再入飛行器多變量穩(wěn)定裕度研究

曹玉騰 倪少波

北京航天自動控制研究所，北京100854

再入機動飛行器往往飛行馬赫數高、機動范圍大，造成俯仰、偏航和滾動三通道耦合強烈，此類控制對象本質上為MIMO系統(tǒng)，采用基于多變量控制的相關理論和方法是解決這類飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)設計的有效方法，且多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度統(tǒng)計方法較傳統(tǒng)的基于單通道穩(wěn)定裕度計算方法更能反映這類飛行器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

傳統(tǒng)穩(wěn)定裕度分析方法主要基于SISO系統(tǒng)，不能分析通道間耦合引起的不確定性。隨著控制理論的發(fā)展，目前MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度分析方法大致有以下幾種:回差矩陣奇異值方法、基于結構奇異值的μ分析方法、實多回路穩(wěn)定分析法、Gershgorin圓盤法和穩(wěn)定超球面法等。其中回差矩陣奇異值法引入傳統(tǒng)基于SISO系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度的概念，解決了MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，因此在工程上得到了較廣泛的應用［1］。該方法優(yōu)點是計算簡單，易于工程實現，缺點是計算保守性較大，為此Doyle提出采用結構奇異值分析不確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的μ方法［2］，該方法在改善計算保守性方面有一定的優(yōu)勢，并在國內飛行控制領域得到了一定的應用［3］。

本文在回差矩陣奇異值法的基礎上進行了改進，提出了攝動矩陣迭代法，由計算結果與回差矩陣奇異值法相比，攝動矩陣迭代法大大改善了計算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的保守性，且計算結果較為可靠。

1 回差矩陣奇異值法［4］

通過圖1討論采用回差矩陣奇異值計算多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。圖1(a)中，G(s)為多變量控制對象，F(s)為反饋控制器，圖1(b)中，矩陣 L=diag(l1，l2，…，ln)為附加的攝動矩陣，其中 li(i=1，2，…，n)是可變的復數，用來檢測系統(tǒng)在發(fā)生攝動情況下的魯棒性。

圖1 多變量控制系統(tǒng)結構

在圖1所示的系統(tǒng)中，所加入的攝動矩陣L形式為

其中，Ki，φi分別為攝動矩陣某一通道的增益和相位。如果系統(tǒng)正常工作，無攝動發(fā)生，則Ki=1，φi=0，即L矩陣為單位陣。

如圖1(b)所示系統(tǒng)，若加入攝動系統(tǒng)L(s)后閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，這意味著系統(tǒng)的回差陣是非奇異的，有以下關系成立

以及攝動增益不變，允許攝動相位的變化范圍，即多變量系統(tǒng)的相位裕度

由此可得，所有回路的增益或相位可以在由式(4)和(5)計算得到的幅值或相位裕度范圍內變化，不會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。但由于式(3)是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，故通過該方法計算多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度存在保守性。

2 攝動矩陣迭代法

針對回差矩陣奇異值法計算保守性較大的問題，本文研究了攝動矩陣迭代法，該方法以回差矩陣奇異值法為基礎，通過回差矩陣奇異值法計算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并構造系統(tǒng)的攝動矩陣，通過不斷增加攝動矩陣的增益和相位，使攝動后的系統(tǒng)逐漸逼近臨界穩(wěn)定狀態(tài)，從而得到多變量系統(tǒng)真正的穩(wěn)定裕度。

2.1 設計思路

攝動矩陣迭代法的設計思路如圖2所示，首先應用回差矩陣奇異值法計算多變量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，根據穩(wěn)定裕度計算結果構成攝動矩陣L1，將L1串入多變量系統(tǒng)，再次應用回差矩陣奇異值法計算穩(wěn)定裕度，并得到 L2，再將L2串入系統(tǒng)，計算L3，如此不斷循環(huán)。每一步的迭代需首先判斷當前系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，若閉環(huán)特征根全部為負，則繼續(xù)迭代，否則跳出迭代。最終得到系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度為L=L1L2…Ln的增益和相位。

圖2 攝動矩陣迭代法原理框圖

2.2 設計步驟

以飛行器某一特定飛行狀態(tài)對應的相位裕度為例來具體說明攝動矩陣迭代法的計算步驟:

1)應用回差矩陣奇異值法初步計算多變量系統(tǒng)相位裕度，有以下關系成立

計算可得ω∈(0，+∞)范圍內，系統(tǒng)回差矩陣最小奇異值為0.531，對應頻率值為113rad/s，最小奇異值隨頻率的變化關系見圖3。

多變量系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度分別為

3)將攝動矩陣L1串入系統(tǒng)，計算此時閉環(huán)系統(tǒng)特征根位于復平面右邊平面的個數p0，若p0=0，則返回步驟2);若p0≠0，則停止計算，若迭代超過10次，則停止運算。

圖3 最小奇異值隨頻率變化關系曲線

經攝動矩陣迭代法計算得到系統(tǒng)最終的相位裕度為50.22，同理也可應用攝動矩陣迭代法計算系統(tǒng)幅值裕度，該方法的算法流程如圖4所示。

將攝動矩陣迭代法和回差矩陣奇異值法計算的多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度進行對比，如表1所示。

表1 多變量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度

圖4 攝動矩陣迭代法流程圖

應用改進的穩(wěn)定裕度計算方法，系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度均有了明顯改善，大大減小了穩(wěn)定裕度計算的保守性。和單通道穩(wěn)定裕度相比，攝動矩陣迭代法計算的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度從多變量的角度更真實的反映了多變量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

3 仿真驗證

根據多變量系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度確定攝動矩陣L，代入控制系統(tǒng)定點仿真模型中進行仿真。其中攝動矩陣L分別為:

圖5 仿真狀態(tài)1

由以上仿真結果中可以得出:仿真狀態(tài)1中，系統(tǒng)出現高頻振蕩，但最終趨于穩(wěn)定，說明此時系統(tǒng)接近發(fā)散;仿真狀態(tài)2中，相較于仿真狀態(tài)1，系統(tǒng)的高頻振蕩較小，說明gmax還有進一步提高的空間;仿真狀態(tài)3中，系統(tǒng)出現低頻振蕩并且臨近發(fā)散，此時gmin的保守性也很小。綜合比較起來，PM，gmax，gmin三項穩(wěn)定指標的保守性均很小，其中PM與gmin最接近系統(tǒng)真實的裕度。

4 結論

應用多變量控制理論，通過計算多變量系統(tǒng)回差矩陣的最小奇異值，得到多變量系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。針對該方法在計算穩(wěn)定裕度時的保守性，采用攝動矩陣迭代法大大改善了其保守性，且效果較佳。并通過仿真證明了攝動矩陣迭代法計算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度保守性小，且可靠性較高。

圖6 仿真狀態(tài)2

圖7 仿真狀態(tài)3

［1］ 李帆.不確定性系統(tǒng)的解耦控制與穩(wěn)定裕度分析［D］.西安:西北工業(yè)大學2001.(LI Fan.The Decoupling Control Study and Stability Margin Evaluation of Multivariable Uncertain Systems［D］.Xi'an:A Dissertation Submitted for the Degree of Ph.D of Northwestern Polytechnical University，2001.)

［2］ Doyle J C.Analysis of feedback systems with structured uncertainties［J］.IEEE Proceedings，Part D，1982，129(6):242-250.

［3］ 李洪超，史忠科.多變量飛控系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的μ分析方法研究［J］.飛行力學，2006，24(2):31-34.(Li Hongchao，Shi Zhongke.Study of μ analysis method for evaluation of stability margin of a multivariable flight control system［J］.Flight Dynamics，2006，24(2):31-34.)

［4］ 吳斌，程鵬.多變量飛控系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析［J］.航空學報，1998，19(6):657-661.(Wu Bin，Cheng Peng.Stability margin analysis of the multiloop flight control systems［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1998，19(6):657-661.)

［5］ 周克敏.魯棒與最優(yōu)控制［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2001.(Zhou Kemin.Robust and Optimal Control［M］.Beijing:National Defend Industry Press，2001.)