)有兩個(gè)面孔：歸納和演繹。波利亞說，數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面講，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。

學(xué)生爭論得很激烈，誰也說服不了誰。這時(shí)我適時(shí)地參與進(jìn)來：“要解決這個(gè)問題，看來用常規(guī)的方法很難解釋。不過，我們在前面學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，曾經(jīng)也遇到過類似的問題，還記得當(dāng)時(shí)把圓分割成8等份和16等份后，大家就不愿意繼續(xù)分下去了，是什么原因？”學(xué)生恍然大悟：圓如果等分越來越多的份數(shù)后，就能拼成一個(gè)近似的長方形。這里如果也一直這樣永遠(yuǎn)地加下去，它們的和一定會接近1。因?yàn)樘钸M(jìn)去足夠多的片，就可以越來越接近我們所希望填成的“1”這個(gè)正方形。這不就是數(shù)學(xué)的極限思維嗎？極限思想正是解決這一計(jì)算問題的本源所在。

這里，雖然學(xué)生沒有什么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明（暫時(shí)也不需要），但他們卻經(jīng)歷了一種體驗(yàn)性和探索性的過程，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更重要的是，他們在解決問題的方法上經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思想的洗禮，不僅有轉(zhuǎn)化思想，還有遷移思想、極限思想……他們不再覺得數(shù)學(xué)是機(jī)械枯燥的，而是神奇有趣的！北師大教授曹才翰也說，在基礎(chǔ)教育階段，通過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，可以使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)地思維的習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)地觀察世界、處理和解決問題的能力。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是思維的教學(xué)，應(yīng)該逐步引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成理性思維的習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的理性精神。

綜上所述，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，其實(shí)就是教師所持的數(shù)學(xué)觀問題。筆者認(rèn)為，一線教師要實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的準(zhǔn)確認(rèn)識和把握，應(yīng)該樹立整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)，深入分析教材細(xì)節(jié)，努力豐富數(shù)學(xué)意義，不斷探尋數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性、數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識與技能、數(shù)學(xué)思考和解決問題的能力以及情感態(tài)度與價(jià)值觀的和諧發(fā)展。