一種適用于目標(biāo)圓軌道的空間變軌迭代制導(dǎo)算法研究

李超兵 呂新廣 王志剛 鄧逸凡

1.北京航天自動控制研究所，北京100854

2.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072

迭代制導(dǎo)方法［1-2］在運(yùn)載火箭上升段入軌問題中已有成熟應(yīng)用［3］，相比攝動制導(dǎo)方法具有制導(dǎo)精度高、任務(wù)適應(yīng)性強(qiáng)、箭上飛行軟件簡單和對地面諸元準(zhǔn)備要求相對較低的特點(diǎn)［4］。國外有學(xué)者研究了更為復(fù)雜的運(yùn)動模型和控制模型下的迭代制導(dǎo)最優(yōu)算法［5-7］;國內(nèi)學(xué)者茹家欣［8］、吳楠［9］、王煬［10］等針對迭代制導(dǎo)算法中的控制模型、終端約束、橫截條件等進(jìn)行了改進(jìn)。傅瑜等［4］給出了一種適用于大姿態(tài)角范圍的迭代制導(dǎo)方法，并推導(dǎo)了其雅可比矩陣的解析式。呂新廣［11］等在迭代制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上論述了工程應(yīng)用中的可靠性設(shè)計方法，包括對迭代算法可靠性保障措施、迭代次數(shù)控制和迭代制導(dǎo)分段數(shù)選取。

本文將迭代制導(dǎo)方法應(yīng)用于空間變軌任務(wù)，提出一種適用于目標(biāo)軌道為圓軌道情形的改進(jìn)迭代制導(dǎo)方法。直接以軌道要素為終端約束的邊界條件，不僅適應(yīng)空間變軌的大姿態(tài)變化，而且各個約束方程求解精度直接決定目標(biāo)軌道各個軌道要素的入軌精度，得到一種簡單有效、適應(yīng)大姿態(tài)角變化的迭代制導(dǎo)算法。

1 航天器空間變軌最優(yōu)控制問題

航天器點(diǎn)火后的空間變軌問題可描述為最優(yōu)控制問題。以航天器有限推力控制下的運(yùn)動模型為狀態(tài)方程，初始狀態(tài)為導(dǎo)航系統(tǒng)提供的航天器當(dāng)前位置、速度，目標(biāo)集為目標(biāo)軌道要求給定的終端約束，控制域?yàn)樗型屏Ψ较颍阅苤笜?biāo)為燃料最省，發(fā)動機(jī)秒流量固定時等效于飛行時間最短，建立航天器空間變軌數(shù)學(xué)模型，利用最優(yōu)控制理論進(jìn)行求解。

(1)航天器運(yùn)動方程

在發(fā)射慣性系下建立航天器運(yùn)動方程，僅考慮地球引力和發(fā)動機(jī)推力，則航天器運(yùn)動模型為

其中，r為航天器位置矢量;v為航天器位置矢量;g為地球引力加速度矢量;T為航天器的推力大小;m為航天器質(zhì)量，秒流量ms恒定時有m=m0-mst，m0為初始質(zhì)量;u為推力方向矢量。引力加速度建模為當(dāng)前點(diǎn)和終端點(diǎn)的引力加速度的平均值，即g=(g0+gf)/2，其中下標(biāo)“0”表示當(dāng)前點(diǎn)，下標(biāo)“f”表示終端點(diǎn)。

(2)最優(yōu)控制問題描述

建立航天器制導(dǎo)的最優(yōu)控制模型，取狀態(tài)變量為X=[r v]T，控制量即推力方向，U=u，則狀態(tài)方程為式(1)。性能指標(biāo)為燃料最省，亦即推力飛行時間最短，即

其中，θ為指標(biāo)函數(shù)的非積分部分，即tf;h為終端約束式;ξ為每個約束式對應(yīng)的乘子。式(16)展開為

2 基于軌道要素要求的終端約束條件

于是式(20)～(24)與式(18)和(31)組成所有7個橫截條件方程，結(jié)合協(xié)變量和最優(yōu)狀態(tài)量的表達(dá)式(7)和式(15)，則橫截條件方程組含λ0和tf共7個變量，可通過迭代求解，解得λ0和tf后，當(dāng)前時刻的控制量即為

整個算法的求解流程為:

1)參數(shù)裝訂:設(shè)計入軌點(diǎn)軌道要素a，i，Ω，ω+f，發(fā)動機(jī)推力T，秒流量ms，航天器初始質(zhì)量m0，飛行時間tf，協(xié)態(tài)變量λ的初始估計值;

2)導(dǎo)航輸入:航天器當(dāng)前時刻在導(dǎo)航坐標(biāo)系下的位置、速度，計算得到慣性系下位置r、速度v;

3)計算設(shè)計入軌點(diǎn)位置并得到g，基于tf，λ0的初值，結(jié)合式(15)迭代求解式(18)、式(20)～(24)和式(30)組成的非線性方程組，得到tf，λ0的解。根據(jù)式(32)計算當(dāng)前時刻推力方向;

4)若tf小于某給定值，如5s，則制導(dǎo)終止，航天器保持當(dāng)前推力方向飛行完剩余時間后關(guān)機(jī);否則轉(zhuǎn)流程5)。

5)將流程3)中解得的tf，λ0作為下一制導(dǎo)時刻的初值，轉(zhuǎn)流程2)。

3 仿真驗(yàn)證

以航天器在橢圓停泊軌道近地點(diǎn)附近點(diǎn)火進(jìn)入大橢圓軌道為例進(jìn)行仿真。本文迭代制導(dǎo)方法得到的狀態(tài)量和控制量變化如圖1～3所示。

圖1 位置變化圖

變軌結(jié)果如表1所示。從表中可以看出，終端點(diǎn)的半長軸精度為km級，偏心率精度達(dá)到10-5量級，軌道傾角精度達(dá)到10-3(°)量級，升交點(diǎn)赤經(jīng)精度達(dá)到10-4(°)量級，近點(diǎn)角沒有約束，實(shí)際燃料消耗比設(shè)計值多3.6%。

圖2 速度變化圖

圖3 控制矢量變化圖

表1 變軌結(jié)果

4 結(jié)論

提出了一種適用于目標(biāo)軌道為圓軌道的以軌道要素為終端約束的迭代制導(dǎo)方法，以推力方向矢量為控制量適應(yīng)大姿態(tài)角的變化，以目標(biāo)圓軌道的軌道要素為終端約束。理論分析和仿真結(jié)果表明，所提出的迭代制導(dǎo)方法簡單有效，制導(dǎo)結(jié)果與設(shè)計的最優(yōu)值接近，能夠適用于空間變軌中的大姿態(tài)角變化情形，適應(yīng)性強(qiáng)，且計算簡單、易于實(shí)現(xiàn)。

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